Luận văn đường cong spline tham số

HỌ GIÁO L>ụu VÀ DÀO TẠ-O T R Ư Ờ N G DẠ-l HỌG S P H Ạ M H À N Ộ I D Ặ NG THỊ- THU TH ANG ĐƯỜNG CONG SPLINE THAM s ố C h u y ê n n g n h ; TỐN G IẢ I TÍG H M ã í>6 ; 00 4Ư 01 02 LUẠN VĂN T H Ạ C SỶ TỐN H ự c N g i h n g d â n k h o ii h ọ c ; TS- NGU YỂM VÃN TUẤN HÀ NỌl, 2l>Lt> LỜI C Ả M ƠJN Tơi xiu bày ta Làng biết au ahân thành tới TS Ngun Văn Tuấn, người đình, hướng chạn đề tài tậu tình hướng dẩn để tỡi hần thành Luận văn này, Xiu ahân thành aảui ơn ấa thầy aửa trường Dại hụa Sư phạm Hà JNộĩ truyền thụ hiếu thứa ahu tâĩ trang suất q trình hạa tập vừa qua, Xiu ầui ơn gia đình, bạn bè ln đậug viên, aa vũ, tạa mại điều kiện thuận lợi aha tơi trang' q trình hạa tập hn thành Luận văn Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 201Ư Táa giả Đặng- Thị Thu Trang LỜI C A M Đ O A N Tơi x.i.11 cam đoan ựr hướng dẩn cưa TS, Nguyền Văn Tuấn Luận văn thạc íữ chun ngành Tốn Giải tích với dề tài Ir Dường cong spLine tham í>6 Ir hồn thành nhận thức bàn thân tác già, Trong q trình nghiên cứu thực Luận văn, tác già dã kế thừa thành tựu nhà khoa học với ì>ự trân trọng biết ƠI1, Hà Nội, ngày DI tháng D7 năm 2Dlb Tác già Dạng' Thị Thu Trang M ục lục ♦ ♦ Mờ đầu 1 K iến thức LI Khơng- gian tuyến t í n h 1.2 Khơng gian định c h u ẩ n 1.2.1 Khơng gian m e t r i c 1.2.2 Khơng gian định c h u ẩ n 1.3 Khùng gian Hilbert 1.4 Một số vấn đê nội suy 11) 1.4.1 Đa thức nội suy L a g r a n g e 10 1.4.2 Da thức nội suy N e w to n 11 1.4.3 Da thức nội suyH e r u ù t t e 13 1.4.4 Spline đa th ứ c 14 Các hàm spline, B -spline đương cung spline tham sơ 17 2,1 Mở đầu hàm spline B -spline 17 2.1.1 T6 hợp lồi bao l i 17 2.1.2 Các khái niệm hàm spline B-splĩne 13 LV 2/2 2/ồ A /ỏ Dường cong' đa thức nội s u y 21 2A A 2Ư c tính chất hàm spline B -spline 29 Mật số hàm spline 2/2A Sự độc lập tuyến tính vàbiếu diễn đa thức r 2/2/2 Một số tính chất k h c 32 Dường cong spLine tham s ố 36 2/ởA Dường cong tham s ố 3Ư 2/ở/2 Dinh nghĩa đường cong spline tham s ố 4L) 2,3,3 Nội suy spline tham s ố 43 2/ỊA Xây dựng số khơng gian spline đế nội suy , , 45 ứ n g dụng ‘ởA 3,3 4D Dường' cong tham s ố ‘ở/2 Xấp 29 4D đường cong spline tham s ố 52 ứng dụng sphne tham s ố 53 X.Ï K ết luận 71) Tài ILệu thum kháu 71 * V MỞ Đ Ầ U 1, Lý chọn đề tài Trong, khoa, học kỹ thuật, chúng, tu thường, gặp tốn đưa đến phải xác định giá trị hàm số, tìm nghiệm cửu phương trình,,,, Người tu thường dừng phương' pháp tính gần đứng để giải cúc bàl tốn nói trêu, Một phương' pháp hay dừng' trong' tính tốn gầu sử dụng hàm spLlue, bở dĩ vì, hàm sphne du thức nêu tính tốn đơn giản, Lập trình trẽn máy tính d i dùng', tăng điếm nút độ xúc nhìn chung đạt kết q cao, Trong nghiên cứu ứng dụng sphne đường' cong thum số, đường cong' spLlne tham số có nhiều ứng dụng thực tế nên đung' nhiều nhà tốn học quan tâm (xem mục [5|, [(}]), Do đố đe nghiên cứu spllue tham số tơi dã chọn đề tàiC Dường' cong' spline tham số Ir, 2r M ục đích nghiên cứu ứng' dụng hàm Sphues để nội suy tham số, ‘ở r Đ ấi tượng phạm vi nghiên cứu Dối tượng' nghiên cứu; Các hàm spliue B-spLlue, Dường' cong spllue tham số I Phạm vl nghiên cứu: Nghiêu cứu hàm spline khơng gian c m[a, b]r 4, Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp phương pháp lấy ỷ kiến chun gia, br Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Ưng dụng dường cong spLLne tham số giải mọt số tốn, ÉT Cấu trúc luận văn Ngồi, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham kháo, luận văn gồm ‘S chương Chương Kiến thức Chương trình bày khái niệm kiến thức để sử dụng cho chươngsau Chương- Các hàm splinc, B-splinc dường- cong tham số Trong chương- trình bày khái niệm tính chất cửa hàm spline, B-splĩue, đường cong spliue tham số Chương- d ứng- dụng- Trình bày ứng dụng cưa đường- cong tham số, đường- cong spliue tham số, xấp xí đường- cong spLiuơ tham số số ứng- dụugkhác Chương K iến thức 1,1 Khơng' gian tuyến tính Trong' chương chúng tư trình bày số kiến thức bàn nhằm phục vụ cho chương sưu, Tư kí hĩệu M Là tập số thực, Q Lừ tập số liữu tỉ, z Là tập cức í>6 ngun, N Là tập số tự nhiên, Đ ịnh nghĩa 1,1, Cho tập hợp X ^ VỚI phép tốn hai ngoi viết theo lối ( t ) ánh xụ íf : M X X —y X r VỚI k € R X € X phần tử ậ(k, X) đuợc gọi ỉà tích ngồi vố k với phần tử X kí hiệu kXr Giả vử điều kiện vau thỏa mãn: 1) (X , + ) nhóm Abcl VỚI phần tử trung hòa ỠJ nghĩa là: a) X + (y + z) = (x + y) + z, \/x, y ,z e X , b ) x + y = y + x , V x ,í/€ X , c) Trong X tàn phần tử vao cho x + ỡ = ỡ + x = x, Vx € X , d) Với phần tử Ví10 cho X X € X tồn phần tử đối (—x) + (—x) = 9.2 2) Tích ngồi có tính chất: a) l.x = X, \/x £ X b) k{lx) = {k.l)x, \/k, l £ R ,\/x £ X c) Giữa tích ngồi phép tốn hai ngoi viết thvo lối cộng có luật phân phối; (í) (k + l)x = kx + Ix, V7c, l £ R ,V x £ X (ii)k (x + y) = kx + ky, \/k £ R ,V x ,y £ Xr Trên địiili nghĩa khơng- gian vecta thực;, Nếu trung địiiti nghĩa ta thay cấc su thực số phức ta c6 khơng gian vectơ phức Người ta gụi khơng gian vecta Là khũng- gian tuyến tính Các phần tử mật khũng gian vectơ thường gại vectơ V í dụ 1,1, Trung mặt phẳng thực E 2, tập X = E tập E = {(£ 1, 0:2) : £1 x su thực} Với mui su thực a vcctơ X = (X ị , x ) , y = (2/1, 2/2) £ X , phép cộng nhân vũ hướng định nghĩa: X + y = (xi + y u x + 2/ ) , a x = ( a x : a x 2) : khung gian vectơ V ĩ dụ 1,2, Xét khơng- gian tuyến tính thực C[a,b] = {x = x(t) : x(t) hàm su Liên tục [a, ò]}, với mui su thực a f( t) ,g ( t) £ C[a,b]r phép cụng- nhân vũ hướngđược định nghĩa; í ( / + ) ự) = f(t) + (t), a < t < br = af(t), khơng; gian veutơ, Đinh, nghĩa 1,2, Chơ hệ n vcctơ x n, ,x n tương khơng gian tuyến tính X , X ét đắng thức vcctơ; OL\X\ + OL2 X2 + + Oinx n = Nếu đắng thức trẽn xảy VỚI O'! = a = = a n = ta nói hệ n vcctơ độc lập tuyến tính Nếu tồn bố a i , a n với 71 X] i2 > baơ chơ đắng thức trẽn thỏa mãn ta nói hệ n i=1 vcctơ phụ thuộc tuyến tinh Đ ịnh nghĩa 1,3, Giả bử X khơng gian tuyến tính trẽn R Xét x~í X2 lu hai phau tư thuoc "X khz đo tap hcĩp cac phan tư tỉ ơng J co dạng; y = (1 —t)xi + tx 2, Ví € [0,1] gọi đoạn thắng nối hai điêm X i,x 2r Tập hợp K X lời Vxi, x £ K đoạn thắng A nối Xi, x nằm trọn K, Đ inh nghĩa 1,4, Giả bử X khơng gian tuyến tính M Tập x l X gợi khơng gian tuyến tính khong giwn X X ị với hai phép tốn cảm binh X X ị tạo thành khơng gian tuyến tỉnh Đ ịnh nghĩa 1,5, Giả bứ X Y hai khơng gian tuyến tính trẽn Rr Khi ánh xạ T : X —»• Y gợi tuyến tính nếu; a) T (x + x 2) = T (x 1) + T ( x 2),V x í: x € X b) T (kx) = kT (x ),\/k € M,Vz € X Đ ịnh nghĩa 1,5, Gia bử X khơng giun tuyến tính trẽn Rr Một ánh xạ T : X —y R thỏa man điều kiện; a[j\ := 26; od; > bb[N] := ; 66[1V + 1] := : > fo r i fr o m t o N - l d o bb[i\ := ; od; > > y := Vector(N + 1) : > fo r p fr o m t o N -h i d o y\p\ := evalf ( / (m(p — ))); od; > X := penta(bb, 6, d, a, aa: y) : > fo r k t o N -h l d o > fo r p fr o m t o N -h l d o 2/[p] := evalf (m(p - 1)); od; > > X := penta(bb, 6, d, a, aa, y) : 51 := Thecior[iV + 1] ; > fo r k t o N -h l d o > fo r j fr o m t o N d o 4>:= (x ,j) ->■ j^.piecewise(m(j - 3) < x < m ( j - 2), (x - m (j - 3))5, m( j —2) < X < m( j —1), (x —m( j —3))5 —6 (x —m( j —2))5, m( j —1) < X ^ ra(j), (x —m (j —3) ) —6 (x —m (j —2) ) + 15.(x —m (j —l) ) 5,m (j) < X ^ m ( j + 1), (x —m ( j —3) ) —6 (x —m (j —2) ) + 15(x —m ( j —l ) ) —20.(x —m (j))5, m ( j + 1) < X ^ m ( j + 2), (x —m (j —3) ) —6 (x —m ( j —2) ) + 15(x — m ( j —l ) ) —20(x —m ( j ) ) 5+ 15(x —m (j + 1) ) —6 (x —m (j + 2))5, 0); I>d : > plot({ậ(x, 3), ậ(x, 5), ậ(x, 7)}, X = 0.1 2.5); hình S ‘ A; > > w := 1Sector(N + 1) : > fbr j tu N + l áo w[j] := ộ ( x , j - ); od; > G := innerprod(ỗ, w) : > GI := innerprod(ỗl,w) : bĩ > #1 := eval(G:x = 1.1) : #2 := eval(G,x = ) : #3 := eval(G:x = 1.3) : #4 := eval(G,x = 1.4) : #41 := eval(G,x = 1.42) : #42 := eval(G,x — 1.44) : #43 := eval(G,x = 1.46) : #44 := eval(G,x — 1.48) : #5 := eval(G,x = 1.5) : #51 := eval(G,x = 1.52) : #52 := eval(G:x = 1.54) : #53 := eval(G:x = 1.56) : #54 := eval(G,x = 1.58) : #6 := eval(G,x — 1.6) : #61 := eval(G,x — 1.62) : #62 := eval(G,x — 1.64) : #63 := eval(G,x — 1.66) : #64 := eval(G,x — 1.68) : #7 := eval(G,x — 1.7) : #71 := eval(G,x = 1.72) : #72 := eval(G,x = 1.74) : #73 := eval(G,x = 1.76) : #74 := eval(G,x = 1.78) : #8 := eval(G,x = 1.8) : #81 := eval(G,x — 1.82) : #82 := eval(G:x — 1.84) : #83 := eval(G,x — 1.86) : #84 := eval(G,x = 1.88) : #9 := eval(G:x = 1.9) : > t l := eval(Gl,x = 1.1) : t2 := eval(Gl,x = 1.2) : Í3 := eval(Gl,x = 1.3) : M := eval(Gl,x = 1.4) : ¿41 := eval(Gl,x = 1.42) : ¿42 := eval(Gl,x = 1.44) : ¿43 := eval(Gl,x = 1.46) : ¿44 := eval(Gl,x = 1.48) : ¿5 := eval(Gl,x = 1.5) : ¿51 := eval(Gl:x = 1.52) : ¿52 := eval(Gl,x = 1.54) : ¿53 := eval(Gl,x = 1.56) : ¿54 := eval(Gl,x = 1.58) : ¿6 := eval(Gl,x = 1.6) : ¿61 := eval(Gl:x = 1.62) : ¿62 := eval(Gl,x — 1.64) : ¿63 := eval(Gl,x = 1.66) : ¿64 := eval(Gl,x = 1.68) : ¿7 := eval(Gl,x = 1.7) : ¿71 := eval(Gl,x = 1.72) : ¿72 := eval(Gl,x = 1.74) : ¿73 := eval(Gl:x = 1.76) : ¿74 := eval(Gl,x = 1.78) : ¿8 := eval(Gl,x = 1.8) : ¿81 := eval(Gl,x = 1.82) : ¿82 := eval(Gl,x — 1.84) : ¿83 := eval(Gl,x = 1.86) : ¿84 := eval(Gl,x — 1.88) : ¿9 := eval(Gl,x = 1.9) : > abs(evalf(f( 1.2), 15) — (eval(G, X = 1.2))); > > abs(evalf(f(1.3), 15) — (eval(G, X = 1.3))); Ü.66ÜÜ4466 > > abs(evalf(f( 1.4), 15) — (eval(G, X = 1.4))); 0.45405820 > abs (evalf(f(lA2): 15) — ( eval(G, X = 42 ))); 0.12861579 > abs(evalf(f(lAA), 15) — ( eval(G,x = 44 ))); 0.05751205 > abs(evalf(f(lA6), 15) — ( eval(G,x = 46 ))); 0.18175580 > abs(evalf(f(lA8), 15) — ( eval(G,x = 48 ))); 0.80902508 > > abs(evalf(f(1.5), 15) — (eval(G , X = 1.5 ))); 0.50582280 > abs(evalf(f( 1.52 ), 15) — ( eval(G , X = 52))); 0.50802505 > abs(evalf(f(1.5A), 15) — ( eval(G , X = 54))); 0.575454590 > abs(evalf(f( 1.56 ), 15) — ( eval(G , X = 56))); 0.552851875 > abs(evalf(f ( 1.58 ), 15) — ( eval(G, X = 58))); 0.415700588 > > abs(evalf(f( 1.6), 15) — (eval(G, X = 1.6))); 0.201241405 > abs(evalf(f( 1.62 ), 15) — ( eval(G, X = 62 ))); 0.224710278 > abs(evalf(f(1.6A), 15) — ( eval(G,x = 64 ))); 0.210552575 > abs(evalf(f( 1.66 ), 15) — ( eval(G , X = 66 ))); 0.210080120 > abs(evalf(f (1.68), 15) — (eval(G, X = 1.68))); l).21485664 > > abs(evalf(f( 1.7), 15) — (eval(G, a; = 1.7))); 6.15184815 > abs(evalf (/(1.72), 15) — (eval(G, X = 1.72))); 6.68661887 > abs(evalf(f( 1.74), 15) — (eval(G, X = 1.74))); 6.16168816 > abs(evalf(f (1.76), 15) — (eval(G, X = 1.76))); 6.18166667 > abs(evalf(f( 1.78), 15) — (eval(G, X = 1.78))); 6.17526778 > > abs(evalf(f( 1.8), 15) — (eval(G, X = 1.8))); 6.68287468 > abs(evalf(f( 1.82), 15) — (eval(G, X = 1.82))); 6.16265821 > abs(evalf(f (1.84), 15) — (eval(G,x = 1.84))); 6.42622278 > abs(evalf(f(1.86), 15) — (eval(G, X = 1.86))); 6.52416187 > abs(evalf(f( 1.88), 15) — (eval(G, X = 1.88))); 6.85856156 > > abs(evalf(f (1.9), 15) — (eval(G, X = 1.9))); 6.11657128 > > > Gl := innerprod(deỉtal,w); > s(l.l —(eval(Gl,x = 1.1))); > > abs(1.2 — (eval(Gl,x = 1.2))); 0.012050565 > > s(1.3 —(eval(Gl,x = 1.3))); 0.007450630 > > abs( 1.4 —(eval(Gl,x = 1.4))); 0.010040636 > s(1.42 — (eval(Gl,x = 1.42))); 0.012065676 > s(1.44 — (eval(Gl,x = 1.44))); 0.011644561 > s(1.46 — (eval(Gl,x = 1.46))); 0.010074246 > s(1.48 — (eval(Gl,x = 1.48))); 0.010310766 > > abs( 1.5 —(eval(Gl,x — 1.5))); 0.010466156 > > abs( 1.52 — (eval(Gl,x = 1.52))); 0.011020000 > s(1.54 — (eval(Gl, X = 1.54))); 0.013761530 > abs( 1.56 — (eval(Gl,x = 1.56))); > s(1.58 — (eval(Gl,x = 1.58))); 5.514655484 > > s(1.6 —(eval(Gl,x = 1.6))); 0.512511)814 > > abs( 1.62 — (eval(Gl,x = 1.62))); 5.557755775 > a6s(1.64 — (eval(Gl,x = 1.64))); 5.558151881 > abs( 1.66 — (eval(Gl,x = 1.66))); 5.588122888 > s(1.68 — (eval(Gl,x = 1.68))); 5.555258552 > > s(1.7 —(eval(Gl, X = 1.7))); 5.512858658 > a6s(1.72 — (eval(Gl,x = 1.72))); 8.822582285 > s(1.74 — (eval(Gl,x = 1.74))); 5.588157562 > s(1.76 — (eval(Gl,x = 1.76))); 0.887682788 > s(1.78 — (eval(Gl,x = 1.78))); 8.851585885 > > s(1.8 —(eval(Gl,x = 1.8))); 5.518785585 > s(1.82 — (eval(Gl,x = 1.82))); 0.010848026 > abs( 1.84 — (eval(Gl,x = 1.84))); 0.084052402 > s(1.86 — (eval(Gl,x = 1.86))); 0.044484040 > abs( 1.88 — (eval(Gl,x = 1.88))); 0.020021500 > > s(1.9 —(eval(Gl, X = 1.9))); 0.018581850 > >plots[multỉple](plot ,[{[ tl, g l| , [t2, g2], [to, g8], [t4, g4|, [t41, g41], [t42, g'42j, [t48, g'48], [t44, g44],[t5, g5|, [t51, g51|, [t52, g52j, [t58, g58j, [t54, g'54j, [tơ, gư], [t61, g'61|, [t62, g62j, [t68, g68j, [t64, g64j, [tĩ, g7j, [t71, g-71|, [t72, g-72|, [t78, g78], [t74, g74|, [t8, g8|, [t81, g81|, [t82, g82|, [t88, g'88|, [t84, g'84j, [to, gO]}, stylo —point, symbol —box, ooLor —rod], [f[x), X - 1.1 2.1|; lülili 'ịj.y # Lap bang, sai SU diu B spLiiiu tham su # >Baiig' h := array{ 25,1 4); h[ 1,1] := TT; h[ 1, 2] := GT*X; h[ 1, 3] := GTNS] h[ 1,4] := /S/S for j from L to 24 /ỉ[ì + 1,1] := ¿ : /i[i + 1,2] := evalf( 1.4 + 1.4 + — 1)) : /i[i + 1,3] := eval(Gl,x = — 1)) : /i[« + 1,4] := s(1.4 + 1-4 + ĩõ-(i - ) ) :d: prỉnt(h) — 1)) — eva/(ơl,a; = TT > GTx GTNS SS 1.400000000 1.410940838 0.010940838 1.420000000 1.432065876 0.012065876 1.440000000 1.451844681 0.011844681 1.460000000 1.470974248 0.010974248 1.480000000 1.490319788 0.010319788 1.500000000 1.510468158 0.010468158 1.520000000 1.531899073 0.011899073 1.540000000 1.553740594 0.013740594 1.560000000 1.575004473 0.015004473 10 1.580000000 1.594639484 0.014639484 11 1.600000000 1.612010814 0.012010814 12 1.620000000 1.627759775 0.007759775 13 1.640000000 1.643191381 0.003191381 14 1.660000000 1.663122038 0.003122038 15 1.680000000 1.685208902 0.005208902 16 1.700000000 1.712358658 0.012358658 17 1.720000000 1.742582299 0.022582299 18 1.740000000 1.773107562 0.033107562 19 1.760000000 1.797602730 0.037602730 20 1.780000000 1.811985835 0.031985835 21 1.800000000 1.813789080 0.013789080 22 1.820000000 1.810504210 0.009495790 23 1.840000000 1.805947508 0.034052492 24 1.860000000 1.815515051 0.044484949 # Bang- hl := array{ , 5) : / i l [ l , l ] := T T : hl[l,2] := GTx : / i l [ l , 3] := G T N S : hl[l,4] := G T H S : / i l [ l , 5] := S S : fl>r i fr o m t o 24 d o h L [iT U |:-i: hl[i + 1,2] := e v a l f ( l A + ^ - ( i — 1)) : hl[i + 1,3] := eval(G,x = 1-4 + Ĩ Õ - ( * - abs{f{lẢ )) : hl[i + l,4\ '■= e v a l f ( f ( l A + r Aỹ ( i - l ) ) ) : hl[i + l,5] := + ¿ ( i - 1)) - eval(G, X = 1A + Y§0 -(* - 1))) : o d : print (hi) > V í d ut , , Clio ham ¡>6; f ( x ) = 2,3 sin( " ' S 1’33* ) + l ^ V i e - 1’37«*-4’201'2 Sau ohạy hệ sở bậc liìuh (3,4) ĩihư sau; B ị ( x ) : B G(x), B 8(x) Đường cong spline tham số nội suy cho đường cong y = f ( x ) với N = 10, A = 1,B = Ta cớ đồ thị cửa hàm sở B-spline bậc Là hình (3,0) L>ồ thị B-spline bậc tham số nội suy cho f ( x ) điếm nội suy đánh dấư đò (hình(3,7)), h il lh S-Í.K h iiih ‘ỳ J ; Và bảng; sai s6 chu B-spLiiie tham số Iihư sau; Sĩ Bảng' TT GTx GTNS ss 1.400000000 1.410940838 0.010940838 1.420000000 1.432065876 0.012065876 1.440000000 1.451844681 0.011844681 1.460000000 1.470974248 0.010974248 1.480000000 1.490319788 0.010319788 1.500000000 1.510468158 0.010468158 1.520000000 1.531899073 0.011899073 1.540000000 1.553740594 0.013740594 1.560000000 1.575004473 0.015004473 10 1.580000000 1.594639484 0.014639484 11 1.600000000 1.612010814 0.012010814 12 1.620000000 1.627759775 0.007759775 13 1.640000000 1.643191381 0.003191381 14 1.660000000 1.663122038 0.003122038 15 1.680000000 1.685208902 0.005208902 16 1.700000000 1.712358658 0.012358658 17 1.720000000 1.742582299 0.022582299 18 1.740000000 1.773107562 0.033107562 19 1.760000000 1.797602730 0.037602730 20 1.780000000 1.811985835 0.031985835 21 1.800000000 1.813789080 0.013789080 22 1.820000000 1.810504210 0.009495790 23 1.840000000 1.805947508 0.034052492 24 1.860000000 1.815515051 0.044484949 Bảng' TT GTx GTNS GTHS ss 1.400000000 2.223313263 2.201983699 0.021329564 1.420000000 2.218151021 2.192983187 0.025167834 1.440000000 2.209164065 2.183665154 0.025498911 1.460000000 2.197351323 2.174037983 0.023313340 1.480000000 2.184354127 2.164109853 0.020244274 1.500000000 2.171664642 2.153888750 0.017775892 1.520000000 2.160751059 2.143382480 0.017368579 1.540000000 2.150960329 2.132598676 0.018361653 1.560000000 2.141349974 2.121544817 0.019805157 10 1.580000000 2.130660820 2.110228234 0.020432586 11 1.600000000 2.117747554 2.098656122 0.019091432 12 1.620000000 2.102806808 2.086835558 0.015971250 13 1.640000000 2.086715987 2.074773506 0.011942481 14 1.660000000 2.074503133 2.062476830 0.012026303 15 1.680000000 2.062753315 2.049952307 0.012801008 16 1.700000000 2.054965910 2.037206647 0.017759263 17 1.720000000 2.049651434 2.024246490 0.025404944 18 1.740000000 2.044966048 2.011078434 0.033887614 19 1.760000000 2.035659500 1.997709045 0.037950455 20 1.780000000 2.017526655 1.984144868 0.033381787 21 1.800000000 1.988427637 1.970392439 0.018035198 22 1.820000000 1.953988463 1.956458316 0.002469853 23 1.840000000 1.920401834 1.942349079 0.021947245 24 1.860000000 1.896848102 1.928071351 0.031223249 K ết luận Trong q trình nghiên cứu;,r Dường cong spline tham số Ir, Luận văn trình bày cách hệ thống với nhiều ví dụ minh họa ốo vấn đề sau; 1) Trình bày khái niệm tính chất bẳn cưa spline B-spliue, 2) Dinh nghĩa đường cong spline tham số, nội suy đường cong spline tham số xây dựng khơng gian spline đế nội suy tham số, d) Lập trình maple dế nội suy spline tham số, Do thời gian có hạn kiến thức hạn chế, Luận văn chắn khơng thể tránh thiếu sốt, Kính mong thầy đồng nghiệp góp ỷ kiến đế em có điều kiệu chĩuh sửa Luận văn tốt T ỉ) [...]... tri, nờn h phng; trỡnh ny cú nghim dy nht m = , m n )r Thay th cỏc 77ij va tỡm c vo S(x) thỡ ta cú a thc spLnc S(x) thoa món in kin bi toỏn t ra Iớ> Chng 2 Cỏc hm spline, B -spline v ng cong spline tham s 2.1 2.1.1 M u v cỏc hm spline v B -spline T hp li v bao 1L u) To hp li Trong R2 cho C = (xi\yi) v c2 = (x2; V) , vi Xi, ji e R, i = 1; 2, T hp li ca hai im Ci v c2 l cỏc im c = (x; y) c xỏc nh Iih sau;... lờu, iu ny khựng thun tin chu tớnh tuỏn Dó c nhiu cỏch khc phc iu Mt trung nhng cỏch l ni suy hm su bng' cỏc spline a thc Cỏc hm spline se c trỡnh by chi tit chng sau 0 õy chỳng ta trỡnh by spline bc S thng qua bi tuỏu sau õy; B i to ỏ n ; x_ột phõn huch a = x 0 < X < < Xn - 1 < x n = ũ Mt spline a thc bc ũ trờn uu [a, b vi phõn huch ó chu l hm su y = S(x) thua món hai iu kiu sau õy: 1 S{x) e c 2[a,... Ci,c2,c3 2.1.2 Cỏr khỏi nim r bn v rỏr hm spLine v B->pline nh ngha 2rr Cho on thng [a,b]j gi bớt cha on thng [a,b] thnh n 1 on bi cỏc im cha a = t < t2 ^ ^ tn = b, K ớ hiu cỏc iờrn cha ú l t = (tj)n=lTtj l cỏc iờrn nỳt Giỏ s trờn mi on [tj,tj+i]j j = 1, 2, ,n 1 ta cú mt hm a thc7 cỏc hm a thc liờn tc ti cỏc im nt Khi ú ta cú ng cong a thc tng on gi l ng cong splinCr b, ba im a, hai iộm c, bn im... ú, X thuc khong [tn,tu+i)? d + 1 B -spline { B j5d.= 3 * khỏc khụng trờn khong ú, cú th c vit; \ 0 bc d L Bd ^ Bòd,d Bòd+l,d Bò^d ^ R\ (X) R 2 (x ) Rd (x) Nu / = Z] CjBjd l mt spline trong's dt 7 v a: b thu hp trong' 3 khong [tò,tò+i )r thỡ / (x) dc cho bi; / (x) = Ri (x) R 2 (x ) Rd (x) cd' vect cd c oho bi cd = (Cò-d,Cò-d+1, ,Cò)T , Ma trn R k o gi l ma trn B -spline 2rlri ng cng u thc ni suy N... De x.õy dng m t ng cong' ni suy, ngoi ba im ó cho c0, c1; c2 gia s c cỏc tham s ớ i S R (gl l ba mc) Trc tiờu ta x.õy dng hai ng thng; 9o,i(*) = q{t |c0, Ci;0, i) = Q,i{t) = q{tci, c2; t u t2) = ^ c 0 + J ^-Ci vi t G [0,1], Cl Co Cl Co yCx + J ^ -c 2 vi t G [0,1] t 2 11 t 2 Cl Khi ú; qo,2) = (t|co, Cl, c2; to, ti, ớ 2) = I t2 - t 2 0 qo,i{t) + t-t 01,iM 2 ~ t0 IU cú mt ng' cong l phng trinh bc... + 1 im { C i) = vi d + 1 cỏc im nỳt t (u)di=0' (-'b mt ng cong a thc qd bc d thoa món i kin: q,d(ti) = Ci, vi %= 0, ,d, VL t bt kỡ7 thut toỏn tớnh im od(t) nh sau; Bc 1; Tớnh q0 d{u) Q VL %= 0 , d Bc 2; Tớnh; ft.rW = P 7 7 9 i , r - l ( i ) + / - ^ rfr+ l.r-lffl Ê+7- VL "i = 0 , d r v r = 1 , d Ta cú s tớnh nh sau: (hỡnh ũ/ũ) Dng cong spline bc hai Vi+r b Co tjo.l q l cỏc im Iiỳt ca n ng spline D nhn mnh, khỏi nim trờn , ta kớ hiu; Bj d(x) = B tj+d+1)? nu t j , t j +i, ,tj+d,... = O, cỏc trny hp khỏo vi hỡnh.(2,3) l biu diờn cua B -spline bc 1 v hỡnh (2.6) l biu diờn cua B-ypline bc 2 Hnh 2 Xr Mt B-ipLLue tay lu tớuli rú Liõt tht u ÊĩU (a) v ỳ> [lỏt kộp hiuli 2 X TCrtrai MUK, phu L rỏ.ớ.- B-spLLiiiớ n I D ,m u), B(* I 2 ;;SA), B(* I bXJX), B(* I D,U>.Ll>,LL), B(* i U X 2 XbXb), n I L4,LI,L(>,L(>), v B(x I L,L$,LS,LS) B -spline B j d ph thuc vc cỏc nỳt tji ,tj+i+dr Ngha l nu... , c ) + - B ( x \ b , c , d) c a d b in h n g h a 2,5, (Dny cny Spline) Ch t = (tj)n^ f +1 l dóy b thc khừny õrnT v ch q ^ 2 l b nyuyerir Khừny yan ca mi ny cny bphnc bc d trny R q VI im nỳt t c inh nyhia bi 71 Y) C jB jjd\cj e Rq, 1 ^ j ^ n S l = U =1 C thT 'mt phn t f = CjBjd ca s q dt c yi l ham vcct 3= 1 bplnc hc ny cny b'plinc tham b bc d vi im 'nỳt t T v ( Cj)n=1 c yi l h b B-bpline hc im iu