Nghiên cứu các hàm spline và b spline, đường cong spline tham số

ệ ì ì P ì P số ò ữớ ữợ ổ tọ ỏ t ỡ t tợ ữớ ữợ t t t ữợ tổ t t ỡ t ổ trữớ ữ tr tử tự tổ tr sốt q tr t ứ q ỡ ổ ụ t t ủ tổ tr q tr t t t r ổ ữợ sỹ ữợ t s t ợ t ữớ s t số ữủ t tự t t r q tr ự tỹ t tứ ỳ t tỹ ợ sỹ tr trồ t ỡ t r ử tự ỡ ổ t t ổ ổ tr ổ ổ rt ởt số s tự s r tự s t tự s rtt tự s s ữớ s t số s s ủ ỗ ỗ ỡ s s ữớ tự s ởt số s t t s s ỹ t t tự ởt số t t ữớ s t số ữớ t số ữớ s t số s s t số ỹ ởt số ổ s s ữớ t số ữớ s t số s t số t t é ỵ t r tt ú t tữớ t ữ tr số t ữỡ tr ữớ t tữớ ũ ữỡ t ú qt t õ tr ởt tr ữỡ ữủ ũ tr t t ú sỷ s ữ s tự t t ỡ tr tr t t út t t q r ự ự s t ữớ t số ữớ s t số õ ự tr tỹ t ữủ t q t õ ự s t số tổ t ữớ s t số ự s s t số ố tữủ ự ố tữủ ự s s ữớ s t số P ự ự s tr ổ C m [a, b] Pữỡ ự ỷ ữỡ t tờ ủ ữỡ ỵ ị tỹ t t ữớ s t số ởt số t trú t t t ỗ ữỡ ữỡ tự ỡ ữỡ tr tự sỷ ữỡ s ữỡ s s ữớ t số r ữỡ tr t t s s ữớ s t số ữỡ r ự ữớ t số ữớ s t số ữớ s t số ởt số ự ữỡ tự ỡ ổ t t r ữỡ ú t tr ởt số tự ỡ t ử ữỡ s R t số tỹ Q t số ỳ t Z t số N t số tỹ t ủ X = ũ ợ ởt t ổ t t ố ởt : R ì X X ợ ộ k R ộ x X t tỷ (k, x) ữủ t số k ợ tỷ x ữủ kx sỷ r s ữủ tọ (X, +) ởt õ ợ tỷ tr ỏ x + (y + z) = (x + y) + z, x, y, z X x + y = y + x, x, y X r X tỗ t tỷ s x + = + x = x, ợ ộ tỷ x X tỗ t tỷ ố (x) s x + (x) = õ t t x X 1.x = x, x X k(lx) = (k.l)x, k, l R, x X ỳ t t ổ t t ố õ t ố (k + l)x = kx + lx, k, l R, x X k(x + y) = kx + ky, k R, x, y X r ổ tỡ tỹ tr t t số tỹ số ự t t õ ổ tỡ ự ữớ t ỏ ổ tỡ ổ t t tỷ ởt ổ tỡ tữớ tỡ r t tỹ E t X = E t E = {(x1 , x2 ) : x1 x2 số tỹ} ợ ộ số tỹ tỡ x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) X ổ ữợ ữủ x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) x = (x1 , x2 ), ổ tỡ t ổ t t tỹ C[a, b] = {x = x(t) : x(t) số tử tr [a, b]} ợ ộ số tỹ f (t), g(t) C[a, b] ổ ữợ ữủ (f + g)(t) = f (t) + g(t), a t b (f )(t) = f (t) ổ tỡ tỡ xn, , xn X t tự tỡ tr ổ t t x1 + x2 + + n xn = tự tr r ợ = = = n = t t õ tỡ õ t t tỗ t ởt số 1, , n ợ n i > s tự tr ữủ tọ t t õ r i=1 tỡ tr tở t t sỷ X ởt ổ t t tr R t x1 , x2 tỷ tở X õ t ủ tỷ tr X õ y = (1 t)x1 + tx2, t [0, 1] ữủ t ố x1 , x2 ủ tr ỗ x1, x2 K t t ố x1 , x2 trồ tr sỷ X ổ t t tr R X1 X ữủ ởt ổ t t ổ X X1 ũ ợ t s X tr X1 t t ởt ổ t t sỷ X Y ổ t t tr R õ T : X Y ữủ t t T (x1 + x2) = T (x1) + T (x2), x1, x2 X T (kx) = kT (x), k R, x X sỷ X ởt ổ t t tr R ởt T : X R tọ m(j 2) x x m(j 1), (x m(j 3))5 6.(x m(j 2))5 , m(j 1) m(j), (xm(j 3))5 6.(xm(j 2))5 +15.(xm(j 1))5 , m(j) x m(j + 1), (xm(j 3))5 6.(xm(j 2))5 +15(xm(j 1))5 20.(xm(j))5 , m(j + 1) x m(j + 2), (x m(j 3))5 6(x m(j 2))5 + 15(x m(j 1))5 20(x m(j))5 + 15(x m(j + 1))5 6(x m(j + 2))5 , 0); : > plot({(x, 3), (x, 5), (x, 7)}, x = 0.1 2.5); > > w := V ector(N + 1) : r t w[j] := (x, j 1); > G := innerprod(, w) : > G1 := innerprod(1, w) : > g1 := eval(G, x = 1.1) : g2 := eval(G, x = 1.2) : g3 := eval(G, x = 1.3) : g4 := eval(G, x = 1.4) : g41 := eval(G, x = 1.42) : g42 := eval(G, x = 1.44) : g43 := eval(G, x = 1.46) : g44 := eval(G, x = 1.48) : g5 := eval(G, x = 1.5) : g51 := eval(G, x = 1.52) : g52 := eval(G, x = 1.54) : g53 := eval(G, x = 1.56) : g54 := eval(G, x = 1.58) : g6 := eval(G, x = 1.6) : g61 := eval(G, x = 1.62) : g62 := eval(G, x = 1.64) : g63 := eval(G, x = 1.66) : g64 := eval(G, x = 1.68) : g7 := eval(G, x = 1.7) : g71 := eval(G, x = 1.72) : g72 := eval(G, x = 1.74) : g73 := eval(G, x = 1.76) : g74 := eval(G, x = 1.78) : g8 := eval(G, x = 1.8) : g81 := eval(G, x = 1.82) : g82 := eval(G, x = 1.84) : g83 := eval(G, x = 1.86) : g84 := eval(G, x = 1.88) : g9 := eval(G, x = 1.9) : > t1 := eval(G1, x = 1.1) : t2 := eval(G1, x = 1.2) : t3 := eval(G1, x = 1.3) : t4 := eval(G1, x = 1.4) : t41 := eval(G1, x = 1.42) : t42 := eval(G1, x = 1.44) : t43 := eval(G1, x = 1.46) : t44 := eval(G1, x = 1.48) : t5 := eval(G1, x = 1.5) : t51 := eval(G1, x = 1.52) : t52 := eval(G1, x = 1.54) : t53 := eval(G1, x = 1.56) : t54 := eval(G1, x = 1.58) : t6 := eval(G1, x = 1.6) : t61 := eval(G1, x = 1.62) : t62 := eval(G1, x = 1.64) : t63 := eval(G1, x = 1.66) : t64 := eval(G1, x = 1.68) : t7 := eval(G1, x = 1.7) : t71 := eval(G1, x = 1.72) : t72 := eval(G1, x = 1.74) : t73 := eval(G1, x = 1.76) : t74 := eval(G1, x = 1.78) : t8 := eval(G1, x = 1.8) : t81 := eval(G1, x = 1.82) : t82 := eval(G1, x = 1.84) : t83 := eval(G1, x = 1.86) : t84 := eval(G1, x = 1.88) : t9 := eval(G1, x = 1.9) : > abs(evalf (f (1.2), 15) (eval(G, x = 1.2))); > > abs(evalf (f (1.3), 15) (eval(G, x = 1.3))); > > abs(evalf (f (1.4), 15) (eval(G, x = 1.4))); > abs(evalf (f (1.42), 15) (eval(G, x = 1.42))); > abs(evalf (f (1.44), 15) (eval(G, x = 1.44))); > abs(evalf (f (1.46), 15) (eval(G, x = 1.46))); > abs(evalf (f (1.48), 15) (eval(G, x = 1.48))); > > abs(evalf (f (1.5), 15) (eval(G, x = 1.5))); > abs(evalf (f (1.52), 15) (eval(G, x = 1.52))); > abs(evalf (f (1.54), 15) (eval(G, x = 1.54))); > abs(evalf (f (1.56), 15) (eval(G, x = 1.56))); > abs(evalf (f (1.58), 15) (eval(G, x = 1.58))); > > abs(evalf (f (1.6), 15) (eval(G, x = 1.6))); > abs(evalf (f (1.62), 15) (eval(G, x = 1.62))); > abs(evalf (f (1.64), 15) (eval(G, x = 1.64))); > abs(evalf (f (1.66), 15) (eval(G, x = 1.66))); > abs(evalf (f (1.68), 15) (eval(G, x = 1.68))); > > abs(evalf (f (1.7), 15) (eval(G, x = 1.7))); > abs(evalf (f (1.72), 15) (eval(G, x = 1.72))); > abs(evalf (f (1.74), 15) (eval(G, x = 1.74))); > abs(evalf (f (1.76), 15) (eval(G, x = 1.76))); > abs(evalf (f (1.78), 15) (eval(G, x = 1.78))); > > abs(evalf (f (1.8), 15) (eval(G, x = 1.8))); > abs(evalf (f (1.82), 15) (eval(G, x = 1.82))); > abs(evalf (f (1.84), 15) (eval(G, x = 1.84))); > abs(evalf (f (1.86), 15) (eval(G, x = 1.86))); > abs(evalf (f (1.88), 15) (eval(G, x = 1.88))); > > abs(evalf (f (1.9), 15) (eval(G, x = 1.9))); > > > G1 := innerprod(delta1, w); > abs(1.1 (eval(G1, x = 1.1))); > > abs(1.2 (eval(G1, x = 1.2))); > > abs(1.3 (eval(G1, x = 1.3))); > > abs(1.4 (eval(G1, x = 1.4))); > abs(1.42 (eval(G1, x = 1.42))); > abs(1.44 (eval(G1, x = 1.44))); > abs(1.46 (eval(G1, x = 1.46))); > abs(1.48 (eval(G1, x = 1.48))); > > abs(1.5 (eval(G1, x = 1.5))); > > abs(1.52 (eval(G1, x = 1.52))); > abs(1.54 (eval(G1, x = 1.54))); > abs(1.56 (eval(G1, x = 1.56))); > abs(1.58 (eval(G1, x = 1.58))); > > abs(1.6 (eval(G1, x = 1.6))); > > abs(1.62 (eval(G1, x = 1.62))); > abs(1.64 (eval(G1, x = 1.64))); > abs(1.66 (eval(G1, x = 1.66))); > abs(1.68 (eval(G1, x = 1.68))); > > abs(1.7 (eval(G1, x = 1.7))); > abs(1.72 (eval(G1, x = 1.72))); > abs(1.74 (eval(G1, x = 1.74))); > abs(1.76 (eval(G1, x = 1.76))); > abs(1.78 (eval(G1, x = 1.78))); > > abs(1.8 (eval(G1, x = 1.8))); > abs(1.82 (eval(G1, x = 1.82))); > abs(1.84 (eval(G1, x = 1.84))); > abs(1.86 (eval(G1, x = 1.86))); > abs(1.88 (eval(G1, x = 1.88))); > > abs(1.9 (eval(G1, x = 1.9))); > plots[multiple](plot { t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t } st t s r r # s s s t s # > h := array(1 25, 4); h[1, 1] := T T ; h[1, 2] := GT x; h[1, 3] := GT N S; h[1, 4] := SS r r t h[i + 1, 1] := i : h[i + 1, 2] := evalf (1.4 + 1.4 + 1.4 + 100 (i 1)) : 100 (i 1)) : 100 (i 1)) : h[i + 1, 3] := eval(G1, x = h[i + 1, 4] := abs(1.4 + : print(h) 100 (i 1)) eval(G1, x = TT GT x GT N S SS 1.400000000 1.410940838 0.010940838 1.420000000 1.432065876 0.012065876 1.440000000 1.451844681 0.011844681 1.460000000 1.470974248 0.010974248 1.480000000 1.490319788 0.010319788 1.500000000 1.510468158 0.010468158 1.520000000 1.531899073 0.011899073 1.540000000 1.553740594 0.013740594 1.560000000 1.575004473 0.015004473 10 1.580000000 1.594639484 0.014639484 11 1.600000000 1.612010814 0.012010814 > 12 1.620000000 1.627759775 0.007759775 13 1.640000000 1.643191381 0.003191381 14 1.660000000 1.663122038 0.003122038 15 1.680000000 1.685208902 0.005208902 16 1.700000000 1.712358658 0.012358658 17 1.720000000 1.742582299 0.022582299 18 1.740000000 1.773107562 0.033107562 19 1.760000000 1.797602730 0.037602730 20 1.780000000 1.811985835 0.031985835 21 1.800000000 1.813789080 0.013789080 22 1.820000000 1.810504210 0.009495790 23 1.840000000 1.805947508 0.034052492 24 1.860000000 1.815515051 0.044484949 # h1 := array(1 25, 5) : h1[1, 1] := T T : h1[1, 2] := GT x : h1[1, 3] := GT N S : h1[1, 4] := GT HS : h1[1, 5] := SS : r r t h1[i + 1, 2] := evalf (1.4 + 100 (i 1)) : h1[i + 1, 3] := eval(G, x = 2 1.4 + 100 (i 1)) : h1[i + 1, 4] := evalf (f (1.4 + 100 (i 1))) : h1[i + 1, 5] := abs(f (1.4 + 100 (i 1)) eval(G, x = 1.4 + 100 (i 1))) : : print(h1) số 1, 33x f (x) = 2, 3sin 2, + 1, 45 2.e1,37(x4,201) ỡ s tr ữ s B4 (x), B6 (x), B8 (x) ữớ s t số s ữớ y = f (x) ợ N = 10, A = 1, B = õ ỗ t ỡ s s ỗ t s t số s f (x) s ữủ ọ s số s t số ữ s TT > 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 GT x GT N S SS 1.400000000 1.410940838 0.010940838 1.420000000 1.432065876 0.012065876 1.440000000 1.451844681 0.011844681 1.460000000 1.470974248 0.010974248 1.480000000 1.490319788 0.010319788 1.500000000 1.510468158 0.010468158 1.520000000 1.531899073 0.011899073 1.540000000 1.553740594 0.013740594 1.560000000 1.575004473 0.015004473 1.580000000 1.594639484 0.014639484 1.600000000 1.612010814 0.012010814 1.620000000 1.627759775 0.007759775 1.640000000 1.643191381 0.003191381 1.660000000 1.663122038 0.003122038 1.680000000 1.685208902 0.005208902 1.700000000 1.712358658 0.012358658 1.720000000 1.742582299 0.022582299 1.740000000 1.773107562 0.033107562 1.760000000 1.797602730 0.037602730 1.780000000 1.811985835 0.031985835 1.800000000 1.813789080 0.013789080 1.820000000 1.810504210 0.009495790 1.840000000 1.805947508 0.034052492 1.860000000 1.815515051 0.044484949 > TT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 GT x GT N S GT HS SS 1.400000000 2.223313263 2.201983699 0.021329564 1.420000000 2.218151021 2.192983187 0.025167834 1.440000000 2.209164065 2.183665154 0.025498911 1.460000000 2.197351323 2.174037983 0.023313340 1.480000000 2.184354127 2.164109853 0.020244274 1.500000000 2.171664642 2.153888750 0.017775892 1.520000000 2.160751059 2.143382480 0.017368579 1.540000000 2.150960329 2.132598676 0.018361653 1.560000000 2.141349974 2.121544817 0.019805157 1.580000000 2.130660820 2.110228234 0.020432586 1.600000000 2.117747554 2.098656122 0.019091432 1.620000000 2.102806808 2.086835558 0.015971250 1.640000000 2.086715987 2.074773506 0.011942481 1.660000000 2.074503133 2.062476830 0.012026303 1.680000000 2.062753315 2.049952307 0.012801008 1.700000000 2.054965910 2.037206647 0.017759263 1.720000000 2.049651434 2.024246490 0.025404944 1.740000000 2.044966048 2.011078434 0.033887614 1.760000000 2.035659500 1.997709045 0.037950455 1.780000000 2.017526655 1.984144868 0.033381787 1.800000000 1.988427637 1.970392439 0.018035198 1.820000000 1.953988463 1.956458316 0.002469853 1.840000000 1.920401834 1.942349079 0.021947245 1.860000000 1.896848102 1.928071351 0.031223249 t r q tr ự ữớ s t số tr ởt õ tố ợ ỡ s r ỳ t t ỡ s s ữớ s t số s ữớ s t số ụ ữ ỹ ổ s s t số tr s s t số tớ õ tự ỏ ổ t tr ữủ ỳ t sõt t ổ ỗ õ ỵ õ sỷ ữủ tốt ỡ t t ữỡ t ữớ t số P t tr t tr tt PPrtr s rt ts trs r t r ts ttstrrtt rs t t r trrt qts t r r rt t Ps s ss Prt rs [...]... t tữớ s tự j d Bj,d , Bj,t Bj t Bj,d,t (x) tr út t = (tj )n+d+1 õ tj t m j=1 tj = tj+1 = = tj+m1 t t õ tj út ở m t = (tj )n+d+1 ồ j=1 út ừ n ữớ s tr t Bj,d (x) = B( x|tj , , tj+d+1 ) tj , tj+1 , , tj+d , tj+d+1 = (a, b, , c, d) t ổ tự õ t t B( x|a, b, , c, d) = xa dx B( x|a, b, , c) + B( x |b, , c, d) ca db ữớ t = (tj )n+d+1 j=1 số tỹ ổ q 2 số ổ ừ ồ ữớ s d... n f (t) = pi,2 (t)Bi,0 (t), i=3 ợ Bi,0 (t) = ti t ti+1 1, 0, trữớ ủ ởt số s ứ t õ ởt số s ữ s ử s x tj tj+2 x Bj,0 (x) + Bj+1,0 (x) tj+1 tj tj+2 tj+1 (x tj ) / (tj+1 tj ) , tj x < tj+1 = (tj+2 x) / (tj+2 tj+1 ) , tj+1 x < tj+2 0, trữớ ủ Bj,1 (x) = ử s x tj tj+3 x Bj,1 (x) + Bj+1,1 (x) tj+2 tj tj+3 tj+1 x tj tj+2 x Bj,1 (x) = Bj,0 (x) + Bj+1,0 (x) tj+1 ... tj+1 x tj+1 tj+3 x Bj+1,1 = Bj+1,0 (x) + Bj+2,0 (x) tj+2 tj+1 tj+3 tj+2 Bj,2 (x) = x tj x tj tj+2 x Bj,0 (x) + Bj+1,0 (x) + tj+2 tj tj+1 tj tj+2 tj+1 tj+3 x x tj+1 tj+3 x + Bj+1,0 (x) + Bj+2,0 (x) tj+3 tj+1 tj+2 tj+1 tj+3 tj+2 (x tj )2 (tj+3 x)2 = Bj,0 (x) + Bj+2,0 (x)+ (tj+2 tj )(tj+1 tj ) (tj+3 tj+1 )(tj+3 tj+2 ) (x tj )(tj+2 x) (tj+3 x)(x tj+1 ) + + Bj+1,0 (x) (tj+2 tj... ởt tỡ tr Rd1 t õ aT Bd (y) = 0 ợ ồ y d + 1 tự tr d ở t t tự aT B = 0 a tũ ỵ B ỗ tt ỳ tỡ 0 õ B = 0 ỵ ừ rs trữợ út t = (tj )n+d+1 j=1 q (y x)d = n j=1 j,d (y)Bj,d (x) ú ợ ồ số tỹ y ồ số tỹ x tr td+1, tn+1 ố ụ ừ ỵ (2.2) tở số d ử tở y sỷ ử t q ú t õ t r ró r ụ tứ 1, x, , xd õ t ữủ t tr ừ s ờ s {Bj,d}àj=àd t tr tà, tà+1) tự {j,d}àj=àd ở t ự số 1, x, , xd ỡ s... j õ t số (yi+1 yi ) (xi+1 xi ) ữủ ồ t s ừ số y = f (x) t xi (i = 0, 1, , n 1) ữủ f (xi ; xi+1 ) số [f (xi+1 ; xi+2 f (xi ; xi+1 )] / [xi+2 xi ] ữủ ồ t s ừ số y = f (x) t xi ữủ ỵ f (xi ; xi+1 ; xi+2 ) ờ qt t số [f (xi+1 ; ; xi+k ) f (xi ; ; xi+k1 )] (xi+k xi ) ữủ ồ t s ừ số y = f (x) t xi õ ữủ ỵ f (xi ; xi+1 ; ; xi+k ) số tỹ y = f (x) tr [a, b] xi [a, b] , i =... tj+1+d n+d+1 ợ ữỡ t õ t t tỡ út t = (tj )j=1 ss {Bj,d }nj=1 ợ tỡ út n f= cj Bj,d , j=1 ợ c = (cj )nj=1 ữỡ t õ s t = (tj )n+d+1 j=1 út ừ n ữớ s t Sd,t = span {B1 ,d , , Bn,d = số tỹ ổ n cj Bj,d |cj R, 1 j=1 j n n t Sd,t ổ t t ởt tỷ f = cj Bj,d ừ Sd,t j=1 ữủ ồ ởt s ởt s d ợ ỳ út t (cj )nj=1 ữủ ồ số s ừ f ử (xi, yi)m i= i=1 ởt t ủ ợ xi < xi+1 , 1, 2,... 1) m s(x) = yj Bj,1 (x), x [x1 , xm ] j=1 t s tọ ở s m s(xi ) = yj Bj,1 (xi ) = yi , i = 1, , m = 1 j=1 ứ s t xi r t x = xm tt s tọ (2.4) ữ Bi1,1 (xi ) = 1 lim Bm (x) = 1 x(xm ) t t ừ s s ỹ ở t t ừ tự t j,0(y) = 1 d ữủ 1 t t ồ ỳ tự j,d (y) = (y tj+1 )(y tj+2 ) (y tj+d ) ữủ ồ tự ố ừ s Bj,d r [tà , tà+1 ) ú t õ d + 1 s 0 Bd = (B d,d , , B ,d )T t tự... [a, b] t n 1 a = t1 t2 tn = b õ t = (tj )nj=1 tj út sỷ tr ộ [tj , tj+1 ] j = 1, 2, , n 1 t õ ởt tự tự tử t út õ t õ ữớ tự tứ ồ ữớ s ử ỗ ỹ õ ớ ừ d ởt số ổ t = (tj )n+d+1 j=1 út số tỹ ổ s tự j d ợ út t ữủ Bj,d,t (x) = x tj tj+1+d x Bj,d1,t (x) + Bj+1,d1,t (x) tj+d tj tj+1+d tj+1 ợ ồ số tỹ x tr õ Bj,0,t (x) = 1, x [tj , tj+1 ) 0,... hn1 = bn ữỡ tr tr t ữủ 2m0 + m1 = b0 (1 a) m0 + 2m1 + a1 m2 = b1 (1 a) m1 + 2m2 + m3 = b2 (1 a) mn2 + 2mn1 + an1 mn = bn1 mn1 + 2mn = bn ữỡ tr ỗ (n + 1) ữỡ tr (n + 1) ỗ tớ tr số õ ữớ trở ữỡ tr õ t m = (m0 , m1 , , mn ) t mi ứ t ữủ S(x) t t õ tự s S(x) tọ t t r ữỡ s s ữớ s t số s s ờ ủ ỗ ỗ ờ ủ ỗ r R2 c1 = (x1 ; y1 ) c2 = (x2... d tr Rq ợ út t ữủ q Sd,t = n cj Bj,d |cj Rq , 1 j n j=1 n q ữủ ồ tỡ ử t ởt tỷ f = cj Bj,d ừ Sd,t j=1 s ữớ s t số d ợ út t (cj )nj=1 ữủ ồ số s ừ f t = (tj )n+d+1 ởt út ừ s d j=1 n q f = cj Bj,d ởt ữớ s tr Sd,t ợ q 2 j=1 tự ừ f tự ừ õ t ố ừ õ t = (tj )n+d+1 ởt út ừ s d j=1 à ởt số ợ tà < tà+1 d + 1 à n ợ ộ số ữỡ k ợ k d tr Rkà (x) = Rk (x)