Dù chỉ chiếm phần nhỏ trong đề thi tốt nghiệp hay đại học nhưng cũng rất dễ lấy điểm nếu các bạn nắm chắc chủ đề này. Tài liệu sẽ giúp bạn tự tin trong khi làm bài cũng như trong những cuộc thi quan trọng
TƢƠNG GIAO CỦA HÀM BẬC BA VÀ ĐƢỜNG THẲNG Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (với a, b, c, d phụ thuộc vào tham số) Tìm giá trị tham số để đồ thị cắt đường thẳng y = αx + β (hoặc trục Ox) điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước Phƣơng pháp: Bƣớc 1: Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng là: ax3 + bx2 + cx + d = αx + β ⇔ ax3 + bx2 +(c – α)x + d - β = (*) Giả sử ta đoán trước phương trình (*) có nghiệm x = x0 (*) Khi (*) phân tích thành: (x – x0) (Ax2 +Bx +C) = ⇔ [ ( ) Để đồ thị hàm số cắt đường thẳng điểm phân biệt ⇔ (*) có nghiệm phân biệt ⇔g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác x0 ⇔{ ( ) ( ) ⇔ Giá trị tham số thuộc miền D (**) Giả sử đường thẳng cắt đồ thị điểm phân biệt A(xA, yA) với xA = x0 hai điểm B, C với xB, xC nghiệm phương trình g(x) = Bƣớc 2: Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng tích nghiệm thay tổng tích vào từ dẫn tới phương trình bất phương trình theo tham số, giải phương trình ta tham số sau đối chiếu với điều kiện (**) kết luận VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (1) trục Ox x3 – 2x2 + (1 – m)x + m = (2) ⇔(x – 1)(x2 – x – m) = 0⇔ [ ( ) Để đồ thị cắt trục hoành ba điểm phân biệt ⇔ phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ⇔g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác ⇔{ ⇔{ ( ) ( ) Để có ba nghiệm thỏa mãn x = x1 = x2, x3 nghiệm phương trình g(x) = Theo đinh lý viet ta có { Từ biểu thức ⇔( ) ⇔ ⇔ Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy giá trị cần tìm { Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m+3)x + có đồ thị (Cm) Cho E(1; 3) đường thẳng ∆ có phương trình x – y + = Tìm m để ∆ cắt (Cm) ba điểm phân biệt A, B, C (với xA = 0) cho tam giác EBC có diện tích Giải Phương trình hoành độ giao điểm là: x3 + 3mx2 + (m+3)x + = x + (1) ⇔ ( ) Đường thẳng d cắt ( ⇔{ ⇔[ ( ) ( ) ) ba điểm phân biệt A(0;4), B, C ⇔phương trình (2) có nghiệm phân biệt khác ⇔{ ( ) ( ) Với xB, xC nghiệm phương trình g(x) = Theo định lý ta có: { ( Diện tích Suy BC = 4√ ⇔ ( ⇔ ( ) ) với khoảng cách d(E, BC) = √ ) ⇔* Đối chiếu với điều kiện (*) ta m = giá trị cần tìm Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 - 2mx2 + 2mx -1 (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt A(1;0), B C cho K1 + K2 = BC √ Trong K1, K2 hệ số góc tiếp tuyến B C đồ thị hàm số (1) Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox là: x3 - 2mx2 + 2mx -1=0 ⇔ (x – 1)[x2 + (1 – 2m)x + 1] = >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ⇔[ ( ) ( ) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình (*)phải có nghiệm phân biệt khác ⇔ x2 + (1 – 2m)x + 1=0 phải có nghiệm phân biệt khác ⇔{ ( [ ⇔ ) ⇔[ { Giả sử: B(xB; 0); C(xC;0) xB, xC nghiệm phân biệt phương trình nên theo định lý viet ta có: xB + xC = 2m – xB xC = ) √( Ta có: √ Mặt khác: K1 + K2 = = ( ( ) ) Theo giả thiết ta có: K1 + K2 = BC√ ⇔ √ ( ⇔m2 – m – = ⇔ * Vậy với * ) ( ) thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 4: Cho hàm số y = 2x3 - 3mx2 + (m-1)x + (1) Tìm m để đường thẳng y = 2x + cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm A, B, C phân biệt thỏa mãn điểm C(0;1) nằm A B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài √ Giải Hoành độ giao điểm d đồ thị (Cm) hàm số: y = 2x3 - 3mx2 + (m-1)x + nghiệm phương trình: 2x3 - 3mx2 + (m-1)x + = 2x + ⇔x(2x2 – 3mx + m – 3) = ⇔[ ( ) Đường thẳng d cắt đồ thị(Cm) điểm A; B; C phân biệt C nằm A B phương trình (*) có nghiệm trái dấu ⇔2.(m – 3)< ⇔ m < (*) Khi tọa độ A B thỏa mãn { { (Vì A B thuộc (d)) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ⇔ √( Theo giả thiết AB = √ ⇔( ) ⇔( ⇔ ) ( ) ) ⇔[ √ ⇔ (Thỏa mãn (*)) Vậy m = 0; m = giá trị cần tìm Ví dụ 5: Cho hàm số: có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng ∆: cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C cho A cố định diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB Giải Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng ∆: ⇔ ( ⇔[ (C) là: ) ( ) ( Với x = 0=> y = ) Đường thẳng ∆: cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C ⇔Phương trình x2 – 6x + – 3m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác ⇔{ Khi ⇔{ ⇔{ ( ) ( ) ( ) ) ( Theo giả thiết: ( ⇔ ⇔( ) ( ) ⇔( )( ) ⇔( ) ⇔[ ( ( ) ⇔ ⇔ ) ) (1) (vì x1 + x2 = 6) Mà x1 ; x2 nghiệm phương trình (*) nên theo viet: { ( ) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Từ (1) và(2) => m = (thỏa mãn (*)) Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ 6: Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt d: y = -x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho tiếp tuyến (Cm) B vuông góc với Giải Phương trình hoành độ giao điểm d (Cm) là: x3 + mx2 + 1= -x + ⇔ x(x2 + mx + 1) = ⇔ [ ( ) Đường thẳng d cắt (Cm) ba điểm phân biệt ⇔ g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác ⇔{ ( ) ⇔* (*) Vì xB, xC nghiệm g(x) = theo định lý viet =>{ Tiếp tuyến (Cm) B C vuông góc với nên ta có: f’(xC).f’(xB)=-1 ⇔xB.xC (3xB + 2m)(3xC + 2m) = -1 ⇔ xB.xC [9 xB.xC + 6m(xB+xC) + 4m2] = -1 ⇔1[9+6m(-m)+4m2]= -1 ⇔ 2m2 = 10 ⇔ m = √ (Nhận so với điều kiện (*)) Vậy m = √ giá trị cần tìm Ví dụ 7: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (C) Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc (k > -3) cắt đồ thị ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB Giải Đường thẳng d qua điểm I(1;2) với hệ số góc k có phương trình là: d: y – = k(x – 1) ⇔ y = kx – k + Phương trình hoành độ giao điểm nghiệm phương trình x3 – 3x2 + = kx – k + ⇔ x3 – 3x2 – kx + k + = ⇔(x – 1)(x2 – 2x – k – 2) = ⇔ [ ( ) Vì { k > - nên đồ thị cắt đường thẳng d ba điểm phân biệt I, A, B với I(1;2) ( ) hoành độ hai điểm A, B nghiệm phương trình g(x) =0 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Theo viet ta có : x1 + x2 = 2= 2x1, chứng tỏ I trung điểm A, B nên ta có đpcm Ví dụ 8: Tìm m để đồ thị hàm số (Cm): y = x3 + 3x2 + (m + 2)x + 2m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ âm Giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) Ox x3 + 3x2 + (m + 2)x + 2m = ⇔ (x+2)(x2 + x + m ) = (1) ⇔[ ( ) Đồ thị (Cm) cắt Ox điểm hoành độ âm ⇔ (2) có nghiệm âm phân biệt khác -2 ⇔{ ⇔{ ⇔{ ⇔ thỏa mãn yêu cầu toán Vậy với Ví dụ 9: Cho hàm số y = -x3 + 3x (1) Gọi d đường thẳng qua điểm A(2;-2) có hệ số góc k Xác định giá trị tham số k để d cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt có hoành độ lớn -2 Giải Phương trình đường thẳng d là: y = k(x- 2) – Phương trình hoành độ giao điểm d đồ thị (1) -x3 + 3x = k (x – 2) – ⇔(x – 2)(x2 + 2x +1 + k) = Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt có hoành độ lớn -2 phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn -2 ( ) ⇔{ (với x1, x2 nghiệm (*)) ⇔{ ⇔ { * ⇔ √ Nhận xét: Qua ví dụ ví dụ ta rút kết luận Xét tam thức bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c, (a ≠ 0), ∆ = b2 – 4ac Gọi S, P tổng tích hai nghiệm trái dấu x1, x2 Hệ thức Viet: { >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Điều kiện f(x) = có hai nghiệm trái dấu x1 < < x2 ⇔ P < Điều kiện f(x) = có hai nghiệm phân biệt dấu ⇔ { Điều kiện f(x) = có hai nghiệm phân biệt dương x1 > α ⇔{ +x1 x1 +x2 + x3 = (1) Ta có x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng ⇔ x1 + x3 = 2x2 (2) Thế (2) vào (1) ta có: x2 = Khi x2 = (*) ta m = 11 Với m = 11: (*)⇔ x3 – 3x2 – 9x + 11 = ⇔ (x – 1)(x2 – 2x – 11) = √ ⇔[ √ Vậy m = 11 giá trị cần tìm Chú ý: -Nếu đa thức y = f(x) = ax3 + bx2 +cx + d (a ≠ 0) có nghiệm x1, x2, x3 y = f(x) = a(x – x1)(x – x2)(x – x3) (Không sử dụng định lý viet cho phương trình bậc ba) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! -Trong trường hợp đặc biệt phương trình bậc ba mà đoán nghiệm ta làm sau Ví dụ 11: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – (2m + 1)x2 - 9x cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Giải Đồ thị hàm số y = x3 – (2m + 1)x2 - 9x cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng ⇔Phương trình x3 – (2m + 1)x2 - 9x = (1) có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Phương trình: x3 – (2m + 1)x2 - 9x = ⇔ x[x2 – (2m + 1)x – 9] = ⇔[ ( ) ( ) Phương trình (1’) có nên có nghiệm trái dấu Do hoành độ giao điểm đồ thị với Ox x1 < x0 = < x2 Để x1, x0, x2 lập thành cấp số cộng ⇔ x1 + x2 = 2x0 ⇔ 2m +1 = 0⇔ m = Ví dụ 12: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 + (5 – m)x2 + (6 – 5m)x – 6m (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân Giải Đồ thị hàm số y = x3 + (5 – m)x2 + (6 – 5m)x – 6m (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân ⇔ phương trình x3 + (5 – m)x2 + (6 – 5m)x – 6m = (1) có nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Phương trình: x3 + (5 – m)x2 + (6 – 5m)x – 6m = ⇔(x +2)[x2 + (3 – m)x – 3m] = ⇔[ ( ) ( ) ⇔[ Để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt m ≠ {-3; -2} Trƣờng hợp 1: m < -3 < -2 Để dãy số m; -3; -2 lập thành cấp số nhân m (-2) = (-3)2 ⇔ m = Trƣờng hợp 2: -3 < m < -2 Để dãy số -3; m; -2 lập thành cấp số nhân -3 (-2) = m2 ⇔m2 =6 ⇔ m = √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Trƣờng hợp 3: -3 < -2 < m Để dãy số -3; -2; m lập thành cấp số nhân -3 m = (-2)2 ⇔ m = Vậy với √ thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 13: Tìm m để đồ thị hàm số y = f(x) = x3 – (3m + 1)x2 + (5m + 4)x – (Cm) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân Nhận xét: Đối với toán xét phương trình hoành độ giao điểm ta không dễ dàng tìm nghiệm phương trình, ta sử dụng tính chất cấp số nhân, tìm m, sau thay m cụ thể vào hàm số để kiểm tra lại nhận giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán Giả sử (Cm) cắt Ox ba điểm phân biệt x1, x2, x3 đó: x3 – (3m + 1)x2 + (5m + 4)x – = (x – x1)(x – x2)(x – x3) ⇔ x3 – (3m + 1)x2 + (5m + 4)x – = x3 – (x1 +x2 + x3) x2 + (x1 x2 + x2 x3+ x3x1)x – x1x2x3 Từ ta có: x1.x2.x3 =8 Vì x1,x2,x3 tạo thành cấp số nhân nên x1.x2 = (x2)2 đó: x1.x2.x3 = (x2)3 = ⇔ x2 = Vì x2 hoàn độ giao điểm nên f(x2) = f(2) = ⇔ 2(2 –m) =0 ⇔ m =2 Với m = f(x) = x3 – 7x2 + 14x – = ⇔ (x – 1)(x2 – 6x + 8) = ⇔* ⇔[ Ta thấy số: 1; 2; tạo thành cấp số nhân với công bội Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ 14: Cho hàm số y =x3 – 3(m+1)x2 + 6mx – 3m + Gọi ∆ tiếp tuyến đồ thị (Cm) điểm A có hoành độ Tìm m để ∆ cắt đồ thị điểm B khác A cho ∆OAB tam giác vuông cân O Giải Ta có: y’ = 3x2 – 6(m +1)x + 6m Với x = => y =2=> y’ = -3 Phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x – 1) +2 Phương trình hoành độ giao điểm tiếp tuyến ∆ đồ thị (Cm): x3 – 3(m+1)x2 + 6mx – 3m + = = -3(x – 1) +2 ⇔ (x – 1)2(x – 3m – 1)=0⇔ * Ta có: B(3m + 1; -9m + 2) => ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⇔ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! ∆OAB vuông cân A ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔{ ⇔{ ( √( ) ) ( ( ) ) √ ⇔ Vậy m = giá trị cần tìm >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10