SỞ GIÁO VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn Toán (Đề có 01 trang) Thời gian làm bài 150 phút Bài 1 a) Tính giá trị biểu thức , biết b) Giải[.]
SỞ GIÁO VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) Bài 1: a) Tính giá trị biểu thức: KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút , biết b) Giải phương trình: Bài 2: a) Giải hệ phương trình: b) Tìm số tự nhiên a, b, c phân biệt cho biểu thức sau nhận giá trị nguyên Bài 3: Tam giác ABC có chu vi 1, cạnh a, b, c thoả mãn đẳng thức: Chứng minh tam giác ABC Bài 4: Cho tam giác ABC vuông cân A, gọi D trung điểm cạnh BC Lấy M đoạn thẳng AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự hình chiếu vng góc M xuống cạnh AB, AC H hình chiếu vng góc N xuống đường thẳng PD a) Chứng minh AH vng góc với BH b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực AB I Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng Bài 5: Các số thực dương x, y, z thoả mãn điều kiện: x + y +z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN NĂM HỌC 2012-2013 Bài 1: a) Ta có (1) Tương tự: (2) Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế ta Vậy M = b) Ta có Dể thấy x = nghiệm phương trình, phương trình cho tương đương với (với ) * Nếu t = * Nếu vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x =1 Bài 2: a) Từ phương trình (1) ta suy ra: ta được: * Nếu vào phương trình (2) thu gọn vào phương trình (1) ta phương trình vơ nghiệm * Nếu , trừ vế theo vế phương với phương trình (1) ta được: + Nếu x =3 thay vào phương trình (1) ta suy y2 = suy y = 0, cặp (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2) + Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = suy x = 2, cặp (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2) Vậy nghiệm hệ cho (x; y) = (3;0), (2; 1) b) Ta có , a, b, c số tự nhiên để P số nguyên số nguyên Do vai trò nên ta giả sử a ; c > (với ) Vậy tam giác ABC Bài 4: Từ ta có hình vẽ sau: B D E I M N A H P C a) Theo giả thiết ta có tam giác ABC vng cân A mà D trung điểm BC nên AD tia phân giác Do nên suy tứ giác ANM P hình vng Mặt khác tứ giác ANHP có nên nội tiếp đường trịn đường kính NP suy (cùng chắn cung AP) Xét tứ giác BDHA có (hai góc kề bù) suy tứ giác BDHA nội tiếp suy b) Theo câu ta có điểm A, P, H, M, N nằm đường tròn đường kính AM NP suy suy điểm B, H, M thẳng hàng nên (1) Vì BI// AD nên BI vng góc với BC suy Gọi E trung điểm AB ta có ta giác EBI vuông cân E nên EB = EI = EA suy tam giác IAB vuông cân I Xét tứ giác AIBH có (2) Từ (1) (2) Bài 5: Ta có: nên nội tiếp suy suy ba điểm H, N, I thẳng hàng Ta có (dấu “=” xảy a = b) ; Tương tự: Do Do F đạt giá trị nhỏ x = y = z =