GiảI bằng phơng pháp khác đúng cho điểm tơng đơng..[r]
(1)§Ò thi HSG To¸n Thêi gian: 120’ A/ đề bài C©u 1: ( 2,5 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a/ x2 – x – (1 ®iÓm) b/ x3 – x2 – 14x + 24 (1,5 ®iÓm) C©u 2: ( ®iÓm) T×m GTNN cña : x2 + x + C©u 3: ( ®iÓm) Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 víi m, n Z C©u 4: ( 1,5 ®iÓm) Cho a > b > so s¸nh sè x , y víi : 1 a x = 1 a a C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) 1 b ; y = 1 b b x x2 x Gi¶i ph¬ng tr×nh: + + = 14 C©u 6: ( 2,5 ®iÓm) Trên cạnh AB phía hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân , đỉnh F có góc đáy là 150 Chứng minh tam giác CFD là tam giác B/ §¸p ¸n C©u 1: a/ Ta cã: x2 – x – = x2 – – x – = (x - 2)(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x – - 1) = (x + )(x - 3) ( Nếu giải cách khác cho điểm tơng đơng ) b/ Ta cã: x = lµ nghiÖm cña f(x) = x3 – x2 – 14x + 24 Do đó f(x) x – 2, ta có: f(x) : (x – 2) = x2 + x – 12 VËy x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)( x2 + x – 12) Ta l¹i cã: x = lµ nghiÖm cña x2 + x – 12 Nªn x2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4) Nh vËy: x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) C©u 2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2 + x + (1 ®’) 3 ( x )2 4 Ta cã : x2 + x + = ( x )2 =0 Vậy f(x) đạt GTNN Tøc x = - C©u 3: Ta cã : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1) = n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) lµ tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp đó có ít hai số là bội ( đó số là bội 4, số là bội 3, mét sè lµ béi cña 5) VËy tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 8,3,5 = 120 C©u 4: (1,5 ®’) 1 a a2 a2 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 y x 1 a 1 a 2 a a a b2 b Ta cã x,y > vµ 1 1 V× a> b > nªn a b vµ a b VËy x < y C©u 5: 1/ XÐt kho¶ng x < -2 ,ta cã: -3x + = 14 x = - (2) 2/ -2 x < 1, ta cã : -x + 16 = 14 x = (lo¹i) 3/ x < 3, ta cã : x + = 14 x = 10 (lo¹i) 16 4/ x , ta cã: 3x – = 14 x = 16 x= VËy ph¬ng tr×nh trªn cã nghiÖm lµ x = - vµ C©u 6: ( 2,5 ®’) Dựng tam giác cân BIC nh tam giác AFB có góc đáy 150 Suy : B2 60 (1) Ta cã AFB BIC (theo c¸ch vÏ) nªn: FB = IB (2) Từ (1) và (2) suy : FIB §êng th¼ng CI c¾t FB t¹i H Ta cã: I = 300 ( gãc ngoµi cña CIB ) Suy ra: H = 900 ( v× B = 600 ) Tam giác FIB nên IH là trung trực FB hay CH là đờng trung trực CFB Vậy CFB cân C Suy : CF = CB (3) Mặt khác : DFC cân F Do đó: FD = FC (4) Tõ (3) vµ (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC) Vậy DFC GiảI phơng pháp khác đúng cho điểm tơng đơng D C I F F F H A 15 150 B (3)