DE KHAO SAT MONTOAN LAN 3 K A http //toanhocmuonmau violet vn/ http //toanhocmuonmau tk/ TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1 Đề chính thức ĐỀ KHẢO SÁT MÔN TOÁN KHỐI A, A1 LẦN 3 Năm học 2012 2013 Thời gian 180[.]
http://toanhocmuonmau.violet.vn/ ĐỀ KHẢO SÁT MƠN TỐN KHỐI A, A1 LẦN Năm học:2012 -2013 Thời gian: 180 phút TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ Đề thức I – Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu 1(2 điểm) Cho hàm số y = x − mx + 3m − có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m=1 2) Tìm m để (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp I 0;1 ( ) Câu (1 điểm) Giải phương trình: sin x.sin x + cos x + sin x.cos x = sin x + cos x Câu 3(1 diểm) Giải phương trình x + = ( x − 1) ( x +1 − − x π Câu (1 điểm) Tính tích phân: I = ∫( ) ) cos x − 3sin x + x sin xdx Câu (1 điểm) Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD = 60 Gọi G trọng tâm tam giác ABD, SG ⊥ ( ABCD) góc SA mặt đáy 600 Gọi M trung điểm CD Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách đường thẳng AB SM theo a Câu (1 điểm) Cho a, b, c số không âm thỏa mãn a ( a − 1) + b ( b − 1) + c ( c − 1) = Tìm giá trị lớn P= a b c + + a +1 b +1 c +1 II – Phần tự chọn (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu 7a (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có M(0 ;1) trung điểm cạnh AB, đường chéo AC nằm đường thẳng d có phương trình x + y − = , diện tích hình chữ nhật 16 Tìm tọa độ điểm A biết A có tọa độ nguyên x − y +1 z +1 , mặt phẳng = = 1 −2 ( P ) : x + y − z + = điểm M(1;-1;1) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d A cắt (P) B cho M Câu 8a (1điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : trọng tâm tam giác OAB Câu 9a(1 điểm) Cho n số nguyên dương thỏa mãn 7Cn = Cn Tìm hệ số số hạng khai triển nhị thức n nx Newton − 2x B Theo chương trình nâng cao Câu 7b (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E): x2 + 4y2 = có hai tiêu điểm F1 F2 Tìm tọa độ điểm M elip (E) cho góc F1MF2 = 60 Câu 8b (1điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x − y − z + 10 = , hai đường thẳng (∆1): x − y z −1 x −2 y z+3 = = = = , (∆2): Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (∆1), tiếp xúc với (∆2) 1 −1 1 mặt phẳng (P) Câu 9b(1 điểm) Giải phương trình: log (x + 2) + log (x − 5) + log = Hết -Họ tên thí sinh…………………………………………….Số báo danh:…………………………… http://toanhocmuonmau.tk/ http://toanhocmuonmau.violet.vn/ HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN KHỐI A-A1 LẦN NĂM HỌC 2012-2013 CÂU ĐIỂM PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 1.(1 điểm) +Tập xác định,tìm giới hạn +Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên + Chỉ biến thiên, cực trị + Đồ thị 2.(1 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 y ' = x3 − 4mx (Cm) có cực trị ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ ⇔ m > + +(Cm) có điểm cực trị : Câu (2 điểm) A ( 0;3m − 1) , B ( ) ( 0.25 ) 0.25 m ; − m2 + 3m − , C − m ; −m + 3m − IA = IB + Do tam giác ABC cân A nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu (1 điểm) m = ( tm ) + 29 + Thay số dẫn tới phương trình ( m − 1) ( m − 5m − 1) = ⇔ m = ( tm ) KL m = − 269 l () Giải phương trình sin x.sin x + cos x + sin x.cos x = sin x + cos x + Phương trình tương đương với 2sin x.cos x + − 2sin x + sin x ( cos x − 1) − cos x = ⇔ ( cos x − 1) ( sin x + s inx − 1) = + cos x = ⇔ x = k 2π Câu (1 điểm) 0.5 0.25 ⇔ ( cos x − 1)( sin x − cos x ) = 0.25 0.25 π 2π π − x ⇔ x = + k 2 + sin x = cos x ⇔ cos x = cos 0.25 + Điều kiện −1 ≤ x ≤ 0.25 a = x + 1; b = − x ⇒ a − b = x − +Đặt Do (1) trở thành: 2a = ( a − b + 1) ( a − b ) ⇔ a + b = ( a − b ) ( a − b ) ⇔ ( a + b ) ( a − b ) − 1 = 0.25 ⇔ ( a − b ) = (do a + b > ) x +1 − − x = a − b = ⇔ ⇒ a − b = −1 x + − − x = −1 +Giải phương trình x + − − x = , kết hợp điều kiện nghiệm +Giải phương trình x + − − x = −1 , kết hợp điều kiện nghiệm x= 2− kết luận x= 2+ 0.25 0.25 Câu (1 điểm) π π 6 I1 = ∫ cos x − 3sin x sin xdx = ∫ cos x − 1.sin x.dx 0 http://toanhocmuonmau.tk/ Đặt t = cos x − ⇒ t = cos x − ⇒ tdt = −2 sin xdx + Xét 0.25 http://toanhocmuonmau.violet.vn/ π 1 Đổi cận : x = ⇒ t = 1; x = ⇒ t = ⇒ I1 = ∫ t dx = 20 π du = dx u = x +Xét I = ∫ x sin xdx ; Đặt ⇒ dv = sin xdx v = − cos2x π π Khi I = − π 6 16 π π x cos 2x + ∫ cos2xdx = − + sin 2x = − + 20 24 24 0 π − + 24 +Kết luận I = I1 + I = 0.25 S B H C G M A Câu (1 điểm) D + Chỉ góc SA (ABCD) SAG = 60 , tính SG = a 0.25 + Tính diện tích hình thoi ABCD a2 , từ tính thể tích khối chóp SABCD a3 AC d ( G, ( SCD ) ) (do = ) GC a + Kẻ GH ⊥ SD, GH ⊥ (SCD), tính GH= =d(G,(SCD)) 3a Từ suy d(AB,SM)= + Vì AB//(SCD) nên d(AB, SM)=d(A,(SCD)) = Câu (1 điểm) + Chỉ với số dương x, y, z ( x + y + z ) ≤ ( x + y + z ) 0.25 0.25 0.25 0.25 1 + + ≥ x y z x+ y+z + Từ giả thiết ta có: (a + b + c) a + b + c − ( a + b + c ) = , suy 0.25 − ( a + b + c) − ≤ ⇒ a + b + c ≤ 0.25 1 + + ≥ ≥1⇒ P ≤ + Ta có − P = a +1 b +1 c +1 a +1+ b +1+ c +1 + Do giá trị lớn P 2, đạt a=b=c=2 PHẦN DÀNH CHO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN http://toanhocmuonmau.tk/ 0.25 http://toanhocmuonmau.violet.vn/ Câu 7a (1điểm) (1 điểm) M A B I H D C AB = a ; BC = b; a > 0; b > 0; a, b ∈ Z + Đặt Do diện tích hình chữ nhật 16 nên ab = 16 25 (1) 10 + Kẻ MI, BH vng góc với AC Ta có BH=2MI = 2d ( M , d ) = Mặt khác, tam giác ABC vuông B, đường cao BH nên BH = + Từ (1) (2) giải a = + Do A nằm AC nên A(7-3t;t) a=2 0.25 0.25 - Với a = A(-2;3) , suy MA= 2 , giải phương trình, kết hợp điều kiện, - Với a = (1 điểm) suy MA= , giải phương trình, kết hợp điều kiện, A(1;2) + Do A ∈ d nên A ( t + 3; t − 1; −2t − 1) + Do M trọng tâm tam giác OAB nên 0.25 B ( −t; −t − 2; 2t + ) + Mà B ∈ d nên −t − 2t − − 2t − + = ⇔ t Suy ra: A(2;-2;1), B(1;-1;2) + Viết phương tình đường thẳng AB: d : Câu 9a (1điểm) AB BC a 2b = AB + BC a + b a 2b 64 = (2) 2 a +b 10 , ta có phương trình Câu 8a (1điểm) 0.25 = −1 0.25 x − y + z −1 = = −1 −1 + Giải phương trình 7Cn = Cn tìm n=8 0.25 0.25 + Khi P= x − 2x 0.25 ( + Số hạng khai triển T5 = C8 x ) − 2x 0.25 0.25 1 + Hệ số cần tính là: C − = 1680 2 0.25 PHẦN DÀNH CHO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu 7b (1 điểm) x2 Ta có: x + 4y = ⇔ + y2 = ⇒ a = b = ⇒ c = 2 3 ⇒e= 0.25 Trong tam giác F1MF2, theo định lí cosin ta có: 2 F1F = MF + MF – 2.MF1.MF2.cos600 ⇔ F1F = (MF1 + MF2)2 – 2.MF1.MF2 – MF1.MF2 http://toanhocmuonmau.tk/ 0.25 http://toanhocmuonmau.violet.vn/ = (MF1 + MF2)2 – 3.MF1.MF2 ⇔ 12 = 42 – 3.MF1.MF2 ⇔ MF1.MF2 = ⇔ (a – ex)(a + ex) = 4 4 32 ⇔ a2 – e2x2 = ⇔ x2 = – = ⇔ x2 = 3 3 0.25 − x2 = ⇒x=± y = ± 3 4 4 Thu được: M1( ; ), M2( ; – ), M3(– ; ), M4(– ; – ) 3 3 3 3 ⇒ y2 = Câu 8b (1 điểm) Ta có: d ( I ,( P )) = + t − 2t − 2(1 − t ) + 10 1+ + 0.25 t + 10 = 0.25 x = + t • ∆1 : y = t ; ∆2 qua điểm A(2; 0; −3) có VTCP u2 = (1;1;4) z = − t Giả sử 0.25 I (2 + t; t;1 − t ) ∈ ∆1 tâm R bán kính mặt cẩu (S) AI , u 5t − 2 Ta có: AI = (t;t;4 − t) ⇒ AI , u2 = (5t − 4;4 − 5t;0) ⇒ d(I , ∆2 ) = = u2 t= (S) tiếp xúc với ∆2 (P) ⇔ d ( I , ∆2 ) = d ( I ,( P )) ⇔ 5t − = t + 10 ⇔ t = −21 2 11 81 11 Với t = ⇒ I ; ; − , R = ⇒ (S): x − + y − + z + = 2 2 2 2 2 Với Câu 9b (1 điểm) 0.25 0.25 t = −1 ⇒ I (1; −1;2), R = ⇒ (S): ( x − 1)2 + ( y + 1)2 + ( z − 2)2 = Giải phương trình: log (x + 2) + log (x − 5) + log = Điều kiện: x > – x ≠ (*) Với điều kiện đó, ta có phương trình cho tương đương với phương trình: 0.25 0.25 log (x + 2) x − = log ⇔ (x + 2) x − = ⇔ (x − 3x − 18)(x − 3x − 2) = x − 3x − 18 = ⇔ x − 3x − = ⇔ x = −3; x = 6; x = ± 17 Đối chiếu với điều kiện (*), ta tất nghiệm phương trình cho là: x = x = ± 17 http://toanhocmuonmau.tk/ 0.25 0.25