Viết phương trình mặt phẳng ABC và tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.. Theo chương trình nâng cao Câu 7b 1 điểm.[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐỀ KHẢO SÁT MÔN TOÁN KHỐI A, A1 LẦN Năm học:2013 -2014 Thời gian: 150 phút TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ Đề chính thức I – Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu 1(2 điểm) Cho hàm số y = x − x − Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm m để đường thẳng d : y = m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt M,N,P,Q (sắp thứ tự từ trái sang phải) cho độ dài các đoạn thẳng MN, NP, PQ là độ dài cạnh tam giác vuông π Câu (1 điểm) Giải phương trình: 2sin − x + cos x = − 4sin x 4 1 x + + y + = 17 x y Câu (1 diểm) Giải hệ phương trình + =1 x + y xy Câu (1 điểm) Tính nguyên hàm: I = ∫ ( ) 2e x + + x e x dx Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Góc tạo SC và mặt phẳng (SAB) 300 Gọi E là trung điểm BC Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng DE, SC theo a Câu (1 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a b2 c + + ≥ ( a + b2 + c ) b c a II – Phần tự chọn (3 điểm) A Theo chương trình chuẩn Câu 7a (1 điểm) ) Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm cạnh BC,phương trình đường thẳng DM: x − y − = và C ( 3; −3) Biết đỉnh A thuộc đường thẳng d : 3x + y − = ,xác định toạ độ các đỉnh A, B, D Câu 8a (1điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1;1) , B(2; −1;2) , C(0;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC 2n nx Câu 9a(1 điểm) Tìm hệ số x3 khai triển + , x > , biết n là số nguyên dương x 14 thỏa mãn + = An 3Cn n B Theo chương trình nâng cao Câu 7b (1 điểm) Trong mặt phẳng (Oxy) Cho đường tròn (C): x + y = và đường thẳng d: x+y+4=0 Tìm điểm A thuộc d cho từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N là các tiếp điểm) cho diện tích tam giác AMN 3 Câu 8b (1điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3) , B(0; −1;2) , C (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và gốc tọa độ O cho khoảng cách từ B đến ( P ) khoảng cách từ C đến ( P ) Câu 9b(1 điểm) Giải phương trình log x +3 (4 x + x + 1) + log x +1 (2 x + x + 3) = Hết -Họ và tên thí sinh…………………………………………….Số báo danh:…………………………… Chú ý: Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn CÂU Câu (2 điểm) HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN KHỐI A-A1 LẦN NĂM HỌC 2013-2014 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH 1.(1 điểm) +Tập xác định,tìm các giới hạn +Tính đạo hàm, xét dấu đạo hàm, lập bảng biến thiên + Chỉ biến thiên, cực trị + Đồ thị 2.(1 điểm) + Từ đồ thị hàm số ta thấy, để đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) điểm phân biệt −4 < m < −3 (*) + Phương trình hoành độ giao điểm: x − x − − m = (1) Đặt t = x ( t ≥ ) ta được: t − 2t − − m = (2) Với điều kiện (*) thì phương trình (1) có nghiệm phân biệt hay phương trình t +t = (2) có nghiệm dương phân biệt t1 , t2 ( t1 < t2 ) Theo Vi-et ta có t1t2 = −3 − m ( ) ( ) ( + Từ đó có được: M − t2 ;0 , N − t1 ;0 , P ) ( t1 ; , Q ) t2 ; và MN = t2 − t1 ; NP = t1 ; PQ = t2 − t1 Câu (1 điểm) Vì MN = PQ nên NP là độ dài cạnh huyền Do đó : NP = MN + PQ Thay số, tính m = − (thỏa mãn (*) π 2sin − x + cos x = − 4sin x.(1) 4 π (1) ⇔ − cos − x + cos x = − 4sin x 2 ⇔ cos x − sin x = − sin x ( ⇔ ) π cos x − sin x = cos x ⇔ cos x + = cos x 2 6 π π x + = x + k 2π x = − 12 + kπ ⇔ ⇔ x + π = −2 x + k 2π x = − π + k π 36 Câu (1 điểm) ( k ∈ ℤ ) KL 0,25 0,25 0,25 0,25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 + Điều kiện xy ≠ 0, x + y ≠ 1 1 + =1⇔ + + = x + y ⇔ x − + y − = x + y xy x y x y 1 u + + v + = 17 +Đặt u = x − ; v = y − , ta x y u + v = Ta có 1 1 + Tìm nghiệm ( 2;2 ) , 2; − , − ;2 , − ; − 2 2 + Giải hệ trên u = v = Câu (1 điểm) ĐIỂM + I = ∫ 2e x + 1.e x dx + ∫ x.e2 x dx = I1 + I 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn + I1 = ∫ 2e x + 1.e x dx Áp dụng đổi biến số tính ( ) ( 25 ) 1 2e x + − 2e x + + C1 10 2x + I = ∫ x.e dx Áp dụng nguyên hàm phần, tính I1 = 0.25 2x 2x xe − e + C2 1 2e x + + xe2 x − e x + C I2 = + I= 10 ( 2e x ) +1 − ( ) 0.25 S A I T M D H K B E C CB ⊥ AB ⇒ CB ⊥ ( SAB ) ⇒ SB là hình chiếu SC lên mp(SAB) Vì CB ⊥ SA ( ) ( ) ⇒ SC , ( SAB ) = SC , SB = CSB = 300 ⇒ SB = BC.cot 300 = a ⇒ SA = a Câu (1 điểm) Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 1 2a VS ABCD = SA.S ABCD = a 2.a = (dvtt ) 3 a + Từ C dựng CI // DE ⇒ CE = DI = và DE / / ( SCI ) ⇒ d ( DE , SC ) = d ( DE , ( CSI ) ) 0.25 0.25 0.25 Từ A kẻ AK ⊥ CI cắt ED H, cắt CI K SA ⊥ CI Ta có: ⇒ CI ⊥ ( SAK ) ⇒ ( SCI ) ⊥ ( SAK ) theo giao tuyến SK AK ⊥ CI Trong mặt phẳng (SAK) kẻ HT ⊥ AK ⇒ HT ⊥ ( SCI ) ⇒ d ( DE , SC ) = d ( H , ( SCI ) ) = HT + Ta có: S ACI = 1 CD AI = AK CI = CD AI ⇒ AK = 2 CI 0.25 a a 2 a a2 + 2 HK KM 1 a = = ⇒ HK = AK = Kẻ KM//AD ( M ∈ ED ) ⇒ HA AD a a SA HT SA.HK = 38 Lại c ó: sin SKA = = ⇒ HT = = 19 SK HK SK 9a 2a + Vậy d ( ED, SC ) = Câu 38 19 = 3a (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn (1 điểm) a2 + 9b ≥ ⇒ ≥ 3a ( − 3b ) b b b c2 ≥ 3b ( − 3c ) ; ≥ 3c ( − 3a ) Tương tự c a 2 a b c + + ≥ ( a + b2 + c ) − ( a 2b + b 2c + c a ) Do đó b c a + Ta chứng minh ( a + b + c ) − ( a 2b + b c + c a ) ≥ ( a + b + c ) + Ta có 0.5 0.5 ⇔ a + b + c ≥ ( a 2b + b c + c a ) ⇔ ( a + b + c ) ( a + b + c ) ≥ ( a 2b + b c + c a ) ⇔ a ( a − b ) + b ( b − c ) + c ( c − a ) ≥ luôn đúng Tứ đó suy đpcm PHẦN DÀNH CHO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu 7a (1điểm) 2 + Gọi A ( t; −3t + ) Ta có khoảng cách: d ( A, DM ) = 2d ( C , DM ) ⇔ 4t − hay A ( 3; −7 ) ∨ A ( −1;5 ) = 2.4 ⇔ t = ∨ t = −1 + Mặt khác A,C nằm phía đường thẳng DM nên A ( −1;5 ) + Gọi D ( m; m − ) ∈ DM thì AD = ( m + 1; m − ) , CD = ( m − 3; m + 1) Do ABCD là hình vuông 25 0.25 0.25 DA.DC = m = ∨ m = −1 ⇔m=5 ⇒ ⇔ 2 2 m m m m + + − = − + + ( ) ( ) ( ) ( ) DA = DC hay D ( 5;3) Câu 8a (1điểm) Câu 9a (1điểm) + AB = DC = ( −2; −6 ) ⇒ B ( −3; −1) Kết luận A ( −1;5 ) , B ( −3; −1) , D ( 5;3) 0.25 +Chỉ AB, AC = (−1; −1; −1) + Lập luận, viết phương trình mặt phẳng (ABC): x + y + z − = 0.25 +Giả sử H ( x; y; z ) , theo giả thiết có 0.25 0.25 H ∈ ( ABC ) AH BC = 0, BH AC = + Thay tọa độ tính H (5; 2; −4) 0.25 + Giải phương trình 0.5 14 + = n=9 An 3Cn n k 3k 18 − k 18 − k + Số hạng tổng quát khai triển C ( 3x ) = C x 18 x + Số hạng chứa x ứng với k=10, hệ số cần tìm là C1810 38 PHẦN DÀNH CHO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO k 18 Câu 7b (1 điểm) 18− k + Vì A ∈ d ⇒ A ( t ; −4 − t ) Đặt MAN = 2α , OA = x + Ta có sin α = OM AM = ;cos α = = OA x OA x2 − 4 x2 − ⇒ sin 2α = x x2 0.25 0.25 0.25 0.25 (5) http://toanhocmuonmau.violet.vn ⇒ S AMN = ( x2 − ) x2 − x2 + Từ giả thiết ⇒ S AMN = 3 giải ⇒ x = + Từ OA=4, tìm A(-4;0) A(0-4) Câu 8b (1 điểm) Câu 9b (1 điểm) 0.25 0.25 Vì O ∈ (P) nên ( P ) : ax + by + cz = , với a2 + b2 + c2 ≠ Vì A ∈ (P) ⇒ a + 2b + 3c = (1) d ( B,( P )) = d (C ,( P )) ⇔ − b + 2c = a + b + c (2) Từ (1) và (2) ⇒ b = c = • Với b = thì a = −3c ⇒ (P ) : x − z = • Với c = thì a = −2b ⇒ ( P ) : x − y = Kết luận Giải phương trình log x +3 (4 x + x + 1) + log x +1 (2 x + x + 3) = 0.25 0.25 0.25 0.25 Đk: x > − ; x ≠ Phương trình đã cho tương đương với logx +3(2x + 1) + log2x +1(x + 3) = (2) 0.25 Đặt t = log2x +1(x + 3) , t ≠ Phương trình (2) trở thành: t − 4t + = ⇔ 0.25 t =2 ⇒ log2x +1(x + 3) = ⇔ x + = (2x + 1)2 0.25 ⇔ 4x + 3x − = ⇔ x = −3 ± 41 So với điều kiện, ta nghiệm phương trình (1) là x = −3 + 41 0.25 (6)