De dap an thi thu dai hoc lan 2 khoi B,D nam hoc 2012 2013 ngay thi 10 03 2013 http //toanhocmuonmau violet vn http //toanhocmuonmau tk SỞ GD&ĐT BẮC GIANG TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 2 Ngày thi 10 03 20[.]
http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GD&ĐT BẮC GIANG ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn: TỐN - Khối B, D TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 10-03-2013 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x + x − x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Gọi d đường thẳng qua A(2;0) với hệ số góc m, d cắt (C) ba điểm phân biệt A, B, C Gọi B’, C’ hình chiếu vng góc B, C lên trục tung Tìm giá trị dương m để diện tích hình thang BB’C’C Câu II (2,0 điểm) Giải phương trình: ( sin x + cos x ) cos x + 2cos x − sin x = x + y + x y = + xy Giải hệ phương trình: x + x y + xy = xy + y + π cos x − cos3 x Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ dx cos3 x Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A' lên (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng chứa BC vng góc với AA' cắt a2 lăng trụ theo thiết diện có diện tích Tính VABC.A'B'C' theo a 1 Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z dương thỏa mãn điều kiện + + = Chứng minh rằng: x y z 1 + + ≥ x + x y + y z + 2z PHẦN RIÊNG (3,0 điểm):Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng qua B, C x + y + = 0; x − y − = Phương trình đường cao đỉnh A x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B, C biết hoành độ C lớn hoành độ B đơn vị Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = điểm A ( 4; 2;0 ) Lập phương trình mặt phẳng ( Q ) song song với ( P ) đồng thời cách A ( P ) Câu VII.a (1,0 điểm) Một lớp học có 22 học sinh nam 21 học sinh nữ Thầy chủ nhiệm chọn bạn số học sinh nữ nhiều số học sinh nam Hỏi thầy có cách chọn? B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vng A, có tọa độ B(0;1) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I ( 2;0 ) Tìm toạ độ đỉnh A biết trọng tâm tam giác thuộc đường thẳng x+ y −3 = Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm M ( 2;3;1) , N ( −1;2;3) , P ( 0;2;4 ) Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm ( α) : x + y − 2z + = đồng thời qua điểm M, N, P Câu VII.b (1,0 điểm) Giải phương trình: log x + log x = log 2x 64 Hết _ Họ tên thí sinh:………… …… ……………………; Số báo danh:…… … http://toanhocmuonmau.tk http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GD&ĐT BẮC GIANG ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ NĂM HỌC 2012-2013 Mơn TỐN; lớp 12 khối B, D Ngày thi 10.03.2013 Chú ý: Dưới sơ lược bước giải cách cho điểm phần Bài làm học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác mà chấm điểm phần tương ng Câu Đáp án im Cõu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x + x − x + 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho * TXĐ: ℝ 0,25 * Sự biến thiên - Giới hạn tiệm cận + ) lim y = ∓ ∞ x → ±∞ +) Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận - Chiều biến thiên x = +) y ' = −3 x + 12 x − ; y ' = ⇔ −3 x + 12 x − = ⇔ x = +Bảng biến thiên x y’ y −∞ +∞ - +∞ + 0,25 0,25 -2 −∞ I Hàm số đồng biến (1; 3) nà nghịch biến khoảng ( −∞ ; 1) (3; +∞ ) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x=3 giá trị cực đại Hàm số đạt cực tiểu x=1 giá trị cực đại -2 * Đồ thị: 0,25 http://toanhocmuonmau.tk http://toanhocmuonmau.violet.vn ( ) PT hoành độ giao điểm : − x3 + x − x + = m ( x − ) ⇔ ( x − ) x − x + m + = ⇔ x = 2; x − x + m + = (2) 0,25 d cắt (C ) ba điểm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt x ≠ ⇔ m < kết hơp với m>0 ta có < m < Khi A(2;0) B(2 − − m ; − m − m ); C (2 + − m ; m − m ); B '(0; −m − m ); C '(0; m − m ) S BCC ' B ' = 2− 3− m + + 3− m BB '+ CC ' 2m − m = ⇔ m − m = ⇔ m = B 'C ' = 2 0,25 0,5 Kết luận m=2 ) ( II pt ⇔ 2cos x sin x + cos x.cos x + 2cos x - sin x = ⇔ sinx 2cos2 x − + cos2 x.cos x + 2cos x = 0,25 cos x = π kπ ⇔ c os2 x(s in x + cos x + 2) = ⇔ ⇔x= + sin x + cos x + = 0,75 ( x − y ) + x y = u = x − y +HPT ⇔ Đặt v = xy ( x − y ) + xy ( x − y ) + xy = u + v = S = u + v ( u + v ) − 2uv = +Ta có HPT ⇔ Đặt , S ≥ 4P P = uv u + v + uv = u + v + uv = S − P = S = 1, P = Tacó HPT ⇔ ⇔ + S = −3, P = (loại) S + P = 0,25 0,25 0,25 u = u = Với S = P = ta có v = v = + Giải tìm nghiệm HPT (x; y) ∈ {(1; 1); (-1; -1); (0; -1); (1; 0)} KL π π 0,25 π 6 cos x − cos3 x 1 I=∫ dx = − dx = tan xdx 2 ∫ ∫ cos x cos x cos x cos x cos x 0 III π π Đặt t = tan x, x ∈ − ; ⇒ dt = dx cos x 2 π Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = Khi đó: I = 3 ∫ t dt = 3 ∫ t dt = t +1 3 = 0,25 +1 Gọi M TĐ BC, H hình chiếu vng góc M lên AA' đó(P) (BCH) Vì A'AM góc nhọn nên H nằm AA' Vậy thiết diện lăng trụ cắt (P) tam giác IV 0,25 a2 BCH SBCH = a a , AO = AM = Ta có AM = 3 a2 a C Vì SBCH = HM.BC = ⇒ HM = http://toanhocmuonmau.tk 0,5 B’ C’ A’ 0,25 H M A B 0,25 http://toanhocmuonmau.violet.vn 3a 3a 3a − = 16 A 'O HM AO.HM a a a Vì ∆ A'AO ∆ MAH đồng dạng nên = ⇒ A 'O = = = AO AM AM 3a 1 a a a3 Vậy VABC.A'B'C' = A 'O.SABC = A 'O.AM.BC = a = đvtt 2 12 AH = AM − HM = 1 = a, = b, = c Từ gt ta có a, b, c > a + b + c = x y z 1 2 a2 b2 c2 1 y Ta có + + + + = x + + z = x + 2x y + 2y z + 2z + + + + 2a + 2b + 2c x y z Đặt V a2 + 2a 2a a2 4a + ≥ ⇒ ≥ − + 2a + 2a 9 b2 4b c2 4c ≥ − ; ≥ − + 2b 9 + 2c 9 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cộng vế bất đẳng thức 0,25 2 a b c 4 + + ≥ ( a + b + c ) − = − = 1 + 2a + 2b + 2c 9 a2 b2 c2 + + ≥ Dấu xảy x = y = z = 1 + 2a + 2b + 2c 1.+ Gọi B ( u; − u −1) ; C ( v;2v − 6) theo giả thiết có v=u+3 nên gọi C ( u + 3;2u) 0,25 + đường cao d đỉnh A có vecto phương a = (1; −3) ; BC ( 3;3u + 1) Do d đường cao đỉnh A 0,5 Vậy nên d ⊥ BC ⇔ a BC = ⇔ − ( 3u + 1) = ⇔ u = + Với u=0 tìm B(0; -1); C(3; 0) 2) + Do (Q)//(P) nên phương trình (Q) có dạng ( Q ) : x + y − z + D = ( D ≠ ) VIa d ( A; ( Q ) ) = D+6 D−2 ; d (( P ) ; (Q )) = 3 Do (Q) cách A (P) nên 0.D = −8 (VN ) D+6 D−2 D + = D − (tmđk) d ( A; ( Q ) ) = d ( ( P ) ; ( Q ) ) ⇔ = ⇔ ⇔ 3 D + = − D D = −2 Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là: ( Q ) : x + y − z − = * Lưu ý: Trong HS lấy điểm B thuộc (P) sau cho (Q) qua trung điểm M AB viết Cách làm HS phải chứng minh (Q) qua M không 0,5 điểm + TH1: Chọn nữ nam: Chọn nữ có C21 cách; chọn nam có C22 = 22 cách Áp dụng quy tắc nhân ta có 22.C = 29260 cách VIIa + TH2: Cả em nữ có C = 5985 cách 21 Áp dụng quy tắc cộng ta có: 29260+5985= 35245 cách chọn 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 21 http://toanhocmuonmau.tk 0,25 0,25 http://toanhocmuonmau.violet.vn Do tam giác ABC vuông A; nên tâm I trung điểm BC; từ tìm C ( 4; −1) x = 3t − x A − = ( t − ) ⇔ A ⇒ A ( 3t − 4;9 − 3t ) + Gọi G(t;3-t); 3IG = IA ⇔ y A = − 3t y A = ( − t ) x A = xG − ( xB + xC ) = 3t − * Có thể sử dụng: ⇒ A ( 3t − 4;9 − 3t ) y A = yG − ( yB + yC ) = − 3t + BA = ( 3t − 4;8 − 3t ) ; CA = ( 3t − 8;10 − 3t ) ; tam giác ABC vuông A nên t = BA CA = ⇔ ( 3t − )( 3t − ) = ⇔ t =7 VIb 0,25 0,25 0,25 ⇒ A ( 4;1 ) ; t = ⇒ A ( 3; ) 3 Gọi tâm mặt cầu I(x;y;z); (S) qua M, N, P nên ta có: 2 2 2 IM = IN ( x − ) + ( y − 3) + ( z − 1) = ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 3) ⇔ 2 2 2 2 IM = IP ( x − ) + ( y − 3) + ( z − 1) = x + ( y − ) + ( z − ) 3 x + y − z = ⇔ 2 x + y − 3z + = *t = 3 x + y − z = Mặt khác I ∈ ( α ) ta có hệ x + y − z + = ⇔ x + y − 2z + = Bán kính mặt cầu R = IA = 0,25 0,5 x = y = ⇒ I (1;1; ) z = 0,5 Phương trình mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = 2 Điều kiện < x ≠ ; x ≠ 2 1 + = ⇔ + = VIIb PT tương đương với log x log x log 64 x log x + log x + log x Đặt t= log x ; đưa PT về: + = ⇔ t = ⇔ log x = ⇔ x = thoả mãn toán t 1+ t 1+ t http://toanhocmuonmau.tk 0,25 0,5 0,25