Đang tải... (xem toàn văn)
Tiệm cận của đồ thị hàm số.[r]
(1)SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT CHÍ LINH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012Mơn Thi : TOÁN ; Khối :D Lần thứ hai
Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề. Đề gồm 01 trang
-Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số y=x −2
x −1 có đồ thị ( C ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số
2 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận ( C ).Viết phương trình tiếp tuyến ( C ), biết khoảng cách từ I đến tiếp tuyến √2
Câu II ( 2,0 điểm)
1 Giải phương trình cosx+cos 3x=1+√2 sin(2x+π 4) Giải phương trình
√6x+2=8x3−4x −2 . Câu III (1,0 điểm ) Tính tích phân I=∫
1 3
√x − x3
x4 dx
Câu IV (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC BCD tam giác cạnh a, góc AD mặt phẳng ( ABC ) 450 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a góc hai mặt phẳng ( ABD ) ( ABC )
Câu V (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x
√1− x+ y
√1− y
Câu VIa ( 2,0 điểm)
1 Trong hệ toạ độ Oxy, cho điểm A( 1; 1) đường thẳng d: x - y + = Tìm tọa độ điểm B thuộc d cho đường thẳng qua hai điểm A, B tạo với d góc 450.
2 Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) đường thẳng (d) có phương trình
2 2
( ) : (S x1) y (z2) 9, (d): x
1=
y −1 =
z
−2 Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng (d) cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn có bán kính
Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z biết: |z −1|=1 (1+i)(z −1) có phần ảo
-h
ết -Họ tên thí sinh……….số báo danh………
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN KHỐI D
(2)I.1
( 1,0 đ) Tập xác định:
¿ ¿D=R{1
¿ Sự biến thiên hàm số:
* Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực hàm số Tiệm cận đồ thị hàm số lim
x → ±∞y = lim
x→ ±∞
x −2
x −1=x →± ∞lim 1−2
x
1−1 x
=1⇒ Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = làm tiệm cận ngang
x →1+¿x −2
x −1=− ∞;x→lim1−y =lim
x →1−
x −2
x −1=+∞⇒
x →1+¿
y=lim ¿ lim
¿
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = làm tiệm cận đứng
0,25
* Lập bảng biến thiên: Có
x −1¿2 ¿ ¿
y '=1 ¿
, y’ không xác định x =
Hàm số đồng biến khoảng xác định Hàm số khơng có cực trị
0,25
Bảng biến thiên:
0,25
3 Đồ thị:
Đồ thị ( C ) cắt trục Ox (2;0), ( C ) cắt trục Oy (0; 2)
Đồ thị ( C ) nhận I(1; 1) làm tâm
đối xứng 0,25
I.2 Giao điểm hai đường tiệm cận ( C ) I( 1; )
4
2
-2
1
O I
x y
1
1
+
-
+ +
+
1 -
(3)( 1,0 đ)
Gọi M(x0,x0−2
x0−1
)∈(C),(x0≠1) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm với (C) Khi phương trình tiếp tuyến ( C ) M là:
x0−1¿
¿
x0−1¿
y+x02−4x0+2=0 ¿
y=1 ¿
(d)
0,25
Vì
x0−1¿2+x02−4x0+2 1−¿
¿
x0−1¿
¿ 1+¿
√¿ ¿
d(I ,(d))=√2⇔¿
x0−1¿4 ¿
x0−1¿4 1− x0¿
2 =1+¿ 1+¿
√¿ ⇔|2−2x0|
¿
0,25
Đặt x0−1¿
t=¿ ( đk: t > ) pt có dạng:
t2−2t+1=0⇔t=1(t/m)
0,25
Với
x0−1¿
=1⇔ ¿
x0=0 ¿
x0=2 ¿ ¿ ¿ ¿
t=1⇒¿
Vậy có tiếp tuyến cần tìm là:
x − y+2=0 ¿
x − y −2=0 ¿ ¿ ¿ ¿
0,25
II.1
(1,0 đ) cosx
+cos 3x=1+√2 sin(2x+π
4) 2cos cosx x 1 sin 2xcos 2x 0,25
2cos cosx x sin 2x 2cos x 2cos (cos 2x x sinx cos ) 0x
(4)2cos (cos sin )(cos sin 1) cos cos( ) cos( )
4
x x x x x x x x
0,25 ⇔
cosx=0 ¿ cos(x −π
4)=0 ¿ cos(x+π
4)= √2 ¿
x=π 2+kπ
¿
x=3π +mπ
¿
x=l2π ¿
x=−π 2+l2π
¿ (k , l, m∈Z)
¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿
0,25
II.2 ( 1,0đ)
Đặt y=√36x+2⇔y3=6x+2 ta có hệ:
¿
y=8x3−4x −2(1)
y3=6x+2(2) ¿{
¿
0,25
Cộng hai vế (1) (2) ta được: y3
+y=8x3+2x
⇔2x¿3+2x
y3+y=¿ (*)
0,25 Xét hàm f(t)=t3+t có: f '(t)=3t2+1>0∀t⇒f(t) đồng biến ∀t
Từ (*) có: f(y)=f(2x)⇔ y=2x ⇔6x+2=8x3 0,25
⇔8x3−6x −2=0⇔
x=−1 ¿
x=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
.Vậy pt có nghiệm
x=−1
2
¿
x=1
¿ ¿ ¿ ¿
0,25
III
(1,0 đ) I=∫ 3
√x − x3
x4 dx=∫1 √3
x2−1
x3 dx 0,25
Đặt t=√3
x2−1⇔t
=
x2−1⇔3t 2dt
=−2
x3 dx ⇒
dx
x3=−
3 2t
2dt
(5)Khi đó:
√x12−1
x3 dx=−
3t3 dt
; Đ ổi cận: x=1
3⇒t=2; x=1⇒t=0 0,25
Khi 3t3
2 dt= 8t
4
∨¿02=6
I=∫
¿
0,25 Câu IV
( 1,0 đ)
Gọi H trung điểm BC
Do ΔABC ΔBCD cạnh a nên
AH=DH=a√3
2
( ) ( ) ( )
BC AHD ABC AHD Kẻ DK⊥AH⇒DK⊥(ABC)
⇒ góc DAK 450
,DAH 450
DAK
vuông cân K;
DAH
vuông cân H K H
⇒ DH (ABC)
0,25
Diện tích tam giác ABC là:
2 sin 60 ABC a
S ABAC
Thể tích khối tứ diện ABCD
2
1 3
3 ABC
a a a
V DH S
0,25 Kẻ HE⊥AB⇒DE⊥AB Vậy góc mp ( ABD) ( ABC) góc hai
đường thẳng DE HE gócDEH
0,25 Gọi CF đường cao xuất phát từ C tam giác ABC cạnh a nên có
CF=a√3
2 , HE= 2CF=
a√3
4 nên
tanDEH DH DEH arctan
HE
Vậy góc hai mp ( DAB) (ABC) góc DEH =arctan
0,25
Do ¿
x , y>0
x+y=1 ¿{
¿
nên đặt
¿
x=sin2t y=cos2t
¿{ ¿
với t∈(0;π
2)
Tacó:
sint+cost¿3−3 sintcost(sint+cost) ¿
¿
P=sin 2t cost +
cos2t sint =
sin3t
+cos3t sintcost =¿
0,25
Đặt u=sint+cost=√2 sin(t+π
4) , có: sintcost=u
−1 Do 0<t<π
2⇒
π
4<t+
π
4< 3π
4 ⇒ √2
2 <sin(t+
π
4)≤1⇒1<u ≤√2 0,25
(6)V
(1,0 đ) Khi đó: P=
−u3+3u
u2−1 với 1<u ≤√2 Có
u2−1¿2 ¿ ¿
P'=−(u
4
+3)
¿
P nghịch biến với 1<u ≤√2
0,25
⇒Pmin=P(√2)=√2 u=√2⇒sin(t+
π
4)=1⇔t=
π
4+k2π(k∈Z) ⇒x=y=1
2 Vậy Pmin=√2⇔x=y=
2 0,25
VIa.1 (1,0đ)
Đường thẳng d qua điểm M(1;-2) có VTCP ⃗u(1;1) nên có ptts ¿
x=t
y=1+t
(t∈R) ¿{
¿
Do B∈d⇒B(t ;1+t)
0,25
Có ⃗AB=(t −1;t)⇒⃗AB u⃗=2t −1
Theo giả thiết có góc đường thẳng AB d 450
u
⃗AB,¿⃗ cos¿=|⃗AB ⃗u|
|⃗AB|.|u⃗| ⇒cos(AB,d)=¿
0,25
⇒cos(AB,d)= |2t −1| √2t2−2t+1.√2=
1 √2 ⇔|2t −1|=√2t2−2t+1
0,25 ⇔2t2−2t=0⇔
t=0 ¿
t=1 ¿
B(0;1) ¿
B(1;2) ¿ ¿ ¿ ⇒¿
¿ ¿ ¿
0,25
(S) có tâm I( 1; 0; -2) có bán kính R = 3, đường thẳng d có VTCP ⃗u=(1;2;−2)
(P) vng góc với d nên VTPT (P) ⃗n=(1;2;−2) 0,25 Giả sử (P) có phương trình : x+2y −2z+D=0
(7)VIa.2 ( 1,0đ)
−2¿2 ¿ 12+22+¿
√¿ ⇔|5+¿D|
⇔|5+D|=3√5 0,25
⇔ 5+D=3√5
¿ 5+D=−3√5
¿
D=3√5−5 ¿
D=−3√5−5 ¿ ¿ ¿ ⇔¿
¿ ¿ ¿
Vậy có hai mp thỏa mãn đề là:
(P):x+2y −2z+3√5−5=0 ¿
(P):x+2y −2z −3√5−5=0 ¿
¿ ¿ ¿
0,25
VIIa (1,0đ)
Gọi z=x+yi(x , y∈R)⇒z=x −yi Ta có: x −1¿2+y2=1(1)
|z −1|=1⇔¿
0,25 Vì (1+i)(z −1)=(x+y −1)+(x − y −1)i có phần ảo nên x – y – = 0,25 ⇔x −1=y+1(2)
Thay (2) vào (1) có: y+1¿2+y2=1⇔2y2+2y=0 ¿
0,25
⇔
y=0 ¿
y=−1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Với y=0⇒x=2⇒z=2 Với y=−1⇒x=1⇒z=1−i
Vậy có số phức z = z = - i