Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng Δ, đi qua điểm A và cắt mặt phẳng ( ABC ) theo một đường tròn sao cho bán kính đường tròn nhỏ nhất.. Theo chương trình Nâng cao.[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 2, NĂM 2011 MƠN: TỐN; Thời gian làm bài: 180 phút
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I.(2,0 điểm) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số y=− x+1 x −2
2 Tìm (H) điểm A , B cho độ dài AB=4 đường thẳng AB vng góc với đường thẳng y=x
Câu II (2,0 điểm) 1 Giải phương trình sin 2x+cosx −
√
3(cos 2x+sinx) 2sin 2x −√
3 =12 Giải hệ phương trình
¿
x4+4x2+y2−4 y=2 x2y+2x2+6y=23
¿{
¿
Câu III.(1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=xln(x+2)
√
4− x2 trục hoành Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a ,AD=a√
2, góc hai mặt phẳng (SAC) (ABCD) 600 Gọi H trung điểm AB Biết mặt bên SAB tam giác cân đỉnh S thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S ABCD tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S AHCCâu V.(1,0 điểm) Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn x2+y2+z2+2 xy=3(x+y+z) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P=x+y+z+20
√
x+z+ 20√
y+2II PHẦN RIÊNG(3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần a, b) a Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa. (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC; phương trình đường thẳng chứa đường cao đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A x −2y −13=0 13x −6y −9=0 Tìm tọa độ đỉnh B C biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I(−5;1)
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;0;0), B(2;−1;2), C(−1;1;−3), đường thẳng Δ:x −1
−1 = y 2=
z −2
2 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng Δ, qua điểm A cắt mặt phẳng (ABC) theo đường trịn cho bán kính đường trịn nhỏ Câu VIIa.(1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn |z −3i|=|1−i¯z| z −9
z số ảo b Theo chương trình Nâng cao
Câu VIb (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):x2+y2−4x+2y −15=0 Gọi I tâm đường tròn (C) Đường thẳng Δ qua M(1;−3) cắt (C) hai điểm A B Viết phương trình đường thẳng Δ biết tam giác IAB có diện tích cạnh AB cạnh lớn
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;−1;0), đường thẳng Δ:x −2
2 = y+1
−1 = z −1
1 mặt phẳng (P):x+y+z −2=0 Tìm tọa độ điểm A thuộc mặt phẳng (P) biết đường thẳng AM vng góc với Δ khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ
√
332
Câu VIIb.(1,0 điểm) Cho số phức z1, z2 thỏa mãn
|
z1− z2|=|
z1|
=|
z2|>0 Hãy tính A=(
z1z2
)
+
(
z2 z1)
4
Hết
(2)2 Kỳ khảo sát chất lượng lần tổ chức vào chiều ngày 14 ngày 15/05/2011 Đăng kí dự thi Văn phòng Trường THPT Chuyên từ ngày 23/04/2011
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN 2, NĂM 2011 MƠN: TỐN; Thời gian làm bài: 180 phút
Câu Đáp án Điểm
I. (2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
a Tập xác định: .D=R{2 b Sự biến thiên:
* Chiều biến thiên: Ta có
x −2¿2 ¿ ¿
y '=1
¿
Suy hàm số đồng biến khoảng (− ∞;2) (2;+∞) * Giới hạn: x →lim+∞y=x →lim+∞− xx −+21=−1 x →− ∞lim y=x→ −∞lim − xx −+21=−1 ;
lim
x →2−
y=lim
x→2− − x+1
x −2 =+∞
x →2+¿− x+1
x −2 =− ∞ x →2+¿y
=lim
¿
lim
¿
* Tiệm cận: Đồ thị có đường tiệm cận ngang y=−1 ; đường tiệm cận đứng x=2
0,5
*Bảng biến thiên:
x − ∞ +∞
y ' +¿ +¿
y
+∞
−1 −1
− ∞ c Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục hoành (1; 0), cắt trục tung (0;−1
2) nhận giao điểm I(2;−1) hai tiệm cận làm tâm đối xứng
0,5
2 (1,0 điểm)
Vì đường thẳng AB vng góc với y=x nên phương trình AB y=− x+m Hoành độ A, B nghiệm phương trình − x+x −21=− x+m , hay phương trình
x2−(m+3)x+2m+1=0, x ≠2 (1) Do phương trình (1) có m+3¿
2−4
(2m+1)=m2−2m+5>0,∀m
Δ=¿ nên có hai nghiệm
phân biệt x1, x2 hai nghiệm khác Theo định lí Viet ta có x1+x2=m+3; x1x2=2m+1
0,5
Theo giả thiết toán ta có
y2− y1¿
=16 x2− x1¿
2 +¿
AB2=16⇔¿
0,5
x
O
1
1
2
y
(3)x1+x2¿
−4x1x2=8
¿
m+3¿2−4(2m+1)=8⇔m2−2m−3=0⇔m=3∨m=−1 x2− x1¿2=8⇔¿
− x2+m+x1− m¿2=16⇔¿
x2− x1¿2+¿ ¿
⇔¿
* Với m=3 phương trình (1) trở thành x2−6x
+7=0⇔x=3±
√2
Suy hai điểmA, B cần tìm (3+
√
2;−√
2),(3−√
2;√
2)* Với m=−1 ta có hai điểm A, B cần tìm (1+
√
2;−2−√
2) (1−√
2;−2+√
2)Vậy cặp điểm TM: (3+
√
2;−√
2),(3−√
2;√
2) (1+√
2;−2−√
2) , (1−√
2;−2+√
2)II. (2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Điều kiện: sin 2x ≠
√
23⇔x ≠π6+kπ x ≠π3+kπ , k∈Z Khi pt ⇔sin 2x+cosx −
√
3(cos 2x+sinx)=2 sin 2x −√
3
⇔sin 2x+
√
3 sinx+√
3 cos 2x −cosx −√
3=0 ⇔sinx(2 cosx+√3
)+(2 cosx+√3
)(√
3 cosx −2)=0⇔(2 cosx+
√
3)(sinx+√3 cos
x −2)=0 0,5
⇔ cosx=−
√
32
¿
sin
(
x+π 3)
=1¿
x=±5π +k2π
¿
x=π 6+k2π
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
Đối chiếu điều kiện, ta có nghiệm phương trình x=56π+k2π , k∈Z
0,5
2 (1,0 điểm)
Hệ
⇔
y −2¿2=10 ¿
x2
(y+2)+6y=23
¿
x2+2¿2+¿ ¿
Đặt u=x2+2, v=y −2 Khi hệ trở thành
(4)u2+v2=10
(u −2)(v+4)+6(v+2)=23 ⇔
¿u2+v2=10 uv+4(u+v)=19
⇔ u+v=4,uv=3
¿ ¿
u+v=−12,uv=67
¿ ¿{
¿ ¿ ¿ ¿
TH 1. u+v=−12,uv=67 , hệ vô nghiệm
TH 2.
¿
u+v=4 uv=3
¿{
¿
, ta có
u=3, v=1
¿
u=1, v=3
¿ ¿ ¿ ¿
* Với
¿
u=3 v=1
¿{
¿
ta có
x2=1 y=3
⇔ x=±1
¿
y=3
¿ ¿ ¿{
¿ ¿ ¿ ¿
* Với
¿
u=1 v=3
¿{
¿
ta có
¿
x2=−1 y=3
¿{
¿
, hệ vô nghiệm Vậy nghiệm (x, y) hệ (1;3),(−1;3)
Chú ý: HS giải theo phương pháp x2 theo y từ phương trình thứ hai vào
phương trình thứ nhất.
0,5
III. (1,0 điểm)
Ta có phương trình
xln(x+2)
√
4− x2 =0⇔x=0
¿
x=−1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Suy hình phẳng cần tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
y=xln(x+2)
√
4− x2 , y=0, x=−1, x=0 Do diện tích hình phẳng S=∫
−10
|
xln(x+2)√
4− x2|
dx=∫
−1− xln(x+2)
√
4− x2 dx Đặt u=ln(x+2), dv=√
4− x− x2dx Khi du=dx
x+2, v=
√
4− xTheo cơng thức tích phân phần ta có
(5)S=
√
4− x2ln (x+2)¿0 ¿−1 −
∫
−10
√
4− x2x+2 dx=2 ln 2−
∫
−1√
4− x2 x+2 dxĐặt x=2 sint Khi dx=2 costdt Khi x=−1, t=−π6; x=0, t=0
Suy
(1−sint)dt=2(t+cost) I=
∫
−1
√
4− x2x+2 dx=
∫
−π
6
4 cos2t
2 sint+2dt=2
∫
−π
6
❑ ¿0
¿
−π
6
=2+π −
√
3 Suy S=2 ln 2−2+√
3−π30,5
IV.
(1,0 điểm
+) Từ giả thiết suy SH⊥(ABCD)
Vẽ HF⊥AC(F∈AC)
⇒SF⊥AC (định lí ba đường vng góc)
Suy ∠SFH=600
Kẻ BE⊥AC(E∈AC) Khi HF=1
2BE= a
√
2 2√
3Ta có SH=HF tan600=¿ a
√
22 Suy VS ABCD=1
3SH.SABCD= a3
3
0,5
+) Gọi J, r tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AHC Ta có r=AH HC AC
4SAHC
=AH HC AC 2SABC
=3a
√
3 4√
2Kẻ đường thẳng Δ qua J Δ// SH Khi tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S AHC giao điểm đường trung trực đoạn SH Δ mặt phẳng (SHJ) Ta có
IH=
√
IJ2+JH2=
√
SH +r2.
Suy bán kính mặt cầu R=a
√
3132Chú ý:HS giải phương pháp tọa độ.
0,5
V. (1,0
điểm Từ giả thiết ta có
x+y+z¿2
x+y¿2+z2≥1 2¿ 3(x+y+z)=¿
Suy x+y+z ≤6
0,5
Khi đó, áp dụng BĐT Cơsi ta có P=
(
(x+z)+√
x+z+√
x+z)
+(
(y+2)+√
y+2+8
√
y+2)
+4(
√
x+z+1
√
y+2)
−2 12+12+4√
(x+z)(y+2)−2≥22+8
√
2√
x+y+z+2≥26 Dấu đẳng thức xảy x=1, y=2, z=3Vậy giá trị nhỏ P 26, đạt x=1, y=2, z=3
0,5
VIa. (2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Ta có A(−3;−8) Gọi M trung điểm BC
⇒IM // AH Ta suy pt IM:x −2y+7=0 Suy tọa độ M thỏa mãn
¿
x −2y+7=0 13x −6y −9=0
⇒M(3;5)
¿{
¿
0,5
(6)Khi
IA=IB⇔a2−6a+8=0⇔ a=4
¿
a=2
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Từ suy
B(4;3), C(2;7)
B(2;7), C(4;3)
0,5
2 (1,0 điểm)
Ta có ⃗AB(1;−1;2),⃗AC(−2;1;−3). Suy pt (ABC):x − y − z −1=0 Gọi tâm mặt cầu I∈Δ⇒ I(1− t ;2t ;2+2t) Khi bán kính đường trịn
t+1¿2+6
¿ ¿3
2¿ ¿
r=
√
IA2− d2(I ,(ABC))=√
2t+4t+8 =√¿ Dấu đẳng thức xảy t=−1
0,5
Khi I(2;−2;0),IA=
√
5 Suy pt mặt cầuy+2¿2+z2=5 x −2¿2+¿
¿
0,5
VIIa. (1,0 điểm)
Đặt z=a+bi(a , b∈R) Ta có ¿z −3i∨¿∨1−i¯z∨¿ tương đương với
¿a+(b −3)i∨¿∨1−i(a−bi)∨⇔∨a+(b −3)i∨¿∨1−b −ai∨¿
−a¿2⇔b=2
1−b¿2+¿
b −3¿2=¿
⇔a2 +¿
0,5
Khi z −9z=a+2i−a+92i=a+2i−9(a −a2 2i) +4 =
a3−5a+(2a2+26)i a2
+4 số ảo a3−5a=0 hay a=0, a=±
√
5Vậy số phức cần tìm z=2i, z=
√
5+2i, z=−√
5+2i0,5
VIb. (2,0 điểm)
1 (1,0 điểm)
Đường trịn (C) có tâm I(2;−1), bán kính R=2
√5
Gọi Hlà trung điểm AB Đặt AH=x(0<x<2
√
5) Khi ta có2IH AB=8⇔x
√
20− x=8⇔ x=4
¿
x=2(ktm AB<IA)
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
nên AH=4⇒IH=2
0,5
Pt đường thẳng qua M: a(x −1)+b(y+3)=0(a2+b2≠0) ⇔ax+by+3b− a=0
Ta có
¿a+2b∨ ¿
√
a2+b2=2⇔a(3a−4b)=0⇔a=0∨a=4 3b d(I ,AB)=IH=2⇔¿
* Với a=0 ta có pt Δ:y+3=0
* Với a=43b Chọn b=3 ta có a=4 Suy pt Δ: 4x+3y+5=0 Vậy có hai đường thẳng Δ thỏa mãn y+3=0 4x+3y+5=0
0,5
2 (1,0 điểm)
Gọi (Q) mặt phẳng qua M vng góc với Δ Khi pt (Q):2x − y+z −3=0 Ta có ⃗nQ(2;−1;1),⃗nP(1;1;1) Từ giả thiết suy A thuộc giao tuyến d (P) (Q)
Khi
0,5
M
H B
I
(7)⃗
ud=[ ⃗nP,⃗nQ]=(2;1;−3)
N(1;0;1)∈d
nên pt
d: x=1+2t
y=t z=1−3t
¿{{ Vì A∈d suy A(1+2t ;t ;1−3t)
Gọi H giao điểm Δ mặt phẳng (Q) Suy H(1;−12;12) Ta có d(A , Δ)=AH=
√
332 ⇔14t
2−2t −16
=0⇔t=−1∨t=8 Suy A(−1;−1;4) A(23
7 ; 7;−
17 )
0,5
VIIb. (1,0 điểm)
Đặt z1 z2
=w ta ¿z2w − z2∨¿∨z2w∨¿∨z2∨¿0 Hay ¿w −1∨¿∨w∨¿1
Giả sử w=a+bi(a ,b∈R) Khi ta có a −1¿2+b2=a2+b2=1
¿ hay a=
1
2, b=±
√
0,5
* Với w=1 2+
√
3 i=cosπ 3+isin
π
3 Ta có w
=cos4π +isin
4π
(
w1)
4
=cos4π −isin
4π Do A=2cos43π=−1 * Với w=1
2−
√
32 i , tương tự ta có A=−1
Chú ý: HS giải theo cách biến đổi theo dạng đại số số phức.