Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a.. Kẻ MH vuông góc với AC tại H.[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 (lần thứ 2) TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ Môn thi: TOÁN; khối A, A1 Ngày thi 10-03-2013 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Tìm các giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = Câu II (2 điểm) π sin − x 4 (1 + sin x ) = + tan x Giải phương trình: cos x x2 −1 = 1+ 4y x + y Giải hệ phương trình: y 3 x + + x + y − x = y Câu III (1 điểm) Tính tích phân : ln( x + 1) dx x I =∫ Câu IV (1 điểm) Trên cạnh AD hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M cho AM = x (0 < x ≤ a) Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) A, lấy điểm S cho SA = 2a Kẻ MH vuông góc với AC H Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) và tìm vị trí M để thể tích khối chóp SMCH lớn Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 3(a + b + c ) + 4abc ≥ 13 II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chọn làm hai phần (phần A phần B) A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm điểm 4 I ( 3;3) và AC = BD Điểm M 2; thuộc đường thẳng AB , 3 13 N 3; thuộc đường thẳng CD Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 1) + y + ( z + ) = Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a có phương trình: x y −1 z = = và cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có bán kính 2 −2 Câu VII.a (1 điểm) Một hội đồng chấm thi có người, rút thăm danh sách gồm cô giáo và 10 thầy giáo Tính xác suất để hội đồng số cô giáo nhiều số thầy giáo B Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B và C nằm trên hai đường thẳng d1: x + y + = và d2: x + 2y – = Viết phương trình đường tròn có tâm C và tiếp xúc với đường thẳng BG x −1 y −1 z − = = , mặt phẳng −1 ( P ) : x − y + z − = Lập phương trình đường thẳng ∆ qua A cắt d B và mặt phẳng (P) C cho AC = AB và A Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( −1;0;1) và đường thẳng d : nằm ngoài đoạn BC Câu VII.b (1 điểm) Giải bất phương trình: x + x + x +1 ≥ 9x Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh http://toanhocmuonmau.tk (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn tR¦êNG THPT L¹NG GIANG Sè H−íng dÉn, §¸p ¸n, thang ®iÓm THI THö §¹I HäC N¡M HäC 2012-2013 (lần thứ 2) M«n thi: To¸n, khèi: A, A1 Ngµy thi 10-03-2013 H−ớng dẫn, đáp án gồm 04 trang (Học sinh làm theo cách khác đúng, cho điểm tối đa) C©u I (2 ®iÓm) §¸p ¸n Khi m = Ta có hàm số y = - x3 + 3x2 – Tập xác định D = R Sự biến thiên Chiều biến thiên y’ = - 3x2 + 6x , y’ = ⇔ x = v x = y’> ∀ x ∈( 0;2) Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2) y’ < ∀ x ∈(- ∞; 0) ∪ (2; +∞) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞;0) và Cực trị Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = y(2) = Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = y(0) = - Giới hạn §iÓm 0,25 (2; +∞) Lim (− x3 + 3x − 4) = +∞, Lim (− x3 + 3x − 4) = −∞ x →−∞ x →+∞ Đồ thị hàm số không có tiệm cận Tính lồi, lõm và điểm uốn y’’ = - 6x +6 , y’’ = ⇔ x = x -∞ y’’ + Đồ thị Lõm Bảng biến thiên x -∞ y’ y +∞ 0,25 +∞ - Điểm uốn I(1; - 2) 0 Lồi + 0 +∞ 0,25 - (I) -2 -4 -∞ 0,25 Đồ thị Đồ thị hàm số cắt trục Ox tai các điểm (- 1; 0) , (2; 0) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tai điểm (0 ; 4) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm uốn I(1;- 2) Hệ số góc tiếp tuyến điểm uốn là k = y’(1) = y f(x)=-x^3+3x^2-4 x -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Ta có y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = ⇔ x = v x = 2m Hàm số có cực đại , cực tiểu ⇔ phương trình y’ = có hai nghiệm pb ⇔ m ≠ Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1) Trung điểm I đoạn thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1) Vectơ AB = (2m; 4m ) ; Một vectơ phương đường thẳng d là u = (8; −1) 0,25 0,25 http://toanhocmuonmau.tk 0,25 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với qua đường thẳng d ⇔ II (2 ®iÓm) I ∈ d ⇔ 0,25 AB ⊥ d m + 8(2m − 3m − 1) − 74 = ⇔m=2 AB.u = π Điều kiện cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ, k ∈ ℤ cos x − sin x cos x + sin x Ta có (1) ⇔ ( cos x + sin x ) = cos x cos x ⇔ ( cos x + sin x ) ( cos x − sin x )( cos x + sin x ) − 1 = 0,25 0,25 ⇔ ( cos x + sin x )( cos 2x − 1) = π cos x + sin x = tan x = −1 x = − + mπ ⇔ ⇔ ⇔ ,m∈ℤ cos 2x − = cos 2x = x = mπ 0,5 π x = − + mπ Dễ thấy họ nghiệm trên thỏa mãn điều kiện Đáp số: ,m∈ℤ x = mπ x2 −1 x + y = + y (1) y 3 x + + x + y − x = y (2) x2 −1 x2 −1 (1) ⇔ +3 −4=0⇔ y y Thay vào (2) ta 3 0,5 x + + x −1 = x2 −1 ⇔ x + − + x −1 −1 = x2 − x−2 ⇔ x2 −1 x2 −1 =1⇔ = ⇔ y = x2 −1 y y + (x + 6) + x + + x−2 x −1 + 0,25 = (x + 2)(x − 2) x = 1 ⇔ + = x + (3) (x + 6)2 + x + + x −1 + 0,25 Với đk x ≥ suy VT(3)<3 , VP(3) ≥ Suy (3) vô nghiệm III (1 ®iÓm) 2x u = ln( x + 1) du = dx x +1 Đặt ⇒ dx dv = v = − x3 2x2 ln( x + 1) dx Do đó I = − + ∫ 1 x( x + 1) 2x 0,25 0,25 0,25 ln ln x ln ln dx d ( x + 1) 1 − + ∫ − − +∫ − ∫ dx = x x +1 x x +1 1 ln ln 2 = − + ln | x | − ln | x + | = ln − ln 1 2 = IV (1 ®iÓm) SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) SA ⊂ ( SAC ) Lại có : MH ⊥ AC = ( SAC ) ∩ ( ABCD ) Do http://toanhocmuonmau.tk 2 0,25 0,25 (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn ⇒ MH ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( M , SAC ) = MH = AM sin 45o = x 0,25 x x ⇒ HC = AC − AH = a − 2 AH = AM cos 450 = 1 x x MH MC = (a − ) 2 2 1 x x = SA.S ∆MCH = 2a (a − ) 2 ⇒ S ∆MHC = ⇒ VSMCH VSMCH x x +a 2− 2 ≤ a[ ] = ⇔ M trïng víi D V (1 ®iÓm) Đặt a3 x x ⇔ =a 2− ⇔ x=a 2 f (a, b, c) = 3(a + b + c ) + 4abc − 13; t = *Trước hết ta chưng minh: 0,25 0,25 b+c 0,25 f (a, b, c) ≥ f (a, t , t ) :Thật Do vai trò a,b,c nên ta có thể giả thiết a ≤ b ≤ c ⇒ 3a ≤ a + b + c = hay a ≤ 2 2 2 f (a, b, c) − f (a, t, t) = 3(a + b + c ) + 4abc − 13 − 3(a + t + t ) − 4at + 13 = 2 3(b + c − 2t ) + 4a (bc − t ) = b + c − (b + c ) + a bc − ( b + c ) (3 − 2a )(b − c) 3(b − c ) ≥ a ≤ − a (b − c ) = 2 = 0,25 *Bây ta cần chứng minh: f ( a, t , t ) ≥ Ta có f ( a, t , t ) = Dấu “=” xảy với a+2t=3 = 3(a + t + t ) + 4at − 13 = 3((3 − 2t ) + t + t ) + 4(3 − 2t )t − 13 2 0,25 0,25 2(t − 1) (7 − 4t ) ≥ 2t=b+c < ⇔ t = 1& b − c = ⇔ a = b = c = VI.a (2 ®iÓm) 5 3 Đường thẳng AB qua M, N’ có phương trình: x − y + = 0,25 Tọa độ điểm N’ đối xứng với điểm N qua I là N ' 3; Suy ra: IH = d ( I , AB ) = Do AC 3−9+ 10 = 10 = BD nên IA = IB Đặt IB = x > , ta có phương trình 1 + = ⇔ x2 = ⇔ x = 2 x 4x Đặt B ( x, y ) Do IB = và B ∈ AB nên tọa độ B là nghiệm hệ: http://toanhocmuonmau.tk 0,25 (5) http://toanhocmuonmau.violet.vn ( x − 3) + ( y − 3) x − y + = 2 14 x= y − 18 y + 16 = =2 x = > ⇔ ⇔ ∨ y = x = 3y − y = 0,25 0,25 14 B ; 5 Vậy, phương trình đường chéo BD là: x − y − 18 = Do B có hoành độ nhỏ nên ta chọn (S) có tâm J (1,0 ,−2) bán kính R = 0,25 → → + đt a có vtcp u (1, , − ) , (P) vuông góc với đt a nên (P) nhận u làm vtpt Pt mp (P) có dạng : x + y − z + D = 0,25 + (P) cắt (S) theo đường tròn có bk r = nên d( J , (P) ) = R −r = 2 0,25 D = −5 + + 2.0 − 2.(−2) + D nên ta có : = ⇔ D = −5 − 0,25 KL: Có mặt phẳng: (P1): x + y − 2z − + = và (P2): x + 2y − 2z − − = VII.a (1 ®iÓm) Số cách chọn thầy cô số 17 người là : Ω = Số phần tử không gian mẫu C 17 C 0,25 17 0,25 = 6188 Hội đồng người có số cô nhiều số thầy có thể số cô là 4, Gọi A là biến cố “ hội đồng người đó số cô nhiều số thầy” ⇒ A = 10 C C + A Suy P(A) = VI.b (2 ®iÓm) Giả sử Ω 10 C C + C C 10 0,25 = 1946 0,25 1946 139 = 6188 442 = B( xB ; yB ) ∈ d1 ⇒ xB = − yB − 5; C ( xC ; yC ) ∈ d ⇒ xC = −2 yC + Vì G là trọng tâm nên ta có hệ: xB + xC + = yB + yC + = 0,5 Từ các phương trình trên ta có: B(-1;-4) ; C(5;1) BG (3; 4) ⇒ VTPT nBG (4; −3) nên phương trình BG: 4x – 3y – = 81 Bán kính R = d(C; BG) = ⇒ phương trình đường tròn: (x – 5)2 +(y – 1)2 = 25 Vì A,B,C thẳng hàng và AC=2AB và A nằm ngoài đoạn BC nên AC = AB Ta có 0,5 0,25 Do B∈(d) nên B(1+t; 1-t;2+2t) xC = xB − x A AC = AB ⇒ yC = yB − y A ⇒ C (3 + 2t ; − 2t ;3 + 4t ) Vì C∈(P) nên t=0 z = 2z − z B A C Vậy B(1; 1; 2); C(3; 2; 3), đường thẳng ∆ qua B, C có phương trình: VII.b (1 ®iÓm) x≥0 x + 0,25 0,55 x −1 y −1 z − = = 1 0,25 ĐK : x+ ⇔ Đặt t = Với t ≥ x−x x −x x +1 ≥ 2( + x+ ⇔ + ≥ x − x) 2( ≥ ⇔ x − x + x x x 2x t ≤ −1 > Khi đó ta có : ( ) ⇔ 9t + 8t − ≥ ⇔ t ≥ ⇒3 x−x ) −1≥ ( loai ) (2 ) 0,25 0,25 x −x ≥ 3−2 ⇔ x − x ≥ −2 ⇔ x ≥ x−2 0,25 http://toanhocmuonmau.tk (6) http://toanhocmuonmau.violet.vn 0 ≤ x ≤ ⇔0≤ x≤4 ⇔ x ≥ x − 5x + ≤ Vậy nghiệm BPT là x ∈ [ 0; 4] HÕt http://toanhocmuonmau.tk (7)