Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất.. TÝnh tØ sè thÓ tÝch.[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn m tR¦êNG THPT đề THI THử ĐạI HọC NĂM HọC 2012-2013 (lần thứ 1) M«n thi: To¸n; khèi A Ngµy thi 20/21 th¸ng n¨m 2013 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề L¹NG GIANG Sè I PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh:(7 ®iÓm) 2x + C©u I (2 ®iÓm) Cho hµm sè y = có đồ thị (C) x −1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Với điểm M thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến M cắt tiệm cận A và B Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ C©u II (2 ®iÓm) Gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c sau: 9sin x + cos x − 3sin x + cos x = 2 x − x + y − y + = Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 2 x y + x + y − 22 = dx C©u III (1 ®iÓm) T×m nguyªn hµm I = ∫ sin x.cos5 x Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cạnh a, cạnh bên hợp với đáy góc là 450 Gọi P là trung điểm BC, chân đ−ờng vuông góc hạ từ A’ xuống mp(ABC) là H cho AP = AH gäi K lµ trung ®iÓm AA’, (α ) lµ mÆt ph¼ng chøa HK vµ song song víi BC c¾t BB’ vµ CC’ t¹i M, N TÝnh tØ sè thÓ tÝch VABCKMN VA ' B 'C ' KMN C©u V (1 ®iÓm) Cho sè d−¬ng x, y, z tho¶ mSn : x +3y+5z ≤ Chøng minh r»ng: xy 625 z + + 15 yz x + + zx 81 y + ≥ 45 xyz II PhÇn Riªng: (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ ®−îc chän lµm mét hai phÇn (phÇn A hoÆc phÇn B) A Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn C©u VI.a (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH : x − y + = , phân giác BN : x + y + = Tìm toạ độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC Cho tËp A = {0;1; 2;3; 4;5; 6} LËp ®−îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã ch÷ sè kh¸c tõ A, đó thiết có mặt chữ số và chữ số Câu VII.a (1 điểm) Tìm m để bất ph−ơng trình: m( x2 − 2x + +1) + x(2 − x) ≤ có nghiệm x∈[0;1+ 3] B Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao C©u VI.b (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) có ph−ơng trình: y = x Lập ph−ơng trình các cạnh tam giác có ba đỉnh nằm trên parabol, biết đỉnh tam giác trùng với đỉnh cña (P) vµ trùc t©m tam gi¸c trïng tiªu ®iÓm cña (P) Cho tËp A = {0;1; 2;3; 4;5; 6;7} LËp ®−îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã ch÷ sè kh¸c tõ A, đó thiết có mặt chữ số và không đứng cạnh C©u VII.b (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m cho bÊt ph−¬ng tr×nh 2 92 x − x − 2(m − 1)62 x − x + (m + 1)42 x − x ≥ nghiệm đúng với x thỏa mSn x ≥ HÕt Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn tR¦êNG THPT H−íng dÉn, §¸p ¸n, thang ®iÓm L¹NG GIANG Sè THI THö §¹I HäC N¡M HäC 2012-2013 (lần thứ 1) M«n thi: To¸n, khèi: A Ngµy thi 20/21 th¸ng n¨m 2013 H−ớng dẫn, đáp án gồm 05 trang (Học sinh làm theo cách khác đúng, cho điểm tối đa) C©u I (2 ®iÓm) §¸p ¸n §iÓm (1,0 ®iÓm) +) Tập xác định hàm số là R \ {1} +) Sự biến thiên hàm số a) Các giới hạn: Ta có lim y = 2; lim y = x →−∞ x →+∞ đường TCN có PT: y=2 0,25 lim y = +∞; lim− y = −∞ đương TCD cod PT: x=1 x →1+ x →1 b) Bảng biến thiên: −3 Ta có y ' = < 0, ∀x ∈ TXD ( x − 1) x y’ −∞ +∞ - - +∞ y −∞ • Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) và (1; +∞) Hàm số không có cực trị 0,25 +)Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung điểm ( 0; − 1) Phương trình y = ta x = − Do đó, đồ thị cắt trục hoành điểm là − ; Ngoài đồ thị còn qua điểm (2; 5) +)Vẽ đồ thị (phác họa chính xác dạng đồ thị hàm số) +) Nhận xét : Đồ thị nhận điểm uốn I (1; ) làm tâm đối xứng 0,25 0,25 (1 ®iÓm ) T×m ®iÓm M… LG:Với M bất kì ∈ (C), tiếp tuyến M cắt tiệm cận A, B Tìm M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ Gäi M x ;2 + ∈(C) x0 − * TiÕp tuyÕn t¹i M cã d¹ng: y = −3 ( x − x0 ) + + x0 − ( x − 1) Tiếp tuyến M cắt hai tiệm cận A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A 1; + x − 0,25 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn ; I(1; 2) B(2x0-1; 2) * Ta cã: S∆IAB= ⋅ x0 − = 2.3 = (®vdt) IA IB= ⋅ x0 − 0,25 0,25 ∆IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi ∆IAB đạt giá trị nhỏ IA= IB (HS tù chøng minh) x0 = + = x0 − ⇒ x0 − x0 = − * VËy cã hai ®iÓm M tháa mSn ®iÒu kiÖn M 1( + ; + ) M 2( − ; − ) Khi đó chu vi ∆AIB = + II (1 ®iÓm ) Gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c sau: 9sin x + cos x − 3sin x + cos x = 0,25 (2 ®iÓm) LG: 9sin x + cos x − sin x cos x + − 2sin x = ⇔ cos x(1 − s inx) − 2sin x + sin x − = ⇔ (1 − s inx)[2 sin x − + cos x] = 1 − s inx = ⇔ sin x + cos x = ( ptvn) * KÕt luËn nghiÖm: 0,25 0,25 0,25 0,25 (1 ®iÓm ) HÖ ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi ( x − )2 + ( y − )2 = ( x − 2) + ( y − 3) = ⇔ 2 2 ( x + 2) y + x − 22 = ( x − + ) ( y − + 3) + x − − 20 = x2 − = u §Æt y −3 = v 2 u + v = * Thay vµo hÖ ph−¬ng tr×nh ta cã: uv + ( u + v ) = u = u = x = x = −2 x = x = − ⇔ ∨ Suy ∨ ∨ ∨ v = v = y = y = y = y = KL: NghiÖm cña HPT III (1 ®iÓm) dx dx = 8∫ 3 sin x cos x cos x sin x cos x đặt tanx = t dx 2t ⇒ dt = ; sin x = cos x 1+ t2 dt (t + 1) ⇒ I = 8∫ =∫ dt 2t t3 ( ) 1+ t2 t + 3t + 3t + =∫ dt t3 3 = ∫ (t + 3t + + t −3 )dt = tan x + tan x + ln tan x − +C t 2 tan x I =∫ KL: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn IV - Gäi Q, I, J lÇn l−ît lµ trung ®iÓm B’C’, (1 ®iÓm) BB’, CC’ a Ta cã AP = ⇒ AH = a V× ∆ ' AHA' vu«ng c©n t¹i H K VËy A' H = a a a2 Ta cã S ABC = a = (®vdt) 2 A a 3a ⇒ V ABCA 'B 'C ' = a = (®vtt) 4 (1) V× ∆ ' AHA' vu«ng c©n ⇒ HK ⊥ AA' ⇒ HK ⊥ (BB' C ' C ) G äi E = MN ∩ KH ⇒ BM = PE = CN (2) A' H + AH = mµ AA’ = I A' C' Q B' 0,25 J N E 45 C M 0,25 P B H 3a + 3a = a a a ⇒ BM = PE = CN = V = S MNJI KE Ta cã thÓ tÝch K.MNJI lµ: a 1 KE = KH = AA ' = 4 a a a2 a a3 S MNJI = MN MI = a = (dvdt ) ⇒ VKMNJI = = (dvtt ) 4 4 3 3a a − VABCKMN ⇒ = 83 = vµ KL VA ' B 'C ' KMN 3a a + 8 ⇒ AK = V (1 ®iÓm) Bất đẳng thức 4 ⇔ x + + y + + 25 z + ≥ x 9y 25 z 45 36 2 VT ≥ ( x + y + z ) + ( + + ) ≥ 9(.3 x.3 y.5 z ) + x y 5z ( x.3 y.5 z ) §Æt t = 0,25 0,25 0,25 0,25 ( x.3 y.5 z ) x + y + 5z ( x.3 y.5 z ) ≤ = đó t ≤ ta cã §iÒu kiÖn < t ≤ XÐt hµm sè f(t)= 9t + 36 =45 t 1 Dêu b»ng x¶y khi: t=1 hay x=1; y= ; z= VI.a (1 ®iÓm ) LG (2 ®iÓm) +Do AB ⊥ CH nªn AB: x + y + = 2 x + y + = Gi¶i hÖ: ta cã (x; y)=(-4; 3) x + y +1 = Do đó: AB ∩ BN = B (−4;3) + Lấy A’ đối xứng A qua BN thì A ' ∈ BC 0,25 0,25 0,25 (5) http://toanhocmuonmau.violet.vn - Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (d) qua A vµ Vu«ng gãc víi BN lµ (d): x − y − = Gäi I = (d ) ∩ BN Gi¶i hÖ: 2 x + y + = Suy ra: I(-1; 3) ⇒ A '(−3; −4) x − 2y − = 7 x + y + 25 = + Ph−¬ng tr×nh BC: x + y + 25 = Gi¶i hÖ: x − y +1 = 13 Suy ra: C (− ; − ) 4 450 + BC = (−4 + 13 / 4) + (3 + / 4) = , 7.1 + 1(−2) + 25 d ( A; BC ) = =3 + 12 1 450 45 Suy ra: S ABC = d ( A; BC ).BC = = 2 4 (1 ®iÓm ) Cho tËp A = {0;1; 2;3; 4;5; 6} LËp ®−îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã chữ số khác từ A, đó thiết có mặt chữ số và chữ số LG: +) Gäi m lµ sè c¸c sè cã ch÷ sè ph©n biÖt lËp tõ A cã mÆt sè vµ 2( kÓ c¶ sè đứng đầu) Ta cã m = A52 A53 = 1200 +) Gäi m1 lµ sè c¸c sè cã ch÷ sè kh¸c lËp tõ A ch÷ sè ®Çu tiªn b»ng 0, cã mÆt ch÷ sè 1, Ta cã m1 = A42 A42 = 144 +) Sè c¸c sè tháa mSn yªu cÇu bµi to¸n lµ: 1200-144=1056 sè VII.a (1 ®iÓm) §Æt t = x − 2x + , t2 − = x2 − 2x , x ∈ [0;1 + 3] ⇒ t ∈ [1; ] Bpt (2) ⇔ m ≤ XÐt g(t) = g'(t) = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 t −2 t +1 t2 − víi ≤ t ≤ t +1 t + 2t + (t + 1) > Vậy g đồng biến trên [1,2] t2 − cã nghiÖm t ∈ [1,2] t +1 ⇔ m ≤ max g(t) = g(2) = Vµ KL : t∈[1;2] Do đó, ycbt ⇔ bpt m ≤ 0,25 0,25 0,25 VI.b 1(1 ®iÓm ) (P): y = x suy tham sè tiªu p=2 (2 điểm) Do đỉnh (P) trùng với gốc O(0;0) gọi tam giác cần tìm là OAB Do trùc t©m trïng víi tiªu ®iÓm nªn AB ⊥ Ox Hay A(a, a ); B (a, −2 a );(a > 0) Ta cã tiªu ®iÓm F (1; 0) vµ AF ⊥ BO ⇔ AF ⊥ OB ⇔ AF OB = 0, (1) 0,25 0,25 Mµ AF (1 − a; −2 a ); OB (a; −2 a ) thay vµo (1) T×m ®−îc a = Suy tọa độ A, B là: A(5; 5), B (5; −2 5) 5 x , OB y = − x , AB: x = 5 2(1 điểm ) +) Gọi m1 là số các số có c/s phân biệt đó thiết có mặt chữ số và 5(chấp nhận chữ số đứng đầu) Ph−¬ng tr×nh cña OA: y = 0,25 0,25 (6) http://toanhocmuonmau.violet.vn Ta cã m1 = A A = 10800 (sè) +) Gọi m2 là số các số có c/s phân biệt đó thiết có mặt chữ số và đó chữ số đứng đầu Ta cã m2 = A52 A53 = 1200 (sè) Vậy số các số có c/s phân biệt đó thiết có mặt chữ số và là m=m1-m2= 9600 (sè) +) Gọi n1 là số các số có c/s phân biệt đó thiết có mặt chữ số và đứng cạnh nhau(chấp nhận chữ số đứng đầu) Ta cã n1 = 5.2! A64 = 3600 (sè) +) Gọi n2 là số các số có c/s phân biệt đó thiết có mặt chữ số và đứng cạnh đó chữ số đứng đầu Ta cã n2 = 4.2! A53 = 480 (sè) Vậy số các số có c/s phân biệt đó thiết có mặt chữ số và đứng cạnh lµ n=n1-n2= 3120 (sè) KL : VËy sè c¸c sè t/m ycbt lµ : m-n=6480 (sè) T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m cho bÊt ph−¬ng tr×nh VII.b (1 ®iÓm) 92 x −x − 2(m − 1)62 x −x + (m + 1)42 x −x 0,25 0,25 0,25 0,25 ≥ 0, (1) nghiệm đúng với x thỏa mSn x ≥ LG: 3 Đặt 2 x2 − x 3 = t ⇒ t ' = (4 x − 1) 2 x2 − x 3 ln 2 x2 − x 1 3 3 t ' = ⇔ (4 x − 1) ln = ⇔ x = ∉ (−∞; − ] ∪ [ ; +∞) 2 2 2 1 ⇒ ∀x ∈ (−∞; − ] ∪ [ ; +∞) ⇒ t ∈ [ ; +∞) 2 2 BPT ban ®Çu trë thµnh: t − 2(m − 1)t + (m + 1) ≥ 0, (2) YCBT trở thành: Tìm m để bpt (2) nghiệm đúng với t ∈ [ ; +∞) = D t + 2t + t + 2t + ≥ m(2t − 1) ≥m Tõ (2) vµ (3) ta cã ⇔ 2t − (*) ∀ t ∈ D ∀t ∈ D XÐt hµm sè f (t ) = 0,25 0,25 0,25 t = −1 t + 2t + 2t + 2t − ⇒ f '(t ) = ⇒ f '(t ) = ⇔ 2t − (2t − 1) t = Sö dông bbt cña hµm sè f ( t ) Suy Min f (t ) = f (2) = (**) ∀t∈D Tõ (*) vµ (**) suy m ≤ Min f (t ) = f (2) = ∀t∈D KL: m ≤ lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m HÕt 0,25 (7)