Câu IV 1,0 điểm Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC, mặt bên SBC hợp với đáy một góc 60°.. Tính thể tích khối chóp S.AMNP.[r]
(1)TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học: 2012 - 2013 Môn: Toán - Khối B, D Thời gian làm bài: 150 phút ******* -PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 − x − mx + có đồ thị là ( Cm ) 1.Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = 2.Tìm m để ( Cm ) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = −4 x + Câu II (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: Giải phương trình : tan x = 4cos 2x + cot x (1 − x ) y = , ( x, y ∈ ℝ ) Giải hệ phương trình: ( 2x + 1) y = −1 Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân bất định: I = ∫1+ dx 2x + Câu IV (1,0 điểm) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC), mặt bên (SBC) hợp với đáy góc 60° Gọi N là trung điểm BC, trên AB và AC lấy các điểm M, P cho AM = AN = AP Tính thể tích khối chóp S.AMNP Câu V (1,0 điểm) Cho hai số thực x,y thỏa mãn: x + y = Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức sau: P = 2(x + y ) − 3xy PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình chuẩn Câu VIa (2,0 điểm) Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(1 ; 1), biết đường thẳng ∆ : x − y + = cắt (C) theo dây cung AB với AB = 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 1; 0), B(0; 0; -2), C(1; 1; 1) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, B đồng thời khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P) n Câu VIIa (1,0 điểm) Cho khai triển x + Biết tổng hệ số số hạng đầu tiên khai x triển trên 631 Tìm hệ số số hạng có chứa x5 B Theo chương trình nâng cao Câu VIb (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường cao kẻ từ B là: x+y-3=0 và chân đường cao −3 là trung điểm AB Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC, biết B có 2 kẻ từ A là H(3;-3) M ; hoành độ lớn Trong không gian Oxyz, Cho bốn điểm A(0;2;1), B(2;0;0), C(3;-2;0), D(1;3;2) và đường thẳng x −1 y +1 z − = = Tìm điểm M trên d cho nó cách D và mặt phẳng (ABC) 2 x −2 log 0,5 + = y log Câu VIIb (1,0 điểm) Giải hệ phương trình : y y − 2y + 4x + = d: .Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: (2) HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HS KHÁ GIỎI LẦN MÔN: TOÁN LỚP 12 – Khối B, D Chú ý : Dưới đây là sơ lược bước giải và cách cho điểm phần bài Bài làm học sinh yêu cầu tiết, lập luận chặt chẽ Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm phần tương ứng Câu ý I 1đ NỘI DUNG A PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Điểm Cho hàm số y = x3 − x − mx + đồ thị ( Cm ) điểm 1đ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = + Học sinh tự làm bài khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số +) y ' = 3x − x − m Hàm số có CĐ, CT ⇔ y ' = x − x − m = có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇔ ∆ ' = + 3m > ⇔ m > −3 (*) +) Gọi hai điểm cực trị là A ( x1 ; y1 ) ; B ( x2 ; y2 ) 1đ 0.25 0.5 Thực phép chia y cho y’ ta được: 1 m 1 2 y = x − y '− m + x + − 3 3 3 3 1 m 1 2 ⇒ y1 = y ( x1 ) = x − y '− m + x1 + − ; 3 3 3 3 m 1 1 2 y2 = y ( x2 ) = x − y '− m + x2 + − ; 3 3 3 3 ⇒ Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là d : y = −( 2m m + 2) x + (2 − ) 3 thẳng qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = −4 x + +) Đường 27 2m ⇔ − + ( −4 ) = −1 ⇔ m = − 0.25 Kết luận: II ĐK : sin 2x ≠ ⇔ x ≠ kπ ,k ∈ℤ −2 cos 2x = cos 2x sin 2x ⇔ cos 2x + sin 4x.cos 2x = ⇔ (1 + sin 4x ) cos 2x = tan x − cot x = cos 2x ⇔ 1đ x = cos 2x = ⇔ ⇔ sin 4x = −1 x = π kπ + ,k∈ℤ −π kπ + 2 điểm 0.25 0.25 0.25 Kết luận: 0.25 (3) ĐK: x,y ∈ ℝ Xét y=0, thay vào không thỏa mãn Xét y ≠ , đặt = t 0.25 − x3 = (1 − x ) y = y ⇒ x + 2t = 1(1) 3 ⇔ t + 2x = −1 − 2x + y = − ( ) 2x + = y3 ⇒ ( t + x ) ( x − xt + t + ) = ⇔ t = − x 0.25 y 1đ Thay t=-x vào (1) ta x = 1+ x − 2x − = ⇔ ( x + 1) ( x − x − 1) = ⇔ x = x = − Hệ có ba nghiệm (1; −1) , + ; − , − ; + 2 III Đặt 1đ I =∫ 2x + = t ⇒ 2x = t − ⇒ dx = tdt 1 t t dt = ∫ − dt = − ln (1 + 2t ) + C + 2t 2 (1 + 2t ) Vậy I = ( ) 1 x + − ln + 2 x + + C 0.25 0.25 điểm 0.25 0.5 0.25 điểm IV HÌNH VẼ: hỌC SINH TỰ VẼ HÌNH +) Xác định góc SNA = 60 ; A N = a 3a ; SA = 2 +) Chứng minh: A N ⊥ MP ⇒ S A MNP = A N MP = +) V S A MNP = 1đ V 0.25 a2 0.5 a S A MNP SA = (đvtt) 16 0.25 điểm t2 − 2 Do 2x + 2y ≥ ( x + y ) ⇒ t ≤ ⇔ −2 ≤ t ≤ +) Đặt x+y=t ⇒ x + y = ⇔ xy = 0.25 +) P= ( x + y ) − 6xy ( x + y ) − 3xy = − t − t + 6t + 3 t = P’= −3t − 3t + 6, P ' = ⇔ (tm) t = −2 0.25 (4) 13 , P(2) = 1, P(−2) = −5 13 MaxP= x + y = 2, x + y = MinP=-5 x + y = 2, x + y = −2 +) P(1) = 1đ 0.5 B PHẦN RIÊNG điểm A Theo chương trình chuẩn VIA điêm Gọi H là trung điểm AB ⇒ IH = d(I, ∆ ) = 3.1 − 4.1 + 5 = 0.25 29 AB = Bán kính đường tròn là: R = IH + ⇒ phương trình đường tròn là: ( x − 1) 0.25 29 25 + ( y − 1) = 2 0.25 Kết luận +) Giả sử mp(P) có dạng: ( Ax + By + Cz + D = , A + B + C ≠ 2 ) ⇒ n P = ( A;B;C ) là VTPT mp (P) − A + B + D = C = ( A − B ) ⇒ +) (P) qua A và B nên ta có hệ pt: −2C + D = D = A − B ⇒ mp (P) có phương trình là: Ax + By + ( A − B ) z + ( A − B ) = A = −1 +) d ( C;(P) ) = ⇒ B A = B +) Với A = −1 chọn A = 1, B = -1 ⇒ C = 1, D = ⇒ (P) : x − y + z + = B A Với = chọn A = 7, B = ⇒ C = 1, D = ⇒ (P) : 7x + 5y + z + = B VII A 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 điểm n 3n 3( n −1) 3( n − 2) 3 32 2 +) Ta có: x + = Cn x + C n x + Cn x + + 3 x x x +) Tổng hệ số số hạng đầu tiên là: Cn0 + 3Cn1 + 9Cn2 = 631 ⇔ n = 12 n ( ) k = ∑ C12 x x k =0 13k Theo gt: 18 − =5⇒ k =6 +) x + 12 12 − k k k = ∑ C12 x x k =0 +) Vậy hệ số số hạng chứa x5 là C126 36 B Theo chương trình nâng cao VIB 12 13 k 18 − .3k 0.25 0.25 0.25 0.25 (5) +) B ∈ d ⇒ B ( a;3 − a ) ⇒ A ( − a;a − ) 0.25 HA = ( − a;a − 3) , HB ( a − 3; − a ) H là chân đường cao tam giác kẻ từ A ⇒ HA.HB = a = 3(l) a = 5(tm) +) ⇔ ( − a )( a − 3) + ( a − 3)( − a ) = ⇔ ⇒ B ( 5; −2 ) ,A ( 2; −1) 1đ thẳng BC qua H(3;-3) và có vtcp BH = ( −2; −1) ⇒ phương trình BC là: x-2y-9=0 Đường thẳng AC qua A(2;-1) và vuông góc với d có phương trình: x-y-3=0 +) C = AC ∩ BC ⇒ tọa độ C là nghiệm hệ 0.25 +) Đường x − 2y − = x = −3 ⇔ ⇒ C ( −3; −6 ) x − y − = y = −6 +) Mặt phẳng (ABC) có phương trình: 2x+y+2z-4=0 +) M ∈ d ⇒ M ( a + 1; 2a − 1; 2a + ) d ( M, (ABC) ) = 0.25 0.25 0.25 8a + +) MD = 9a − 16a + 16 8a + gt ⇒ MD = d ( M, (ABC) ) ⇔ = 9a − 16a + 16 a = 160 269 320 +) ⇔ 17a − 160a + 143 = ⇔ 143 ⇒ M1 (1;3; ) , M ; ; a = 17 17 17 17 VIIB 0.25 0.25 0.25 0 < y ≠ 0.25 +) Đk: x + > y +) x x log 0,5 + = − ⇔ − log + = log y − ⇔ log ( x + 2y ) = 0.25 y log y y ⇔ x = − 2y y − 2y + 4x + = ⇔ y − 2y + ( − 2y ) + = ⇔ y − 10y + 24 = +) y = ⇔ y = +) Với y = ⇒ x = −8 (tm) Với y = ⇒ x = −4 (tm) KL 0.25 0.25 (6)