Trần Thị Phi Nga TÀI LIỆU ÔN THI VÀO THPT Trường THCS Vĩnh Yên A C¸c d¹ng bµi tËp vµ ph¬ng ph¸p gi¶i D¹ng 1 §iÒu kiÖn PHB2 cã nghiÖm ,v« nghiÖm Cã thÓ x¶y ra 6 trêng hîp Muèn chøng minh PTB2 lu«n cã[.]
Trần Thị Phi Nga TÀI LIỆU ÔN THI VÀO THPT Trng THCS Vnh Yờn Ruộng vờn chăm bón doanh thu lớn Sách dùi mài đỗ đạt cao A.Các dạng tập phơng pháp giải Dạng 1: Điều kiện PHB2 có nghiệm ,vô nghiệm Có thể xảy trờng hợp -Muốn chứng minh PTB2 có nghiệm , cã nghiƯm pb , v« nghiƯm ta chøng minh Luôn không âm ,luôn dơng , âm -Muốn tìm điều kiện để PTB2 có nghiệm ,vô nghiệm ta giải bất phơng trình Dạng ; Tính giá trị biểu thức nghiệm Phơng pháp giải : - KiĨm tra ®iỊu kiƯn cã nghiƯm TÝnh tỉng ,tÝch nghiệm theo Viet -Biến đổi biểu thức dạng toàn Tổng ,Tích nghiệm Chú ý Nếu gặp Hiệu ,Căn tính bình phơng suy -Nếu biểu thức không đối xứng dùng ax12 bx1 c 0 ; ax22 bx2 c -Nếu mũ lớn nhẩm nghiệm Ngoài khó cần khéo léo vận dơng linh ho¹t D¹ng : ViÕt hƯ thøc liên hệ nghiệm độc lập với tham số Bíc : TÝnh tỉng vµ tÝch nghiƯm theo ViÐt Bíc : Rót tham sè tõ tỉng thay vào tích ngợc lại Chú ý : Nếu bậc tham số tổng tích trở lên ta phải khử bậc cao tr ớc bẳng cách nh phơng pháp cộng giải HPT Dạng ; Tìm tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm Bớc1 : Tìm ĐK có nghiệm TÝnh tỉng vµ tÝch nghiƯm theo ViÐt Bíc : Biến đổi tơng đơng hệ thức dạng toàn Tổng ,Tích nghiệm Nếu không đợc giải hệ ( HƯ thøc cã bËc ) Chó ý : -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm - Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn bình phơng ,chứa dấu giả trị tuyệt đối thành phần Dạng : Lập phơng trình bậc biÕt nghiƯm Khi lËp PT B2 cÇn biÕt nghiƯm vµ Èn - Mn lËp PTB2 cã nghiƯm x1 , x2 ta lµm nh sau : TÝnh x1 x2 S , x1.x2 P VËy PTB2 cÇn lËp : x2- Sx+ P =0 Dạng6 :Tìm số biết tổng tích :Dủng phơng pháp đa PTB2 Dạng7 :Xét dấu nghiệm PT Xét phơng tr×nh bËc hai: ax bx c 0 (a 0) Trần Thị Phi Nga TÀI LIỆU ÔN THI VÀO THPT Trường THCS Vĩnh Yên Cã b 4ac P = x1 x c a S = x1 x b a Trong nhiều trờng hợp ta cần so sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số cho trớc xét dấu nghiệm phơng trình bậc hai mà không cần giải phơng trình đó, ta ứng dụng định lí Viét Phơng trình có nghiệm d¬ng 0 P S Phơng trình có nghiƯm ©m P S Phơng trình có nghiệm trái dấu: P Nhiều toán đòi hỏi tìm điều kiện để phơng trình bậc có nghiệm không âm Thờng có cách giải: Cách 1: Có P ( Trờng hợp có nghiệm dơng nghiệm không âm) Hoặc P = Trờng hợp tồn nghiệm Hoặc: Thì hai nghiệm dơng Cách 2: Trớc hết phải có phơng trình có nghiệm không âm : S ( Trờng hợp tồn nghiệm dơng) Hoặc S = ( Trờng hợp tồn nghiệm không âm) Hoặc S 0, P ( Trờng hợp có nghiệm không âm nghiệm âm) Tuỳ theo đầu mà chọn cách xét biểu thức P hay S Dạng 8: Nghiệm chung phơng trình Dạng 9:Hai phơng trình tơng đơng Học sinh hay nhầm lẫn vấn đề sau: Khi tìm hai phơng trình vô nghiệm thờng vội kết luận hai phơng trình không tơng đơng với nhau: P S VD3: Tìm m để hai phơng trình x2 mx + 2m -3 = (1); x2 – (m2 + m - 4)x + 1= (2) tơng đơng Hớng dẫn: Hai phơng trình tơng đơng hai trờng hợp * Trờng hợp 1: PT(1) PT(2) vô nghiệm (không xảy ra) * Trờng hợp 2: PT(1) PT(2) có nghiệm x1; x2 theo định lý Vi-ét ta có: x x m m m m 0 m 2 2m 0 x x 2m Thử lại với m = hai phơng trình tơng đơng có nghiệm x = Vậy m = Với loại toán ta cần lu ý học sinh: Khi hai phơng trình vô nghiệm hai phơng trình 8m 12 m 2 m m m 2 m 3 m 2 cịng lµ hai phơng trình tơng đơng Cho nên với số toán ta phải xét hai trờng hợp, trờng hợp hai phơng trình vô nghiệm trờng hợp hai phơng trình có tập hợp nghiệm VD4: Tìm m, n để phơng trình x2 (m + n)x -3 = (1) phơng trình x2 2x + 3m – n – = (2) tơng đơng Hớng dẫn: PT(1) có m n 12 m, n nªn PT(1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Do PT(1) PT(2) tơng đơng hai phơng trình có tập hợp nghiệm nghĩa là: Vậy m =1 n =1 giá trị cần t×m x1 x m n 2 m n 2 m 1 3m n 2 n 1 x1 x 3m n Trần Thị Phi Nga TÀI LIỆU ÔN THI VÀO THPT Trường THCS Vĩnh Yờn Với toán ta đà đợc phơng trình có hai nghiệm phân biệt, nên hai phơng trình tơng đơng phơng trình lại phải có hai nghiệm giống hai nghiệm phơng trình áp dụng định lý Vi-ét tổng tích hai nghiệm ta tìm đợc m, n B tập Bài 1:Cho phơng trình : x2 (m + 5)x – m + = 0, víi m tham số Tìm m để hai nghiệm x1 , x2 tho¶ m·n : 2x1 + 3x2 = 13 Bài 2: Cho phơng trình: x2 - 2mx + m = a Giải phơng trình với m = 7, m = - 4, m = b Cm phơng trình có nghiệm phân biệt với m c Viết hệ thức liên hệ x1, x2 ®éc lËp víi m TÝnh x1 theo x2 d TÝnh theo m: 1 ; 3x12 2mx1 x22 m x13 x23 e TÝnh m ®Ĩ phơng trình có nghiệm trái dấu, nghiệm dơng g Với điều kiện m x1 x2 4 ; 2x1+x2 = ; ( x1 3x2 ) x2 x2 8 ; x22 2m 1 x2 x1 m h Tìm giá trị lớn A = x1(x2 x1)- x22 Lập phơng trình bậc có nghiệm số đối nghiệm phơng trình Bài : Cho phơng trình: x2-(m+1)x + m = giải phơng trình với m = Tìm m để tổng bình phơng nghiệm 17 Lập hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào m Giải phơng trình trờng hợp tổng bình phơng nghiệm đạt giá trị nhỏ Bài : Cho phơng trình: x2- 2mx + 2m = Giải phơng trình với m= Tìm m để tổng bình phơng nghiệm 10 lập hệ thức độc lập nghiệm không phụ thuộc vào m Tìm m cho : 2( x12 x22 ) x1 x2 65 Bµi 5: Cho phơng trình : x2-(2k+1)x + k2 +2 = Tìm k để phơng trình có nghiệm gấp đôi nghiệm Tìm k để phơng trình có x12 x22 nhỏ Bài6: Cho phơng trình x2+mx+m-1=0 Giải phơng trình với m=3 Chứng minh phơng trình có nghiệm với m Tính tổng tích nghiệm phơng trình Bài 7: Cho phơng trình: x2+( 2m+1 ).x+m2 +m-2=0 Giải phơng trình với m= Chứng minh phơng trình có nghiệm với m Gọi x1,x2 nghiệm phơng trình Tính theo m: ( x1+1) ( x2+1)+ 7x1x2 Bài 8: Cho x2-4x-( m2+2m)=0 Giải phơng trình với m=5 Chứng minh phơng trình có nghiệm với m TÝnh ( x12 x22 ) 8( x1 x2 1) theo m Tìm m để ( x12 x22 ) 5( x1 x2 ) Bµi 9: Cho phơng trình 2x2+6x+m=0 x x a)Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt t/m : x x 5 Bµi 10: Cho x2-2( m-1)x +m-3=0 Trần Thị Phi Nga TÀI LIỆU ÔN THI VO THPT Trng THCS Vnh Yờn a.Chứng minh phơng trình có nghiệm với m b.Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc m c.Tìm m để x1-3x2=5 Bài 11:Cho phơng trình mx2+(2m-1)x+(m-2)=0 Giải phơng trình với m = Tìm m để phơng trình đà cho có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thoả mÃn x12 x22 =2006 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Bài 12: Cho phơng trình (m-1)x2 + 2mx + m = Giải phơng trình m = Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 16, tìm nghiệm lại Bài 13: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng tr×nh x2 – 2(m- 1)x – = ( m tham số ) x Tìm m để + x =5 Bài 14: Cho phơng trình: X2 3x + = cã nghiÖm x1, x2 TÝnh: a x12 x22 b x13 x23 c x14 x24 d x15 x25 h x1 x 1 + x2 x1 e x1 x i) x1 x1 x2 x2 g x1 x2 x2 x1 k X1(2x1 - 3) + x22 Bài 15Cho phơng trình: X2 - 2x + m - = * Tìm m để phơng trình : a Cã nghiƯm kÐp T×m nghiƯm kÐp b Cã nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n: b1 (x1 + 3x2)( x2 + 3x1) = b2 3x1 + 5x2 = b3 x 12 + x 22 - x1x2 = * Biết phơng trình có nghiệm x1 = Tìm m x2 Bài 16Cho phơng tr×nh x2 – (m+4)x + 3m+3 = ( m tham số) a Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm lại b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 tho¶ m·n x13 + x23 Bài 17Cho phơng trình bậc x (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m - = (3) a Chứng minh phơng trình (3) luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị m khác - b- Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dấu c Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dấu hai nghiệm có nghiệm gấp đôi nghiệm Bài 18Cho phơng trình : (m2 + 1)x2 + 2(m2 + 1)x – m = 0, với m tham số Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ : A = x12 +x22 víi x1 , x2 nghiƯm cđa ph¬ng trình Xét hai phơng trình: x2+x+k+1 = (1) x2- (k+2)x+2k+4 = (2) a) Giải phơng trình (1) víi k = - 1; k = - b) Tìm k để phơng trình (2) có nghiệm ? c) Với giá trị k hai phơng trình tơng đơng ? Bài 19Xét hai phơng trình: x2+x+k+1 = (1) x2- (k+2)x+2k+4 = (2) a)Giải phơng trình (1) với k = - 1; k = - b)Tìm k để phơng trình (2) có nghiệm ? c)Với giá trị k hai phơng trình tơng đơng ? Bµi 21: Cho 2pt: x2 – (2m + n)x -3m = (1) & x2 – (m + 3n)x - = (2) Tìm m, n để 2pt tơng đơng Bài 22: Cho hai phơng trình : x2 +(m + 1)x +1 = (3) x2 + x + m+ = (4) Trần Thị Phi Nga TÀI LIỆU ÔN THI VÀO THPT Trường THCS Vĩnh Yờn a) Tìm m để phơng trình (3) có tổng bình phơng hai nghiệm đạt giá trị nhỏ b) Tìm m hai phơng trình tơng đơng Bài 23: Tìm m để hai phơng trình : x2 + 2x - m = (5) 2x 2x2 + m x + = (6) tơng đơng Bài 24: Cho phơng trình x2 - 2(m + 1)x + m - = a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c) Chøng minh r»ng biÓu thøc H = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m d) Tìm giá trị biểu thức x1 - x2 ; x12 - x22 ; x13 - x23 Bµi 25: a) Định m để phơng trình mx2 - (12 - 5m)x - 4(1 + m) = cã tỉng b×nh phơng nghiệm 13 b) Định m để pt mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = có tổng bình phơng nghiệm 2005 Bài 26: Cho phơng trình x2 - 2(m + 1)x + m2 - 4m + = a) Định m để phơng trình có nghiệm b) Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt dơng Bài 27 Tìm m để phơng trình sau phơng trình bËc hai: a) (1-3m) x2 + 2(m-1)x - 2m-3 = b) ( m2-1) x2 + 2x - 2m+5 = Bài 28 1.Với giá trị m PT sau có nghiệm kép Tìm nghiệm kép a) x2 - (m + 2)x +m2 - = b) (m + 3)x2 - mx + m = 2.Tìm m để phơng trình ( m2-9) x2 + 2(m + 3)x +2 = vô nghiệm Tìm k ®Ĩ PT kx2 + 2(k - 1)x + k + = có hai nghiệm phân biệt Bài 29 Cho PT x2 +2(m-1) - 2m-3 = (1) Gi¶i PT víi m = CMR PT (1) có nghiệm phân biệt với giá trị m Gọi x1, x2 nghiệm PT (1) Tìm m để x x x x 2 0 Bµi 30 Cho PT (m - 1) x2 - 2(m+1)x + m- = Giải pt với m = -1 Tìm m để pt có nghiệm phân biệt Tìm m để pt có nghiệm kép Tìm nghiệm kép Bµi 31 Cho pt x2 - 2( k-1)x + 2k - = a Gi¶i pt víi k = b CMR phơng trình có nghiệm phân biệt với giá trị k c Tìm k ®Ĩ pt cã nghiƯm cïng dÊu ®ã nghiệm dấu ? d Tìm k để pt cã nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n hƯ thøc |x1|-|x2| = 14 Bµi 32 Cho pt : x2 - ( 2m - ) + m2 - m- = (1) CMR phơng trình có nghiệm với giá trị m Giải phơng trình với m = Gäi x1, x2 lµ nghiệm pt (1) a Tìm hệ thức lên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m b Tìm m cho ( 2x1 - x2) ( 2x2 - x1) đạt GTNN Bài 33 Cho pt bặc : x2 - 2( m + )x + m2 + 3m + = (1) Giải phơng trình (1) với m = -1 Tìm m để PT (1) có nghiệm phân biệt Gọi x1,x2 nghiệm PT Tìm m để x12 + x22 = 12 Bài 34.Cho phơng trình x2 - 2mx + 2m - = Trần Thị Phi Nga TÀI LIỆU ÔN THI VÀO THPT Trường THCS Vĩnh Yên CMR pt có nghiệm với giá trị cđa Gi¶i pt víi m = m Tìm m để phơng trình có nghiệm trái Gọi x 1, x2 nghiệm phơng trình a Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 ®éc lËp víi dÊu m b T×m GTNN cđa hƯ thøc A= x12 + x22 Bµi 35 Cho PT : x2 - 4x + m + = Giải phơng trình với m = -1 Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm m để phơng trình có nghiệm trái dấu, nghiệm mang dấu ? Tìm m cho PT cã nghiƯm tho¶ m·n hƯ thøc x12 + x22 = 10 Bµi 36 x2 - 2(m - 1)x + m - = Giải phơng trình với m = CMR phơng trình có nghiệm m Xác định m để pt có nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm lại phơng trình Tìm m để PT có nghiệm dấu dơng Tìm m ®Ĩ PT cã nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n hƯ thøc |x1 |+|x2| = Bµi 37 Cho pt x2 - 2(m +2)x + m +1 = Gi¶i pt với m= -2 Tìm m để phơng trình có nghiệm Tìm hệ thức liên hệ x1,x2 ®éc lËp víi m T×m m ®Ĩ x1(1- 2x2) + x2(1- 2x1) = m2 Bài38 Tìm m để PT: x2 - (m +3)x + 2(m+2)= (1) cã nghiệm x1,x2 thoả mÃn x1 = 2x2 Bài 39 Cho PT: x2 - 2(m + 1)x + 2m - 15 = Gi¶i pt m =-1 Gäi nghiệm phơng trình x1và x2.Tìm giá trị m thoả mÃn x2+5x1 = Tìm m để pt có nghiệm dấu Tìm m để pt có nghiệm -2 Tìm nghiệm lại PT Bài 40 Cho phơng trình x2 - (m + 4)x + 3m +3 = T×m m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm lại phơng trình Xác định m ®Ĩ PT cã hai nghiƯm x1,x2 tho¶ m·n x13 + x23 0 Bµi 40.1 Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm phơng trình x2- 2(m-1)x = 0.Tìm m ®Ĩ|x1 |+|x2| = Bµi 41 Cho Parabol y = - x2 điểm N(1;-2) CMR phơng trình đờng thẳng qua M có hệ số góc k cắt Parabol điểm phân biệt A,B với giá trị k Gọi xA , xB lần lợt hoành độ A B Tìm k để x2A + x2B - 2xAxB(xA + xB) đạt GTLN Tìm giá trị Bài 42 Cho h/s y= x2 (P) đờng thẳng y = 2mx - 2m + (d) Tìm giao điểm Parabol (P) đờng thẳng (d) m = CMR đt cắt Parabol giá trị m Tìm m để đờng thẳng cắt Parabol điểm có hoành độ trái dấu Gọi x1,x2 hoành độ giao diểm đt Parabol Tìm m ®Ĩ x12 (1 x22 ) x22 (1 x12 ) 4 Bµi 43 Cho h/s y = f(x) = -2x2 có đồ thị ( P ) 1 TÝnh f(0); f( ); f( ); f(-1) Trần Thị Phi Nga TÀI LIỆU ÔN THI VÀO THPT Trng THCS Vnh Yờn Tìm x để h/s lần lợt nhận giá trị 0; -8; -18; 32 Các điểm A(3;-18), B( ;-6); C(-2;8) có thuộc đồ thị (P) không ? Bài 44 Cho h/s y= x2 Gọi A,B hai điểm đồ thị hàm số có hoành độ -2 Viết phơng trình đờng thẳng qua A B Đờng thẳng y = x + m - cắt đồ thị điểm phân biệt gọi x x2 hoành độ giao điểm Tìm m để x12 + x22 + 20 = x12x22 Bµi 17 Cho h/s y = ( m - 2)x2 Tìm m để h/s đồng biến x < nghịch biến x > Tìm m để đồ thị h/s nằm phía trục hoành Tìm m để đồ thị h/s qua A(- ; 2) 4.Tìm m để đồ thị h/s tiếm xúc với đt y = x - Tìm toạ độ tiếp điểm Bài 45 Cho hàm số y = f(x) = 2x2 - x + TÝnh f(0); f(- ); f(- ) Bµi 46 Cho pt x2 - 3x + = 0, Gäi x1 x2 nghiệm pt Không giải pt h·y tÝnh x12 + x22 1 x1 x 2 x31 + x32 x41 + x42 x1 x x x1 x21x2 + x22x1 x1 x1 x x 2 x1 x x1 x 2 x1 -x2 10 x12 - x22 11 |x1 |-|x2| 12 x1 x2 16 (2 x1-1)( 2x2-1) 17 x12(x1- 1) + x22(x2- 1) 13 14 x1 x x x1 x1 x1 x x2 2 x1 x x1 x ( x1 x ) 2 x1 ( x 21 1) x ( x 1) 15 18 x1 x2 x2 x1 x1 -1 x -1 x2 x1