Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai Chuyên đề môn Toán lớp 10 VnDoc com Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai Chuyên đề môn Toán lớp 10 Chuyên đề Các dạng phương trình quy về[.]
Các dạng phương trình quy phương trình bậc hai Chun đề mơn Tốn lớp 10 Chun đề: Các dạng phương trình quy phương trình bậc hai I Lý thuyết & Phương pháp giải II Ví dụ minh họa I Lý thuyết & Phương pháp giải Phương trıǹ h trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0, (a ≠0) (*) - Đặt t = x2 ≥ thı̀ (*) ⇔ at2 + bt + c = (**) - Để xác ̣nh số nghiệm của (*), ta dự a vào số nghiệm của (**) và dấ u của chúng, cụ thể : + Để (*) vô nghiệm ⇔ + Để (*) có nghiệm ⇔ + Để (*) có nghiệm phân biệt ⇔ + Để (*) có nghiệm ⇔ (**) có nghiệm nghiệm cịn lại dương + Để (*) có nghiệm ⇔ (**) có nghiệm dương phân biệt Mợt số dạng phương trıǹ h bậc bố n quy về bậc hai Loại ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = với e/a =(d/b)2 ≠0 Phương pháp giải: Chia hai vế cho x2 ≠0, rồ i đặt t = x + α/x ⇒ t2 = (x + α/x)2 với α = d/b Loại (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = e với a + c = b + d Phương pháp giải: [(x+a)(x+c)]⋅[(x+b)(x+d)] = e ⇔ [x2 + (a+c)x + ac]⋅[x2 + (b+d)x + bd] = e đặt t = x2 + (a+c)x Loại (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = ex2 với a.b = c.d Phương pháp giải: Đặt t = x2 + ab + ((a+b+c+d)/2)x thı̀ phương trıǹ h ⇔ (t + ((a+b-c-d)/2)x)(t - ((a+b-c-d)/2)x) = ex2 (có dạng đẳng cấp) Loại (x+a)4 + (x+b)4 = c Phương pháp giải: Đặt x = t-(a+b)/2 ⇒ (t + α)4 + (t - α)4 = c với α = (a-b)/2 Loại x4 = ax2 + bx + c (1) Phương pháp giải: Tạo dạng A2 = B2 bằ ng cách thêm hai vế cho một lượ ng 2k.x2 + k2, tức phương trıǹ h (1) tương đương: (x2)2 + 2kx2 + k2 = (2k+a)x2 + bx + c + k2 ⇔ (x2 + k)2 = (2k + a)x2 + bx + c + k2 Cầ n vế phải có dạng bıǹ h phương ⇒ Loại x4 + ax3 = bx2 + cx + d (2) Phương pháp giải: Tạo A2 = B2 bằ ng cách thêm ở vế phải biể u thức để tạo dạng bıǹ h phương: (x2 + (a/2)x + k)2 = x4 + ax3 + (2k + a2/4)x2 + kax + k2 Do đó ta sẽ cộng thêm hai vế của phương trıǹ h (2) một lượ ng: (2k + a2/4)x2 + kax + k2, phương trình (2)⇔ (x2 + (a/2)x + k)2 = (2k + (a2/4) + b)x2 + (ka + c)x + k2 + d Lúc này cầ n số k thỏa: Lưu ý: Với hỗ trợ casio, ta hồn tồn giải phương trình bậc bốn phương pháp tách nhân tử Tức sử dụng chức table casio để tìm nhân tử bậc hai, sau lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu bậc hai Khi bậc bốn viết lại thành tích bậc hai Phân tích phương trình bậc ba Sơ đồ Hoocner Khi gặp tốn chứa tham số phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau chia Hoocner Nguyên tắc nhẩm nghiệm: + Nếu tổng hệ số phương trình có nghiệm x = + Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ PT có nghiệm x = -1 + Nếu phương trình chứa tham số, ta chọn nghiệm x cho triệt tiêu tham số m thử lại tính sai Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo II Ví dụ minh họa Bài 1: Giải phương trình 2x4 - 5x3 + 6x2 - 5x + = Hướng dẫn: Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x2 ta được: 2(x2 + 1/x2) - 5(x + 1/x) + = Đặt t = x + 1/x, ⇒ x2 + 1/x2 = (x + 1/x)2 - = t2 - Ta có phương trình: 2(t2 - 2) - 5t + = ⇔ 2t2 - 5t + = ⇔ + t = 1/2 ⇒ x + 1/x = 1/2 ⇔ 2x2 - x + = (vô nghiệm) + t = ⇒ x + 1/x = ⇔ x2 - 2x + = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài 2: Giải phương trình x(x+1)(x+2)(x+3) = 24 Hướng dẫn: Phương trình tương đương với (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = 24 Đặt t = x2 + 3x, phương trình trở thành t(t+2) = 24 ⇔ t2 + 2t - 24 = ⇔ + t = -6 ⇒ x2 + 3x = -6 ⇔ x2 + 3x + = (Phương trình vơ nghiệm) + t = ⇒ x2 + 3x = ⇔ x2 + 3x - = ⇔ Vậy phương trình có nghiệm x = -4 x = Bài 3: Giải phương trình 4(x+5)(x+6)(x+10)(x+12) = 3x2 Hướng dẫn: Phương trình tương đương với 4(x2 + 17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2 (*) Ta thấy x = nghiệm phương trình Xét x ≠0, chia hai vế cho x2 ta có (*)⇔ 4(x + 17 + 60/x)(x + 16 + 60/x) = Đặt y = x + 16 + 60/x phương trình trở thành 4(y+1)y = ⇔ 4y2 + 4y - = ⇔ Với y = 1/2 ta có x + 16 + 60/x = 1/2 ⇔ 2x2 + 31x + 120 = ⇔ Với y = -3/2 ta có x + 16 + 60/x = -3/2 ⇔ 2x2 + 35x + 120 = ⇔ Vậy phương trình có nghiệm x = -8, x = -15/2 Bài 4: Giải phương trình (x+1)4 + (x+3)4 = Hướng dẫn: Đặt x = t - phương trình trở thành (t-1)4 + (t+1)4 = ⇔ t4 + 6t2 = ⇔ t2(t2 + 6) = ⇔ t = Suy x = -2 Vậy phương trình có nghiệm x = -2 Bài 5: Giải phương trình Hướng dẫn: Điều kiện: x ≠2; x ≠3 Đặt u = (x+1)/(x-2); v = (x-2)/(x-3) ta u2 + uv = 12v2 ⇔(u - 3v)(u + 4v) = ⇔ u = 3v; u = -4v +) u = 3v ⇔ (x+1)/(x-2) = 3(x-2)/(x-3) ⇔ x2 + 4x + = 3x2 - 12x + 12 ⇔2x2 - 16x + = ⇔ x = (8 ± √46)/2 +) u = -4v ⇔ (x+1)/(x-2) = -4(x-2)/(x-3) ⇔ x2 + 4x + = -4x2 + 16x - 16 ⇔ 5x2 - 12x + 19 = 0(Vơ nghiệm) Vậy phương trình đãcho có hai nghiệm x = (8 ± √46)/2 Với nội dung Các dạng phương trình quy phương trình bậc hai xin giới thiệu tới bạn học sinh quý thầy cô nội dung cần nắm vững khái niệm, phương pháp giải dạng phương trình quy phương trình bậc hai ... Tức sử dụng chức table casio để tìm nhân tử bậc hai, sau lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu bậc hai Khi bậc bốn viết lại thành tích bậc hai Phân tích phương trình bậc ba Sơ đồ Hoocner... 5x2 - 12x + 19 = 0(Vơ nghiệm) Vậy phương trình đãcho có hai nghiệm x = (8 ± √46)/2 Với nội dung Các dạng phương trình quy phương trình bậc hai chúng tơi xin giới thiệu tới bạn học sinh quý thầy... phương trình 4(x+5)(x+6)(x +10) (x+12) = 3x2 Hướng dẫn: Phương trình tương đương với 4(x2 + 17x + 60)(x2 + 16x + 60) = 3x2 (*) Ta thấy x = nghiệm phương trình Xét x ≠0, chia hai vế cho x2 ta có (*)⇔