Microsoft PowerPoint Lecture 11 1 Signal & Systems Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester 02/09 10 Lecture 11 404001 Tín hiệu và hệ thống PhânPhân ttííchch ttíínn hihiệệuu liênliên ttụụcc ddùùngng b[.]
404001 - Tín hiệu hệ thống Lecture-11 Phân tích tín hiệ hiệu liên tục dùng biế biến đổi Laplace Biế Biến đổi Laplace tính chấ chất Hàm truyề truyền ñáp ứng hệ thố thống LTIC Sơ ñồ khố khối thự thực hiệ hệ thố thống Ứng dụng hồi tiế tiếp ñiề ñiều khiể khiển Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Laplace tính chất Biến đổi Laplace Biến đổi Laplace số tín hiệu thơng dụng Các tính chất biến đổi Laplace Tìm biến đổi Laplace thuận Tìm biến đổi Laplace ngược Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến ñổi Laplace Biến đổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng thành phần tần số phân tích hệ thống ñơn giản & trực quan miền tần số Biến đổi Fourier cơng cụ chủ yếu để phân tích TH & HT nhiều lĩnh vực (viễn thông, xử lý ảnh, …) Muốn áp dụng biến đổi Fourier tín hiệu phải suy giảm & HT với ñáp ứng xung h(t) phải ổn ñịnh ∫ ∞ −∞ | f (t ) | dt < ∞ & ∫ ∞ −∞ | h(t ) | dt < ∞ ðể phân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,…) hệ thống không ổn ñịnh dùng biến ñổ i Laplace (là dạng tổng quát biến ñổi Fourier) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến ñổi Laplace Xét tín hiệu f(t) hàm tăng theo thời gian tạo hàm mớ i φ(t) từ f(t) cho tồn biến ñổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R Biến đổi Fourier φ(t) tính sau: Φ ( ω ) = F [φ (t )] = ∫ ∞ −∞ f (t )e −σ t e − jωt dt = ∫ −∞ ðặt s=σ+jω: Φ (ω ) = ∫ ∞ −∞ ∞ f (t )e− (σ + jω ) t dt f (t )e − st dt = F ( s ) σt Tín hiệu f(t) tổng hợp sau: f (t ) = φ (t ).e ∞ ⇒ f (t ) = F −1[Φ (ω )].eσ t = 21π ∫ F ( s )e jωt d ω eσ t −∞ ⇒ f (t ) = 2π1 j ∫ σ + j∞ σ − j∞ F ( s )e st ds Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến ñổi Laplace f (t ) φ (t ) = f (t )e − σ t t t e jωt e(σ + jω ) t t t Chọn giá trị σ: tồn σ=σ0 cho φ(t) tồn Φ(ω)=F(s), với mọ i σ≥σ0 ñều làm tồn Φ(ω)=F(s) Lưu ý: s=σ+jω, nên : Trong mp phức cho tần số phức s có Re{s}≥σ0 gọi miền hội tụ (ROC – Region Of Convergence) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Laplace Ví dụ: tìm ROC để tồn F(s) tín hiệu f(t) sau: (a) f (t ) = e − at u (t ); a > (b) f (t ) = e − at u (−t ); a > (c) f (t ) = u (t ) Tóm lại ta có: ∞ F ( s) = ∫ f (t )e − st dt −∞ f (t ) = 2π1 j ∫ c+ j ∞ c− j ∞ Biến ñổ i Laplace thuận F (s)est ds Biến ñổ i Laplace ngược c ∈ ROC Two-side Ký hiệu biến ñổ i Laplace: F ( s ) = L[ f (t )] f (t ) = L-1[ F ( s)] Hoặc ñơn giản hơn: f (t ) ↔ F ( s ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến ñổi Laplace Biến ñổi Laplace bên: Ta thường quan tâm tới tín hiệu nhân & ứng dụng thường gặp biến ñổ i Laplace F ( s) = ∫ ∞ −∞ ∞ − st f (t )e − st dt ⇒ F ( s) = ∫0− f (t )e dt Biến ñổ i bên Giới hạn 0- : bao hàm xung ñơn vị gốc t=0 Biến ñổi Laplace bên trường hợp ñặc biệt bñ bên Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bð Laplace số tín hiệu thơng dụng Biến đổi Fourier trường hợp đặc biệt biến ñổi Laplace: F (ω ) = F ( s ) s = jω Trong đó: trục ảo jω miền hội tụ Thường gọi: ñáp ứng tần số Im Im Re Re ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bð Laplace số tín hiệu thơng dụng Biến ñổi Laplace δ(t): f (t ) = δ (t ) ⇒ F ( s ) = δ (t ) ↔ Vs δ (t ) ↔ Biến ñổi Laplace e-atu(t): ; ROC : Re{s} > −a s+a 1 e − at u (t ) ↔ Vs e− at u (t ) ↔ jω + a s+a f (t ) = e − at u (t ) ⇒ F ( s ) = Biến ñổi Laplace -e-atu(-t): f (t ) = −e − at u (−t ) ⇒ F ( s ) = −e− at u (−t ) ↔ ; ROC : Re{s} < −a s+a Vs None s+a Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Bð Laplace số tín hiệu thơng dụng Biến đổi Laplace u(t): f (t ) = u (t ) ⇒ F ( s ) = ; ROC : Re{s} > s 1 u (t ) ↔ Vs u (t ) ↔ πδ (ω ) + jω s Im Im Re Re ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Các tính chất biến đổi Laplace Tính chất tuyến tính: f1 (t ) ↔ F1 (s ) f (t ) ↔ F2 ( s ) ⇒ a1 f1(t ) + a2 f2 (t) ↔ a1F1(s) + a2 F2 (s) Ex : 2e − t u (t ) + e −2t u (t ) ↔ + ; ROC : Re{s} > −1 s +1 s + Dịch chuyển miền thời gian: f (t − t0 ) ↔ F(s)e−st0 f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ −3 s −5 s t −4 Ex : rect = u (t − 3) − u (t − 5) ↔ ( e − e ) s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Các tính chất biến ñổi Laplace Dịch chuyển miền tần số: f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ f (t )es0t ↔ F(s − s0 ) Ex : cos ( bt ) u (t ) ↔ s s+a ⇒ e − at cos ( bt ) u (t ) ↔ s + b2 ( s + a) + b 2 ðạo hàm miền thời gian: f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ d n f (t ) ↔ s n F ( s ) − s n −1 f (0 − ) − s n − f n dt (1) (0 − ) − − f ( n −1) (0 − ) δ (t ) ↔ ⇒ δ (1) (t ) ↔ s ⇒ δ ( n ) (t ) ↔ s n d f (t ) t −4 f (t ) = rect ⇒ ↔? dt Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Các tính chất biến đổi Laplace Tích phân miền thời gian: f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ ∫ t ∫ t 0− ∫ f (τ )dτ ↔ f (τ )dτ ↔ 0− −∞ −∞ F(s) s f (τ )dτ F(s) + s s Thay ñổi thang ñộ (co/dãn): f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ s f (at) ↔ F ; a > a a Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Các tính chất biến đổi Laplace Tích chập miền thời gian: f1 (t ) ↔ F1 (s ); f (t ) ↔ F2 ( s ) ⇒ f1(t) ∗ f2 (t ) ↔ F1(s)F2 (s) Tích chập miền tần số: f1 (t ) ↔ F1 (s ); f (t ) ↔ F2 ( s ) ⇒ f1 (t ) f2 (t ) ↔ 2π j [ F1(s) ∗ F2 (s)] ðạo hàm miền tần số: f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ e − t u (t ) ↔ tf (t ) ↔ − dF(s) ds 1 ⇒ te − t u (t ) ↔ s +1 ( s + 1) t u (t ) ↔ ? Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Tìm biến đổi Laplace thuận Cần nắm vững biến đổ i Laplace tín hiệu u(t); δ(t) Hàm mũ Hàm điều hịa f (t ) F ( s) δ (t ) u (t ) 1/ s e − at u (t ) 1/( s + a ) cos(bt )u (t ) s /( s + b ) sin(bt )u (t ) b /( s + b ) Nắm vững tính chất biến đổ i Laplace mở rộng!!!! Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Tìm biến đổi Laplace ngược Cơng thức tính biến đổi ngược: f (t ) = ∫ c + j∞ c − j∞ F ( s )e st ds Chúng ta không tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!! Mơ tả F(s) hàm đơn giản mà có kết bảng cặp biến đổ i Laplace Thực tế ta quan tâm tới hàm hữu tỷ!!! Zero F(s): giá trị s ñể F(s)=0 Pole F(s): giá trị s ñể F(s)→∞ Nếu F(s)=P(s)/Q(s) Nghiệm P(s)=0 zero & nghiệm Q(s)=0 pole Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Tìm biến đổi Laplace ngược Ví dụ: s2 − 1 =− + + s + 3s + 2s s s +1 s + Dùng ? s2 − 1 ⇒ L-1 = L-1 − + + = ( −1 + e − t + e −2t ) u (t ) s s +1 s + 2 s + 3s + s Dùng bảng Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Tìm biến đổi Laplace ngược Xét hàm hữu tỷ sau: F ( s) = bm s m + bm−1s m−1 + + b1s + b0 P( s ) = s n + an−1s n−1 + + a1s + a0 Q( s ) m≥n: improper; m