Lecture 09 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

Ch-5: Lấy mẫu (Sampling) Lecture-9 5.1 Giới thiệu 5.2 Lý thuyết lấy mẫu 5.3 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) 5.4 Biến đổi Fourier nhanh (FFT) Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.1 Giới thiệu f(kTs) to DSP f(t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.1 Giới thiệu y(kTs) from DSP i0 y(t) Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.1 Giới thiệu Sample/hold Sample ∞ p(t) = ∑ δ(t − kT ) Hold s k =−∞ f(kTs) f(kTs) Chu kỳ lấy mẫu Ts hay tần số lấy mẫu ωs=2π/Ts , Fs=1/Ts phải thỏa ĐK nào? Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.2 Lý thuyết lấy mẫu
Xét tín hiệu cần lấy mẫu f(t) với băng tần hữu hạn B Hz
Tín hiệu f(t) lấy mẫu cách nhân với chuỗi xung đơn vị ∞ ∞ f (t)=f(t) ∑ δ(t − nTs ) f (t)=f(t)p(t) f (t) = n =−∞ ∑ f(nT )δ(t − nT ) s s n =−∞ ∞ p(t) = ∑ δ(t − kT ) s k =−∞ Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.2 Lý thuyết lấy mẫu
Phổ tín hiệu lấy mẫu f(t) ↔ F(ω) p(t) ↔ P(ω) = − − f (t) ↔ F(ω)= 2π ∞ ∑ δ(ω − nωs ); Fs =1/Ts , ωs =2πFs Ts n =−∞ 1 [F(ω) ∗ P(ω)] = 2π Ts ∞ ∑ F(ω − nω ) s n =−∞ Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.2 Lý thuyết lấy mẫu
Khơi phục tín hiệu - Định lý lấy mẫu: ĐL Nyquist, ĐL Shannon Low-pass Filter ωs ≥ 4πB Fs ≥ 2B; Fs =2B Nyquist rate Tín hiệu có phổ giới hạn B Hz khơi phục xác từ mẫu có lấy mẫu đặn với tốc độ Fs≥2B mẫu/s Nói cách khác tần số lấy mẫu nhỏ Fs=2B Hz Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.2 Lý thuyết lấy mẫu
Lấy mẫu với giữ mẫu bậc không: ∞ p(t) = ∑ δ(t − kT ) s k =−∞ Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.2 Lý thuyết lấy mẫu
Phổ tín hiệu lấy giữ mẫu: | F(ω) | Low-pass Filter
Khơi phục tín hiệu từ tín hiệu lấy giữ mẫu: Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.2 Lý thuyết lấy mẫu
Lưu ý lấy mẫu thực tế:  Tín hiệu có băng tần hữu hạn: cần lấy mẫu với tốc độ lớn tốc độ Nyquist Ideal Filter Practical Filter Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.2 Lý thuyết lấy mẫu  Tín hiệu thực tế thường có băng tần vơ hạn: giới hạn băng tần lọc chống chồng lấn phổ Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.2 Lý thuyết lấy mẫu  Tín hiệu thực tế thường có băng tần vô hạn: giới hạn băng tần lọc chống chồng lấn phổ Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.3 Biến đổi Fourier rời rạc DFT
Mục đích: thiết lập mối quan hệ mẫu miền thời gian với mẫu miền tần số f(t)= ∞ F(ω)e jωt dω ∫ −∞ 2π ∞ F(ω)=∫ f(t)e−jωtdt −∞ Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.3 Biến đổi Fourier rời rạc DFT
Xét tín hiệu f(t) lấy mẫu với chu kỳ Ts
Xét tín hiệu tuần hồn fT0(t) lập lại T0f(t) với chu kỳ T0: Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.3 Biến đổi Fourier rời rạc DFT
Lấy mẫu phổ tín hiệu lấy mẫu với chu kỳ ω0 N0 mẫu N0 mẫu N0 =T0 /Ts = ωs /ω0 Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.3 Biến đổi Fourier rời rạc DFT
Biến đổi DFT thuận:  Do f(t) tồn từ đến T0 (tương ứng với N0 mẫu): _ N −1 f (t)= ∑ f(kTs )δ(t − kTs ) _ N −1 F(ω)= ∑ f(kTs )e − jωkTs k=0 k=0  Mặt khác đoạn -ωs/2 đến ωs/2 (tương ứng với N0 mẫu): _ F(ω) = F(ω) Ts _ N −1 F(rω0 )=Ts F(rω0 )=Ts ∑ f(kTs )e − jrω0kTs k=0  Đặt Ω0=ω0Ts=2π/N0; Fr=F(rω0): mẫu thứ r F(ω); fk=Tsf(kTs): mẫu thứ k f(t); ta có: Fr = N −1 ∑ f k e− jrΩ k (Biến đổi DFT thuận) k=0 Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.3 Biến đổi Fourier rời rạc DFT
Biến đổi DFT ngược: nhân DFT thuận với e jmΩ0r sau lấy tổng: N −1 ∑ Fr e jmΩ0 r = N −1  N −1 r=0 ∑ r=0 N −1 ∑ Fr e jmΩ0 r r=0  ∑ fke  k=0 − jrΩ k  jmΩ r e  N −1  N −1 j(m−k)Ω r  = ∑ fk  ∑ e   r=0  k=0 N −1 0; k ≠ m  0f k = N 0f m ;k = m ∑ Fr e jmΩ r =  N r=0 fk = N0 N −1 ∑ Fr e jrΩ k (Biến đổi DFT ngược) r=0 Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.4 Biến đổi Fourier nhanh FFT Đưa Turkey and Cooley năm 1965, N0 phải lũy thừa Giảm khối lượng tính tốn: N 02 → N log N fk = N0 N −1 ∑ Fr e jrΩ0 k Fr = r =0 N −1 ∑ Nhân: N0 Cộng: N0-1 f k e − jrΩ0k k =0 Tổng cộng cho hệ số: N0N0 phép nhân N0(N0-1) phép cộng − j 2π / N )
Đặt: WN = e ( = e − jΩ0
Các biểu thức DFT viết lại: N −1 Fr = ∑ k =0 f kWNkr0 fk = N0 N −1 ∑ FrWN−kr r =0 Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.4 Biến đổi Fourier nhanh FFT
Chia fk thành chuỗi: chẵn lẻ theo số thứ tự: f , f , f , , f N −2 f1 , f , f5 , , f N −1
  
   sequence g k sequence h k Biểu thức DFT viết lại: N0 Fr = −1 ∑ k =0 f kWN20kr N0 −1 ∑ + k =0 f k +1WN(2 k +1) r Ta có: W N0 = WN2 N0 −1 ∑ ⇒ Fr = kr f kW N k =0 + WNr N0 −1 ∑ k =0 f k +1W Nkr0 = G + W r H r N0 r Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.4 Biến đổi Fourier nhanh FFT ⇒ Fr = N0 −1 ∑ k =0 kr f kW N + WNr N0 −1 ∑ k =0 f k +1W Nkr0 ⇒ Fr = Gr + WNr H r (0 ≤ r ≤ N − 1)
Do Gr Hr DFT N0/2 điểm nên có tính tuần hồn: Gr + N0 = Gr & H r + N0 = H r Mặt khác: N0 WNr + 2 N0 = WN WNr 0 =e − jπ WNr = −WNr N0 ⇒ Fr + N0 = Gr + N0 + WNr + H r + N0 ⇒ Fr + N0 = Gr − WNr H r 2 0 Fr = Gr + WNr H r ; ≤ r ≤ Fr + N0 = Gr − WNr H r ; N0 0≤r≤ −1 N0 ⇔ −1
Áp dụng tính DFT N0=8 điểm: Signals & Systems – FEEE, HCMUT 10 5.4 Biến đổi Fourier nhanh FFT Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.4 Biến đổi Fourier nhanh FFT Signals & Systems – FEEE, HCMUT 11 5.4 Biến đổi Fourier nhanh FFT Signals & Systems – FEEE, HCMUT 5.4 Biến đổi Fourier nhanh FFT Fr = Gr + WNr H r ; ≤ r ≤ Fr + N0 = Gr − WNr H r ; N0 0≤r≤ −1 N0 ⇔ −1
Số phép tốn nhân cộng dùng để tính DFT dùng giải thuật FFT:  Số phép toán nhân: N log N  Số phép toán cộng: N log N Signals & Systems – FEEE, HCMUT 12