Microsoft PowerPoint Lecture 09 ppt 1 Signal & Systems Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester 02/09 10 Lecture 9 404001 Tín hiệu và hệ thống BiBiếếnn đđổổii FourierFourier �� BiBiểểuu didiễễnn TH TH[.]
404001 - Tín hiệu hệ thống Lecture-9 Biế Biến đổi Fourier Biể Biểu diễ diễn TH không tuầ tuần hồ hồn tích phân Fourier Biế Biến đổi Fourier số hàm thông dụng Các tính chấ chất biế biến đổi Fourier Năng lượ lượng tín hiệ hiệu Truyề Truyền tín hiệ hiệu qua hệ thố thống LTIC Các lọc lý tưở tưởng thự thực tế Ứng dụng viễ viễn thông: thông: điề điều chế chế AM Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn tích phân Fourier Tín hiệu khơng tuần hồn xem tín hiệu tuần hồn có chu kỳ dài vơ hạn Xét f(t) biểu diễn cho tín hiệu khơng tuần hồn: f (t ) Xét fT0(t) biểu diễn cho tín hiệu tuần hồn lặp lại f(t) với chu kỳ T0: fT (t ) T0 Ta có quan hệ f(t) fT0(t) sau: f (t ) = lim fT0 (t ) T0 →∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn tích phân Fourier Biểu diễn fT0(t) dựa vào chuỗi Fourier fT (t ) T0 Dn = T0 / fT (t )e − jnω0t dt = ∫ − T / T0 T0 ∫ S −S e − jnω0t dt = T0 Dn sin nω0 S sin ω S = T0 nω0 T0 ω 2sin ω S ω = nω0 = n ω 2π T0 n ω ω0 = 2π /T0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn tích phân Fourier Gấp đơi chu kỳ tín hiệu gấp đơi số hài!!! fT (t ) T0 Dn = T0 / fT (t )e − jnω0t dt = ∫ − T / T0 T0 ∫ S −S e − jnω0t dt = T0 Dn sin nω0 S sin ω S = T0 nω0 T0 ω 2sin ω S ω ω = nω0 = n 2π T0 n ω0 = 2π /T0 ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn tích phân Fourier Khi T0∞, hài rời rạc hàm liên tục!!! fT0 (t ) Dn = T0 ∫ T0 / − T0 / T0 sin nω0 S sin ω S fT (t )e − jnω0t dt = ∫ e − jnω0t dt = = − S T0 T0 nω0 T0 ω T0 Dn 2sin ω S 2π ω = nω0 = n ω T0 S n ω ω0 = 2π /T0 T0 / ∞ 2sin ω S = F (ω ) lim [T0 Dn ] = lim ∫ fT0 (t )e − jnω0t dt = ∫ f (t )e− jωt dt = −T0 / T0 →∞ T0 →∞ −∞ ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn tích phân Fourier Khi T0∞, Chuỗi Fourier Tích phân Fourier fT (t ) T0 T0 Dn 2sin ω S ω ω = nω0 = n 2π T0 n ω ω0 = 2π /T0 T0 / ∞ 2sin ω S lim [T0 Dn ] = lim ∫ fT0 (t )e − jnω0t dt = ∫ f (t )e− jωt dt = = F (ω ) −T0 / T0 →∞ T0 →∞ −∞ ω ∞ F (nω0 ) jnω0t f (t ) = lim fT0 (t ) = lim ∑ e → f (t ) = T0 →∞ T0 →∞ 2π n=−∞ T0 ∫ ∞ −∞ F (ω )e jωt d ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biểu diễn tín hiệu khơng tuần hồn tích phân Fourier Vậy ta có kết quả: F (ω ) = ∫ ∞ Phương trình phân tích – Biến đổi Fourier thuận f (t )e − jωt dt −∞ f (t ) ↔ F (ω ) F(ω): Mật độ phổ tín hiệu – thường xem phổ tín hiệu f(t)!!! T0 Dn 2sin ω S 2π ω = nω0 = n ω T0 n ω ω0 = 2π /T0 f (t ) = 2π ∫ ∞ −∞ Phương trình tổng hợp – Biến đổi Fourier ngược F (ω )e jωt dω Điều kiện tồn tích phân Fourier: ∫ ∞ f (t ) dt < ∞ −∞ Điều kiện Dirichlet Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Fourier số tín hiệu thơng dụng f(t)=δ δ(t): +∞ +∞ F (ω ) = ∫ δ (t )e − jωt dt = ∫ δ (t )dt = ⇒ −∞ −∞ δ (t ) ↔ δ (t ) ↔ t ω f(t)=1: F (ω ) = 2πδ (ω ) ⇒ f (t ) = 2π ∫ +∞ −∞ 2πδ (ω )e jωt dω =1 ⇒ ↔ ↔ t 2πδ (ω ) 2πδ (ω ) ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Fourier số tín hiệu thơng dụng f(t)=e-atu(t); a>0: +∞ +∞ −∞ F (ω ) = ∫ e − at u (t )e − jωt dt = ∫ e − ( a + jω )t dt = − ⇒ e− ( a+ jω ) t a + jω +∞ = a + jω e−at u(t ); a > ↔ a + jω ⇒ F (ω ) = F (ω ) = a − jω a2 + ω ⇒ a + ω2 ∠F (ω ) = − tan −1 (ω / a ) ∠F (ω ) F (ω ) 1/ a π /2 ω −π / ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Fourier số tín hiệu thơng dụng f(t)=u(t): +∞ F (ω ) = ∫ u (t )e −∞ − jωt +∞ dt = ∫ e − jωt − jωt dt = − e jω +∞ =? u (t ) e − at u (t ) u (t ) = lim e − at u (t ) a →0 t +∞ ⇒ F (ω ) = lim ∫ e− at u (t )e − jωt dt = lim a →0 −∞ a + a +ω jω ⇒ F (ω ) = πδ (ω ) + jω ⇒ F (ω ) = lim a →0 a →0 a − jω = lim 2 a → a + jω a + ω Diện tích π u(t ) ↔ πδ (ω) + 1/ jω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Biến đổi Fourier số tín hiệu thơng dụng f(t) xung cổng đơn vị: r e ct ( τt ) = +∞ t >τ / t ↔ 1/(a + jω ) ⇒ 1/(a + jt ) ↔ 2π eaω u (−ω ); a > rect ( τt ) ↔ τ sin c ( ω2τ ⇒ ω0 ) ⇒ ω sin c (ω t ) ↔ π rect ( 2ωω ) sin c (ω t ) ↔ rect ( 2ωω0 ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Các tính chất biến đổi Fourier Thay đổi thang độ (đồng dạng): f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ f (at ); a real ↔ ? a > 0: ∫ ∫ +∞ −∞ +∞ a < 0: −∞ f (at )e− jωt dt = 1a ∫ +∞ −∞ −∞ f ( x)e f (at)e− jωt dt = 1a ∫ f ( x)e ⇒ +∞ −j −j ( ωa ) x ( ωa ) x dx = 1a F ( ωa ) dx = −1a F(ωa ) f (at ) = 1a F ( ωa ) Ví dụ: Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Các tính chất biến đổi Fourier f (at ) = 1a F ( ωa ) Đảo thời gian/tần số: f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ f (−t ) ↔ ? a = −1 ⇒ f (−t ) ↔ F (−ω) Ví dụ: e − at u (t ) ↔ 1/(a + jω ) ⇒ eat u (−t ) ↔ 1/(a − jω ) e −a t u (t ) ↔ ? −a t u (t ) = e − at u (t ) + e at u (−t ) ↔ e 1 2a + = a + jω a − jω a + ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Các tính chất biến đổi Fourier Tích chập miền thời gian: f1 (t ) ↔ F1 (ω ); f (t ) ↔ F2 (ω ) ⇒ f1 (t ) ∗ f (t ) ↔ ? ∫ +∞ +∞ f1 (t ) ∗ f (t )e − jωt dt = ∫ ∫ f1 (τ ) f (t − τ )dτ e− jωt dt −∞ −∞ +∞ −∞ =∫ +∞ −∞ +∞ +∞ − jωτ f1 (τ ) ∫ f (t − τ )e− jωt dt dτ = ∫−∞ f1 (τ ) F2 (ω )e dτ −∞ = F2 (ω ) ∫ +∞ −∞ ⇒ f1 (τ )e − jωτ dτ = F1 (ω ) F2 (ω ) f1(t) ∗ f2 (t) ↔ F1(ω)F2 (ω) Ví dụ: rect ( 2Tt ) ↔ T2 sin c ( ω4T ) rect ( 2Tt ) ∗ rect ( 2Tt ) = T2 Λ ( Tt ) ↔ T4 sin c ( ω4T ) ⇒ Λ ( Tt ) ↔ T sin c ( ω4T ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Các tính chất biến đổi Fourier Tích chập miền tần số: f1 (t ) ↔ F1 (ω ); f (t ) ↔ F2 (ω ) ⇒ ? ↔ F1 (ω ) ∗ F2 (ω ) 2π = ∫ 2π +∞ −∞ ∫ F1 (ω ) ∗ F2 (ω )e jωt dω = +∞ −∞ ∫ ∫ +∞ +∞ −∞ −∞ F1 (τ ) F2 (ω − τ )dτ e jωt d ω +∞ F1 (τ ) ∫ F2 (ω − τ )e jωt dω dτ = −∞ = f (t ) ∫ +∞ −∞ ⇒ 2π 2π ∫ +∞ −∞ +∞ F1 (τ )e jτ t ∫ F2 ( x)e jxt dx dτ −∞ F1 (τ )e jτ t dτ = 2π f (t ) f1 (t ) f1(t ) f2 (t ) ↔ 21π F1(ω) ∗ F2 (ω) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 Các tính chất biến đổi Fourier Đạo hàm miền thời gian: n df (t ) ↔ ? ⇒ d f n(t ) ↔ ? dt dt +∞ +∞ df ( t ) jωt jωt ∫−∞ F (ω )e dω ⇒ dt = ( jω ) 21π ∫−∞ F (ω )e dω f (t ) ↔ F (ω ) f (t ) = ⇒ ⇒ 2π ⇒ df (t ) ↔ ( jω ) F (ω )? dt d n f (t ) ↔ ( jω ) n F (ω ) n dt Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 10 Các tính chất biến đổi Fourier Tích phân trong miền thời gian: f (t ) ↔ F (ω ) ⇒ ∫ t −∞ f (t ) ∗ u (t ) = ∫ +∞ −∞ f (τ )dτ ↔ ? f (t )u (t − τ )dτ = ∫ t −∞ f (t )dτ u ( t ) ↔ π δ (ω ) + / jω f (t ) ∗ u (t ) = F (ω ) [πδ (ω ) + 1/ jω ] = π F (0)δ (ω ) + F (ω ) / jω ⇒ ∫ t −∞ f (τ )dτ ↔ π F (0)δ (ω) + F (ω) / jω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10 11