Giải bài tập toán 9 trang 128 tập 1 Bài 41 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1) Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến[.]
Giải tập toán trang 128 tập Bài 41 (trang 128 SGK Toán Tập 1) Cho đường trịn (O) có đường kính BC, dây AD vng góc với BC H Gọi E, F theo thứ tự chân đường vng góc kẻ từ H đến AB, AC Gọi (I), (K) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF a) Hãy xác định vị trí tương đối đường trịn: (I) (O), (K) (O), (I) (K) b) Tứ giác AEHF hình gì? Vì sao? c) Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC d) Chứng minh EF tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) (K) e) Xác định vị trí điểm H để EF có độ dài lớn Gợi ý đáp án Vẽ hình minh họa a) IO = OB – IB => (I) tiếp xúc với (O) OK = OC – KC => (K) tiếp xúc với (O) IK = OH + KH => (I) tiếp xúc với (K) b) Tứ giácAEHF có nên hình chữ nhật c) ΔAHB vuông nên AE.AB = AH2 ΔAHC vuông nên AF.AC = AH2 Suy AE.AB = AF.AC d) Gọi G giao điểm AH EF Tứ giác AEHF hình chữ nhật => AH = EF Ta có GE = GH ⇒ Tam giác GEH cân ⇒ Lại có tam giác IHE cân Suy góc E2 = góc H2 Do EF tiếp tuyến đường tròn (I) Tương tự, EF tiếp tuyến đường trịn (K) e) - Cách 1: Ta có: EF = AH ≤ OA (OA có độ dài khơng đổi) Do EF lớn AH = OA H trùng O hay dây AD qua O Vậy dây AD vng góc với BC O EF có độ dài lớn - Cách 2: EF = AH = AD/2 Do EF lớn AD lớn Khi đó, dây AD đường kính Vậy dây AD vng góc với BC O EF có độ dài lớn Bài 42 (trang 128 SGK Toán Tập 1) Cho hai đường trịn (O) (O') tiếp xúc ngồi A, BC tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O') Tiếp tuyến chung A cắt BC điểm M Gọi E giao điểm OM AB, F giao điểm O'M AC Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEMF hình chữ nhật b) ME.MO = MF.MO' c) OO' tiếp tuyến đường trịn có đường kính BC d) BC tiếp tuyến đường trịn có đường kính OO' Gợi ý đáp án Vẽ hình minh họa: a) MA MB tiếp tuyến (O) (gt) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: MA = MB MO tia phân giác góc AMB ΔAMB cân M (MA = MB) mà có MO đường phân giác nên đồng thời đường cao => MO ⊥ AB hay ∠MEA = 90o Tương tự ta có MO' tia phân giác góc AMC ∠MFA = 90o MO, MO' tia phân giác hai góc kề bù ∠AMB ∠AMC nên ∠EMF = 90o => Tứ giác AEMF hình chữ nhật (vì có ba góc vng) b) ME.MO = MA2 (hệ thức lượng ΔMAO vuông) MF.MO' = MA2 (hệ thức lượng ΔMAO' vuông) Suy ME.MO = MF.MO' c) Đường trịn có đường kính BC có tâm M, bán kính MA.OO' vng góc với MA A nên tiếp tuyến đường tròn (M) d) Gọi I trung điểm OO', I tâm đường tròn có đường kính OO', IM bán kính (vì MI trung tuyến ứng với cạnh huyền MOO' IM đường trung bình hình thang OBCO' nên IM // OB // O'C Do IM ⊥ BC BC vng góc với IM M nên BC tiếp tuyến đường tròn (I) Bài 43 (trang 128 SGK Tốn Tập 1) Cho hai đường trịn (O; R) (O'; r) cắt A B (R > r) Gọi I trung điểm OO' Kẻ đường thẳng vng góc với IA A, đường thẳng cắt đường tròn (O; R) (O'; r) theo thứ tự C D (khác A) a) Chứng minh AC = AD b) Gọi K điểm đối xứng với điểm A qua điểm I Chứng minh KB vng góc với AB Gợi ý đáp án Vẽ hình minh họa a) Kẻ OM ⊥ AD Theo tính chất đường kính vng góc với dây, ta có: MA = MC Tương tự, kẻ O'N ⊥ AD => NA = ND Mặt khác, ta có OM ⊥ CD, IA ⊥ CD, O’N ⊥ CD ⇒ OM // IA //O’N Vậy tứ giác OMNO' hình thang vng Ta cịn có: IO = IO' (gt) IA // OM Do IA đường trung bình hình thang OMNO' => AM = AN hay 2AM = 2AN Hay AC = CD (đpcm) b) Ta có OO' đường nối tâm (O) (O') nên OO' đường trung trực AB Suy IH ⊥ AB IA = IB Ta lại có IA = IK (do K điểm đối xứng A qua I) Nên IH đường trung bình tam giác AKB Suy IH // KB Mà IH ⊥ AB Suy KB ⊥ AB (đpcm)