50 D Ạ N G T O Á N P H Á T T R IỂ N Đ Ề M IN H H Ọ A L Ầ N 1 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARITPHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 DẠNG 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG[.]
47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN DẠNG 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định lý: Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục (a; b) ∀u; v ∈ (a; b) : f (u) = f (v) ⇔ u = v Phương trình f (x) = k(k = const) có nhiều nghiệm khoảng (a; b) Định lý: Nếu hàm số y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục (a; b), đồng thời lim f (x) · lim f (x) < phương trình f (x) = k(k = const) có nghiệm (a; b) + − x→a BÀI TẬP MẪU Ví dụ Có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn ≤ x ≤ 2020 log3 (3x + 3) + x = 2y + 9y ? A 2019 B C 2020 D Lời giải Phân tích hướng dẫn giải Phương pháp Tìm hàm đặc trưng tốn, đưa phương trình dạng f (u) = f (v) HƯỚNG GIẢI: B1: Đưa phương trình cho dạng f (u) = f (v) B2: Xét hàm số y = f (t) miền D * Tính y xét dấu y * Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f (t) D B3: Tìm mối liên hệ x; y tìm cặp số (x; y) kết luận Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐK: x > −1 Ta có log3 (3x + 3) + x = 2y + 9y ⇔ log3 (3x + 3) + 3log3 (3x+3) = 3(2y + 1) + 32y+1 (∗) 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN x→b 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Xét hàm số f (t) = 3t + 3t R, f (t) = + 3t · ln > 0, ∀t > nên hàm số f (t) đồng biến R Từ (∗) ⇔ f (log3 (3x + 3)) = f (2y + 1) ⇔ log3 (3x + 3) = 2y + Mặt ® khác ≤ x ≤ 2020 ⇔ log3 (3x + 3) ∈ [1; log3 (6063)] ⇒ 2y + ∈ [1; log3 (6063)] ≤ 2y + ≤ log3 (6063) y∈Z ⇔ ≤ y ≤ Vậy có cặp (x; y) thỏa mãn Chọn phương án D BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu Có giá trị nguyên tham số m ∈ [−2019; 2019] để phương trình: 2x − mx − 2m − + = có nghiệm thực phân biệt? x+1 x−2 A 4038 B 2019 C 2017 Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA 2019x + D 4039 Lời giải TXĐ: D = R \ {−1; 2} Ta có 2x − mx − 2m − + =0 x+1 x−2 2x − m(x − 2) − + =0 ⇔ 2019x + x+1 x−2 2x − 1 ⇔ 2019x + − = −m (∗) x+1 x−2 2019x + Đặt f (x) = 2019x + 2x − 1 − Khi f (x) = 2019x ln 2019 + + > 0∀x ∈ D x+1 x−2 (x + 1) (x − 2)2 Ta có bảng biến thiên x y0 −∞ −2 + +∞ + +∞ + +∞ +∞ y −∞ +∞ Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình (∗) có nghiệm thực phân biệt −m > ⇒ m < −2 Mà m ∈ [−2019; 2019] m ∈ Z nên có 2017 giá trị m thỏa mãn Chọn phương án C Å x ã −1 Câu Có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn ≤ y ≤ 2020 log3 = y +1−2x ? y A 2019 Lời giải B 11 C 2020 D 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Từ giả thiết ta có: y 6= x −1 > ⇔ 2x > ⇔ x > y y≥0 Ta có: PT ⇔ log3 − 1) + 2x − = log3 y + y(∗) Xét hàm số f (t) = log3 t + t (0; +∞) Khi f (t) = + > hàm số f (t) = log3 t + t đồng biến (0; +∞) t ln (*) có dạng f (2x − 1) = f (y) ⇔ y = 2x − Vì ≤ y ≤ 2020 ⇔ ≤ 2x − ≤ 2020 ⇔ ≤ 2x ≤ 2021 ⇔ ≤ x ≤ log2 (2021) ® ≤ x ≤ log2 (2021) ⇔ x ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Vậy có 11 cặp (x; y) thỏa mãn x∈Z (2x Chọn phương án B e3x+5y − ex+3y+1 = − 2x − 2y ⇔ e3x+5y + (3x + 5y) = ex+3y+1 + (x + 3y + 1) (1) Xét hàm số f (t) = et + t R Ta có f (t) = et + > nên hàm số đồng biến R Khi (1) ⇔ f (3x + 5y) = f (x + 3y + 1) ⇔ 3x + 5y = x + 3y + ⇔ 2y = − 2x Thế vào phương trình cịn lại ta log23 x − (m + 6) log3 x + m2 + = (2) Đặt t = log3 x Số nghiệm phương trình (2) số nghiệm phương trình t2 − (m + 6)t + m2 + = (3) Phương trình (3) có nghiệm ∆ ≥ ⇔ −3m2 + 12m ≥ ⇔ ≤ m ≤ Do có số nguyên m thỏa mãn Chọn phương án B Câu Có số nguyên m để phương trình log2 (2x + m) − log2 x = x2 − 4x − 2m − có hai nghiệm thực phân biệt? A B C D Lời giải ( x>0 Điều kiện x>− m Phương trình ⇔ log2 (2x + m) − log2 x = x2 − 2(x + 2m) − ⇔ log2 (2x + m) + 2(x + 2m) + = log2 x2 + x2 ⇔ log2 2(2x + m) + 2(x + 2m) = log2 x2 + x2 Xét f (u) = log2 u + u, (u > 0) f (u) = + > 0, hàm số đồng biến (0; +∞) u ln 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu Có giá trị nguyên tham số m để tồn cặp số (x; y) thỏa mãn e3x+5y − ex+3y+1 = − 2x − 2y , đồng thời thỏa mãn log23 (3x + 2y − 1) − (m + 6) log3 x + m2 + = 0? A B C D Lời giải Ta có 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN Khi (1) ⇔ f (2(2x + m)) = f (x2 ) ⇔ 2(2x + m) = x2 ⇔ x2 − 4x = 2m Xét hàm số g(x) = x2 − 4x, (x > 0) x g (x) +∞ − + +∞ g(x) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA −4 Phương trình có nghiệm dương −4 < 2m < ⇔ −2 < m < suy có giá trị nguyên Chọn phương án C Å ã 4x − 4x + Câu Biết x1 , x2 hai nghiệm phương trình log7 + 4x2 + = 6x x1 + 2x2 = 2x √ (a + b) với a, b hai số nguyên dương Tính a + b A a + b = 13 B a + b = 11 C a + b = 16 D a + b = 14 Lời giải Điều kiện: x > 0, x 6= Phương trình ⇔ log7 4x2 − 4x + + 4x2 − 4x + = log7 (2x) + 2x + > 0∀t > nên hàm số đồng biến (0; +∞) t ln √ 3± 2 Do ta có 4x − 4x + = 2x ⇔ 4x − 6x + = ⇔ x = Khi √ √ √ √ √ √ 3− 3+ 3+ 3− x1 + 2x2 = +2 = (9 + 5) x1 + 2x2 = +2 = (9 − 5) 4 √ 4 4 √ 3− 3+ Vậy x1 = ; x2 = Do a = 9; b = a + b = + = 14 4 Xét hàm số f (t) = log7 t + t có f (t) = Chọn phương án D Å√ ã √ √ x+1 x Câu Biết phương trình log5 = log3 − √ có nghiệm dạng x = a + b x 2 x a, b số nguyên Tính 2a + b A B C D Lời giải √ Å√ ã Å ã √ x+1 x x+1 x−1 √ Ta có log5 = log3 − √ ⇔ log5 = log3 (1) x ĐKXĐ: x > 2 x x x 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN √ √ (1) ⇔ log5 (2 x + 1) + log3 x = log5 x + log3 (x − 1)(∗) Xét hàm số f (t) = log5 t + log3 (t − 1), với t > 1 f (t) = + > với t > 1, suy f (t) đồng biến khoảng (1; +∞) t · ln (t − 1) ln √ √ √ √ √ √ Từ (*) ta có f (2 x + 1) = f (x) nên suy x + = x ⇔ ( x)2 − x − = ⇔ x = + (do x > 1) √ Suy x = + 2 ⇒ a = 3; b = ⇒ 2a + b = Chọn phương án B + x − 9x + 24x + m ·3 ⇔ 3x−3+ ⇔3 √ m−3x √ m−3x √ m−3x + x3 − 9x2 + 24x + m · D 38 =3 +1 + (x − 3)3 + 27 + m − 3x ·3x−3 = 3x + + (x − 3)3 + m − 3x + 27 = 33 + 33−x (1) (1) ⇔ 3b + 27 + b3 − a3 = 27 · +3a ⇔ 3b + b3 = 3a + a3 √ Đặt a = − x; b = m − 3x, phương trình (1) trở thành 3b + 27 + b3 − a3 = 27 · +3a ⇔ 3b + b3 = 3a + a3 Xét hàm số f (t) = 3t + t3 ⇒ f (t) = 3t√· ln + 3t2 ≥ 0, ∀t ∈ R (1) ⇔ f (a) = f (b) ⇔ a = b ⇔ − x = m − 3x ⇔ m = (3 − x)3 + 3x = −x3 + 9x2 − 24x + 27 g(x) = −x3 + 9x2 − 24x + 27 ⇒ g (x) = −3x2 + 18x − 24 g (x) = ⇔ x = ∨ x = Đồ thị: y 11 y=m O x Dựa vào đồ thị ta thấy điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt < m < 11 hay m ∈ {8; 9; 10} Chọn phương án C 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu Tìm tổng tất giá trị nguyên m để phương trình 3x−3+ 3x−3 = 3x + có nghiệm phân biệt A 45 B 34 C 27 Lời giải √ x−3 x−3+ m−3x x 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN √ Câu Tìm giá trị m để phương trình 3sin x+ cos x−|m|+5 = logsin x+√5 cos x+10 (|m| + 5) có nghiệm √ √ A ≤ m ≤ B −5 ≤ m ≤ √ √ √ C − ≤ |m| ≤ + D − ≤ m ≤ Lời giải Ta có √ 3sin x+ cos x−|m|+5 √ = logsin x+√5 cos x+10 (|m| + 5) 3sin x+ cos x+10 ln(|m| + 5) √ ⇔ = |m|+5 ln sin x + cos x + 10 ä Ä √ √ sin x+ cos x+10 ⇔ · ln sin x + cos x + 10 = 3|m|+5 · ln(|m| + 5) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA Xét f (t) = ln(t) · 3t , ∀t ≥ 5, f (t) = 3t + ln(t)3t ln(3) > 0, ∀t ≥ nên hàm số f (t) đồng biến t (5; +∞) Khi Ä ä √ (1) ⇔ f sin x + cos x + 10 = f (|m| + 5) √ ⇔ sin x + cos x + 10 = |m| + √ ⇔ sin x + cos x + = |m| √ √ Mà − ≤ sin x + cos x ≤ Chọn phương án C √ nên để phương trình có nghiệm ta phải có − Câu Số nghiệm thực phương trình 6x = log6 (5x + 1) + 2x + A B C Lời giải Điều kiện: x > − √ √ ≤ |m| ≤ + D PT: ⇔ 6x + 3x = log6 (5x + 1) + 5x + ⇔ 6x + 3x = 6log6 (5x+1) + log6 (5x + 1)(1) Xét hàm số f (t) = 6t + 3t, f (t) = 6t · ln + > 0, ∀t ∈ R nên f (t) đồng biến R Khi (1) ⇔ f (x) = f (log6 (5x + 1)) ⇔ x = log6 (5x+ 1) ⇔ log6 (5x + 1) − x = Xét hàm số h(x) = log6 (5x + 1) − x − ; +∞ , ta có − (5x + 1) ln 25 h0 (x) = − < 0, ∀x > − (5x + 1) ln h(x) = Bảng biến thiên: lim å h(x) = −∞; lim h(x) = −1 x→+∞ + x→ − Ç 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN − 15 x h0 (x) x0 + +∞ − h(x0 ) h(x) −∞ −1 Từ BBT suy phương trình h(x) = có nhiều nghiệm thuộc khoảng − ; +∞ Mà h(0) = 0, h(1) = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = Chọn phương án B ln A S = Lời giải Điều kiện x > − +3 6x + + 5x+1 + · 3x − 30x − 10 = C S = −1 B S = D S = 3 Phương trình tương đương ln (5x + 3x ) − ln(6x + 2) + (5x + 3x ) − 5(6x + 2) = ⇔ ln (5x + 3x ) + (5x + 3x ) = ln(6x + 2) + 5(6x + 2) (1) Xét hàm số f (t) = ln t + 5t, t > Có f (t) = + > 0, ∀t > nên f (t) đồng biến (0; +∞) t Từ (1) suy f (5x + 3x ) = f (6x + 2) ⇔ 5x + 3x = 6x + ⇔ 5x + 3x − 6x − = Xét g(x) = 5x + 3x − 6x − 2, g(x) = 5x ln + 3x ln − g (x) = 5x (ln 5)2 + 3x (ln 3)2 > 0, ∀x > − Nên g (x) = có khơng q nghiệm suy g(x) = có khơng q nghiệm − ; +∞ Mà g(0) = g(1) = Vậy phương trình có tập nghiệm {0, 1} Do S = Chọn phương án A √ √ x2 + 80 Câu 11 Số nghiệm phương trình ln = · 3x+1 − x2 + 80 + ln x A B C D Lời giải √ √ PT ⇔ ln x2 + 80 + x2 + 80 = ln 3x+1 + · 3x+1 (1) Xét hàm số f (t) = ln t + 2t, ∀t > 0; Ta có: f (t) = + > 0, ∀t > ⇒ Hàm số f (t) đồng biến t (0; +∞) √ √ Từ (1) suy f x2 + 80 = f 3x+1 ⇔ x2 + 80 = 3x+1 ⇔ x2 + 80 = 9x+1 ⇔ 9x+1 − x2 − 80 = Xét hàm số g(x) = 9x+1 − x2 − 80 R Ta có: 50 DẠNG TỐN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Câu 10 Tính tổng S tất nghiệm phương trình: ã Å x x 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN g(x) = · 9x+1 ln − 2x g (x) = · 9x+1 (ln 3)2 − g (x) = ⇔ x = x0 = − log9 ln2 − ⇒ g(x0 ) = g − log9 ln2 − ≈ 3, > lim g(x) = +∞; lim g(x) = +∞ x→−∞ x→+∞ Bảng biến thiên: x g 00 (x) Nhóm: PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA g (x) −log9 (2ln2 3) − − + +∞ +∞ +∞ g (x0 ) Dựa vào bảng biến thiên ta có g(x) > 0, ∀x ∈ R ⇒ hàm số g(x) đồng biến R ⇒ phương trình g(x) = có nhiều nghiệm Mà g(1) = Do phương trình cho có nghiệm Chọn phương án C Câu 12 Cho phương trình 2x + m = log2 (x − m) với m tham số Có giá trị nguyên m ∈ (−18; 18) để phương trình cho có hai nghiệm? A 20 B 17 C D 21 Lời giải Điều kiện x > m PT ⇔ 2x + x = x − m + log2 (x − m) ⇔ 2x + x = 2log5 (x−m) + log2 (x − m)(1) Xét hàm số f (t) = 2t + t, ∀t ∈ R; Ta có: f (t) = 2t ln2 + > 0, ∀t ∈ R ⇒ Hàm số f (t) đồng biến R Từ (1) suy f (x) = f (log2 (x − m)) ⇔ x = log2 (x − m) ⇔ x − m = 2x ⇔ m = x − 2x Xét hàm số g(x) = x − 2x (m; +∞) Ta có: g (x) = − 2x ln ⇔ 2x ln = ⇔ x = log2 (log2 e) ⇒ g (log2 (log2 e)) = log2 (log2 e) − log2 e lim g(x) = m − 2m ; lim g(x) = −∞ x→+∞ x→m+ Bảng biến thiên: x m g (x) g(x) + log2 (log2 e) +∞ − log2 (log2 e) − log2 e m − 2m −∞ Do Phương trình cho có nghiệm khi: m − 2m < m < log2 (log2 e) − log2 e ⇔ m < log2 (log2 e) − log2 e ≈ −0, 91 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH PHÁTMŨ TRIỂN VÀ LOGARIT ĐỀ MINH HỌA LẦN ® Vì m∈Z m ∈ (−18; 18) nên m ∈ {−17; −16; −15; ·; −1} Vậy có 17 giá trị m Chọn phương án B Câu 13 Cho phương trình −||m3 |−3m2 +1| · log81 Do phương trình tương đương với |m3 | − 3m2 + = |x3 | − 3x2 + (1) Vẽ đồ thị hàm số g(x) = x3 − 3x2 + từ suy đồ thị |g(x)| đồ thị |g(|x|)| hình vẽ y y = |g(|x|)| −2 O 2 −3 Từ đồ thị suy (1) có 6, 7, nghiệm ⇔ < |g(|m|)| < Từ đồ thị suy giá trị nguyên m −3, −1, 0, 1, Vậy S = 20 Chọn phương án A x 50 DẠNG TOÁN PHÁT TRIỂN ĐỀ MINH HỌA LẦN Gọi S tập hợp tất giá trị m ngun để phương trình cho có nghiệm nghiệm nghiệm phân biệt Tính tổng bình phương tất phần tử tập S A 20 B 19 C 14 D 28 Lời giải Ta có ã Å −||m3 |−3m2 +1| −||x3 |−3x2 +1|−2 =0 · log81 |x | − 3x + + + · log3 ||m3 | − 3m2 + 1| +