rút gọn căn thức

Các dạng toán rút gọn căn thức

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10

Chuyên đề: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ BÀI

TOÁN PHỤ

1, KIẾN THỨC 6, 7, 8 QUAN TRỌNG CẦN NHỚ.

a, Tính chất về phân số (phân thức): ( 0, 0)

= M ≠ B≠

B

A M B

M A

b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ:

+) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2

+) (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2

+) A 2 - B 2 = (A - B)(A + B)

+) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3

+) (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3

+) A 3 + B 3 =(A + B)(A 2 - AB + B 2 )

+) A 3 - B 3 =(A - B)(A 2 + AB + B 2 )

2, CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI

1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x ⇔ x2 = a

2)Để A có nghĩa thì A ≥ 0

3) A2 = A

4) AB = A B ( với A ≥ 0 và B ≥ 0 ) 5)

B

A B

A = ( với A ≥ 0 và B > 0 ) 6) A2B = A B (với B ≥ 0 ) 7) A B = A2B ( với A ≥ 0 và B ≥ 0 )

A B =− A2B ( với A < 0 và B ≥ 0 ) 9)

B

AB B

A = ( với AB ≥ 0 và B ≠ 0 )

10)

B

B A B

A = ( với B > 0 )

11) C C( A B2 )

A B

A B =

−

±

m ( Với A ≥ 0 và A ≠ B 2 )

12) C C( A B)

A B

−

±

m ( với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )

II CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN:

1 RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA BIẾN

1.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức A2 = A

*)Ví dụ 1: Rút gọn:

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10

a) (−3)2 + (−8)2 ; b) (3− 5)2

c) (1− 2)2 − (1+ 2)2 d) ( 5−3)2 + (2− 5)2

Giải:

a) ( 3)− 2 + −( 8)2 = − + − = + =3 8 3 8 11

(3− 5) = −3 5 = −3 5

c) (1− 2)2 − (1+ 2)2 = −1 2 − +1 2 = − +( 1 2) (− +1 2) = − +1 2 1− − 2= −2

d) ( 5 3)− 2 + (2− 5)2 = 5 3− + −2 5 = − 5 3 2+ − + 5 1=

*)Ví dụ 2: Rút gọn :

a) A= 4−2 3 b) B = 14+8 3.(2 2 − 6);

c) C = 7−4 3 + 7+4 3 d) D = 5−2 7−2 6

Giải:

a) A = 3−2 3+1= ( 3−1)2 = 3−1= 3−1

b) B = 14+8 3.(2 2 − 6)= 14+2 48(2 2− 6)=

) 6 8 (

6 6

8

2

= ( 8+ 6)2( 8− 6)=( 8+ 6)( 8− 6)=8−6=2

c) C = 7−4 3 + 7+4 3 = 7−2.2 3 + 7−2.2 3 = (2− 3)2 + (2+ 3)2

= 2- 3 + 2 + 3 = 4

d) D = 5−2 7−2 6

2

5 2 6 2 6 1 5 2 ( 6 1)

5 2( 6 1) 7 2 6

= − − = −

= ( 6−1)2 = 6−1

*)Ví dụ 3: Rút gọn A = 2− 3+ 2+ 3

Giải:

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10

4 2 3− + 4 2 3+ = 3 2 3 1− + + 3 2 3 1+ + = 3 1− + 3 1+

= 3 1− + 3 1+ = 3 1− + 3 1 2 3+ =

Suy ra A = 6

Cách 2: Ta có: A2 =2− 3+2 4−3+2+ 3 =6

Do A > 0 nên A = 6

*)Bài tập:

Bài 2: Tính: a) 8−2 7 b) 4− 7 − 4+ 7 c) 3− 5 + 3+ 5

Bài 3: Rút gọn A = 3− 1− 21−12 3

Bài 4: Rút gọn A = 6+2 3+2 2+2 6

1.2/ Rút gọn vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai:

*)Ví dụ 1:Tính

a) 14 56 b) 12

7

3 3 2

1

Giải:

a) 14 56 = 14.56 = 14.14.4 = 142.4 = 142. 4 =14.2=28

7

24 2

7 12 7

24 2

7 12 7

3 3 2

1

c) 4− 7 4+ 7 = (4− 7 4)( + 7) = 16 7− = 9 3=

*)Ví dụ 2: Rút gọn: ) 5 a + 20− 80 b) 3+ 12 3 2 24+

Giải:

) 5 20 80 5 2 5 4 5 (1 2 4) 5 5

) 3 12 3 2 24 3 2 3 3.2.2 3 (1 2 12) 3 15 3

a

b

+ − = + − = + − = −

*) Bài tập:

Bài 1 : Tính: a) 12 75 b)

25

36 25

24 1 9 7

2 c) 0,04.25; d) 90.6,4

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10

e) 9− 17 9+ 17

Bài 2: Rút gọn:

a) 12+5 3− 48 b) 5 5+ 20−3 45

c) 2 32+4 8−5 18 d) 3 12−4 27+5 48

e) 12+ 75− 27 f) 2 18−7 2+ 162

1.3/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu vận dụng trục căn thức ở mẫu bằng

phương pháp nhân liên hợp.

*)Ví dụ 1: Trục căn ở mẫu các biểu thức sau

a)

2 3

1

− b) 2 3

1

+ c) 1 2

1

− d) 1 3

1 3 1

1

+

−

Giải:

3 2

3 2 ( 3 2)( 3 2)

4 3

2 3

1 2

1 2

a

b

c

−

+

−

−

+

= = − +

−

−

d)

3 1

1 3

1

1

+

−

) 3 1 ( 3 1 3 1

3 1 3 1

3 1 ) 3 1 )(

3 1 (

3 1 )

3 1 )(

3 1 (

3 1

−

−

− +

=

−

−

−

−

+

=

− +

−

− +

− +

2

3 2 2

3 1 3

−

=

−

+

−

+

Giải:

7 5 3 2 7 5 3 2 7

5 3 2

25 18

5 3 2 (5 3 2) 5 3 2

−

11 2 3 1 11 2 3 1 11

2 3 1

12 1

2 3 1 (2 3 1) 2 3 1

−

*)Ví dụ 3: Rút gọn:

A =

2 3

3 2 : 4 3 5

2 3

5

2

−

+







+

−

−

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10

*)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau:

a) 1 3

2 3−

− b)

3 1− 3 1

− + c)

3 1 1− 3 1 1

+ − + +

1 2 − 2 3+ 3 4 − 4 5+ 5 6 − 6 7 + 7 8 − 8 9

1.4/

Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu nhờ phân tích thành nhân tử:

*) Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức:

a) 3 3

3 1

−

− b)

− − +

c) 2 3 3 2 3 3

 +   − 

 + ÷  − ÷

    d)

5 7 5 11 11

+ + +

+

Giải:

a) 3 3 3( 3 1)

3

−

b) 3 6 2 8 3 1( 2) (2 1 2)

3 2

c) 3 3 3 3 3( 3 1) 3( 3 1)

= +(2 3 2) ( − 3) = − =4 3 1

d) 5 7 5 11 11 5( 5 7) 11 11 1( )

5 7 11

*)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau:

a) 15 12

5 2

−

− b)

5 5 10

5 1 5

− −

−

c) 1 5 5 1 5 5

 +   − 

 + ÷  − ÷

    d)

2 3 2 5 5

− + +

+

2 RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA BIẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN PHU

2.1/ CÁC BƯỚC THỰC HIÊN PHẦN RÚT GỌN:

Bước  : Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán chưa cho)(Phân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều

kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia khác 0)

Bước  :Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được).

Bước  : Quy đồng, gồm các bước:

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10

+ Chọn mẫu chung : là tích củc nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất

+ Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng

+ Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung

Bước  : Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức.

Bước  : Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng.

Bước  : Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên).

Bước  : Rút gọn.

Lưu ý: Bài toán rút gọn tổng hợp thường có các bài toán phụ: tính giá trị biểu thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức Do vậy ta phải áp dụng các phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại toán.

2.2/ CÁC VÍ DỤ VỀ BÀI TẬP RÚT GỌN TỔNG HỢP:

*)Ví dụ 1: Cho biểu thức: a a a 2 a

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A

Bài giải: ĐKXĐ: 0

1 0

a a

≥



 − ≠

0 1

a a

≥



 ≠



Ta có:

a a a 2 a a ( a 1) a ( a 2)

= ( a + 1) : ( a − 1)

Vậy A = 1

1

a a

+

−

b) Tìm a để A = 5 (Dạng bài toán phụ thứ nhất).

Phương pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn được vào và giải phương trình:

1 5

1

a

a+ =

− ⇔ a+ =1 5( a− ⇔1) a+ =1 5 a− ⇔5 4 a =6

3 9

⇔ = ⇔ = (TMĐK)

Vậy với a = 9

4 thì A = 5.

c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2 (Dạng bài toán phụ thứ hai).

Phương pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn được rồi thực hiện các phép tính (Lưu

ý: Có thể tính giá trị a rồi thay vào).

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10

Ta có: a= +2 2 2 1 ( 2)+ = 2+2 2.1 1+ =2 ( 2 1)+ 2

Suy ra a = 2 1+ = 2 1+ Do đó thay vào biểu thức A ta được:

A = 2 1 1 2 2 1 2

2 1 1 2

+ + = + = + + −

d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ ba).

Phương pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ước của phần dư (một số), chú ý điều kiện xác

định

Ta có: A = 1

1

a a

+

− = 1 +

2 1

a−

Để A nguyên thì 2

1

a− nguyên, suy ra a−1 là ước của 2

1 1

0

1 1

4

1 2

a

a a

a

a

 − = −

− =

− =

 − = −



(TMĐK)

Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên

e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài toán phụ thứ tư).

Phương pháp: Chuyển vế và thu gọn đưa về dạng M

N < 0 (hoặc

M

N > 0) trong đó dựa vào điều kiện

ban đầu ta đã biết được M hoặc N dương hay âm, từ đó dễ dàng tìm được điều kiện của biến

1

1

a

a

+

− < 1 ⇔

1 1

a a

+

− - 1 < 0 ⇔

1

a

+ − +

− < 0 ⇔

2 1

a− < 0 ⇔ a−1 < 0 ⇔a <1 Kết hợp

điều kiện ban đầu, suy ra 0 ≤ a < 1

a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x≠1 Rút gọn

1

1 :

) ) 1 (

2 1

( 1

1 : )

2 1

(

−

−

+

−

=

−

−

+

−

=

x x

x x

x x

x x x

x

A

2

1

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toán phụ thứ năm).

Phương pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức.

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10

Ta có A= x 2 2

min

2

x

Vậy Amin = 2 2 ⇔ = x 2

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A

b)Tìm giá trị của x để A A >

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x ≠ 1

( x 12 x)( x 1x 1) x A x 12

+

⇒ =

−

x 1

−

( )

2

x 1

−

−

x 3 0

x 1 0



⇔ 

− >

 (vì x > 1)⇔ > x 9 Vậy x > 9 thì A A > .

*)Ví dụ 4: Cho biểu thức x 2 x 1

A

−

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của x thì A > A

Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x ≠ 1

A

x

−

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10

⇔ < ⇔ < Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A > A

*)Ví dụ 5:

Cho biểu thức: 1 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

b) Tìm x để P ( )2

5 2 6 + x 1 − = − x 2005 + 2 + 3.

Bài giải:

a) ĐKXĐ: x > 0; x ≠ 1:

1 P

x 1

⇔ =

−

P 5 2 6 + x 1 − = − x 2005 + 2 + 3

2

1

x 1

−

Vậy x = 2005 thì P ( )2

5 2 6 + x 1 − = − x 2005 + 2 + 3

2.3/ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A

b) Với giá trị nào của x thì A > 1

3

c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P = 5

4

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 12 1

P

x 1

+

=

−

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10

x 9

−

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức

b) Tìm x để D < -1

2

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm a ∈ Z để P nhận giá trị nguyên

Bài 5 Cho biểu thức B = 2 ( x 3 1 1 ) ( − 2 x 3 1 1 )

a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B

b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên

P

−

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

c) Tìm x để biểu thức 2 x

Q

P

= nhận giá trị nguyên

Bài 7 Cho biểu thức:

+

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P

b) Tìm giá trị của a để P > 0

Bài 9 (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012)

A

x 25

−

− + , với x ≥ 0 và x ≠ 25.

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm giá trị của A khi x = 9

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10

3) Tìm x để A < 1

3.

P

x 1

−

−

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm x để P <1

2.

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

   với a > 0 và a≠1.

a) Rút gọn biểu thức P

b) Với những giá trị nào của a thì P > 1

2.

Bài

13 Cho biểu thức : A = 2

1

−

−

− − với ( x > 0 và x ≠ 1)

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị của biểu thức khi x= +3 2 2

Bài

14 Cho biểu thức P =

x x

x x

x





+

1 1

a) Rút gọn P

b) Tính GT của P khi x= 4

c) Tìm GT của x để P =

3 13

(Đề thi Hà Nội năm 2008-2009)

Bài

15. Cho biểu thức : A = 1 2

+ − + +

1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A

2) Với giá trị nào của x thì A < -1

Bài

16 Cho biểu thức : A = (1 )(1 )

+ − (Với x≥0;x≠1)

a) Rút gọn A

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10

b) Tìm x để A = - 1

Bài

17 Cho biểu thức : B =

x

x x

x− −2 +2+1−

1 2

2 1

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B

b) Tính giá trị của B với x = 3

c) Tính giá trị của x để

2

1

=

A

Bài

18 Cho biểu thức : P =

x

x x

x x

x

−

+ + +

+

−

+

4

5 2 2

2 2 1

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P

b) Tìm x để P = 2

Bài

1

2 2

1 (

: )

1 1

1

−

+

−

−

+

−

a a

a a

a

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q

b) Tìm a để Q dương

c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4 5

Bài

20 Cho biểu thức : M =









−

+

− +

−









−

1 1

2

1

a a a

a a a a

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M

b) Tìm giá trị của a để M = - 4.