Các dạng toán rút gọn căn thức
CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10 Chuyên đề: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN PHỤ 1, KIẾN THỨC 6, 7, 8 QUAN TRỌNG CẦN NHỚ. a, Tính chất về phân số (phân thức): )0,0( . . ≠≠= BM B A MB MA b, Các hằng đẳng thức đáng nhớ: +) (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 +) (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 +) A 2 - B 2 = (A - B)(A + B) +) (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 +) (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 +) A 3 + B 3 =(A + B)(A 2 - AB + B 2 ) +) A 3 - B 3 =(A - B)(A 2 + AB + B 2 ) 2, CÁC KIẾN THỨC VỀ CĂN BẬC HAI 1) Nếu a ≥ 0, x ≥ 0, a = x ⇔ x 2 = a 2)Để A có nghĩa thì A ≥ 0 3) AA = 2 4) BAAB .= ( với A ≥ 0 và B ≥ 0 ) 5) B A B A = ( với A ≥ 0 và B > 0 ) 6) BABA = 2 (với B ≥ 0 ) 7) BABA 2 = ( với A ≥ 0 và B ≥ 0 ) BABA 2 −= ( với A < 0 và B ≥ 0 ) 9) B AB B A = ( với AB ≥ 0 và B ≠ 0 ) 10) B BA B A = ( với B > 0 ) 11) 2 ( )C C A B A B A B = − ± m ( Với A ≥ 0 và A ≠ B 2 ) 12) ( )C C A B A B A B = − ± m ( với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B ) II. CÁC BÀI TOÁN RÚT GỌN: 1. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC KHÔNG CHỨA BIẾN 1.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức AA = 2 *)Ví dụ 1: Rút gọn: GV: MAI VĂN DŨNG 1 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10 a) 22 )8()3( −+− ; b) 2 )53( − c) 22 )21()21( +−− d) 22 )52()35( −+− Giải: a) 2 2 ( 3) ( 8) 3 8 3 8 11− + − = − + − = + = b) 2 (3 5) 3 5 3 5− = − = − c) ( ) ( ) 2 2 (1 2) (1 2) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2− − + = − − + = − + − + = − + − − = − d) 2 2 ( 5 3) (2 5) 5 3 2 5 5 3 2 5 1− + − = − + − = − + − + = *)Ví dụ 2: Rút gọn : a) A= 324 − b) B = )622.(3814 −+ ; c) C = 347 − + 347 + d) D = 62725 −− Giải: a) A = 1313)13(1323 2 −=−=−=+− b) B = )622.(3814 −+ = )622(48214 −+ = )68.(66.828 −++ = 268)68)(68()68()68( 2 =−=−+=−+ c) C = 347 − + 347 + = 22 )32()32(32.2732.27 ++−=−+− = 2- 3 + 2 + 3 = 4 d) D = 62725 −− 2 5 2 6 2 6 1 5 2 ( 6 1) 5 2( 6 1) 7 2 6 = − − + = − − = − − = − = 16)16( 2 −=− *)Ví dụ 3: Rút gọn A = 3232 ++− Giải: GV: MAI VĂN DŨNG 2 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10 Cách1: 2 A = ( ) ( ) 2 2 4 2 3 4 2 3 3 2 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1− + + = − + + + + = − + + 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3= − + + = − + + = Suy ra A = 6 Cách 2: Ta có: A 2 = 63234232 =++−+− Do A > 0 nên A = 6 *)Bài tập: Bài 1: Tính: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ) 1 3 3 ) 2 3 1 3a b− − − + + Bài 2: Tính: 5353)7474)728) ++−+−−− cba Bài 3: Rút gọn A = 3122113 −−− Bài 4: Rút gọn A = 6222326 +++ 1.2/ Rút gọn vận dụng các quy tắc khai phương, nhân chia các căn bậc hai: *)Ví dụ 1:Tính a) 56.14 b) 12. 7 3 3. 2 1 3 c) 4 7 . 4 7− + Giải: a) 56.14 = 282.144.144.144.14.1456.14 22 ===== b) 121212. 7 24 . 2 7 12. 7 24 . 2 7 12. 7 3 3. 2 1 3 2 ==== c) ( ) ( ) 4 7 . 4 7 4 7 4 7 16 7 9 3− + = − + = − = = *)Ví dụ 2: Rút gọn: ) 5 20 80 ) 3 12 3 2. 24a b+ − + + Giải: ) 5 20 80 5 2 5 4 5 (1 2 4) 5 5 ) 3 12 3 2. 24 3 2 3 3.2.2. 3 (1 2 12) 3 15 3 a b + − = + − = + − = − + + = + + = + + = *) Bài tập: Bài 1 : Tính: a) 75.12 b) 25 36 . 25 24 1. 9 7 2 c) 4,6.90);25.04,0 d GV: MAI VĂN DŨNG 3 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10 e) 9 17. 9 17− + Bài 2: Rút gọn: a) 483512 −+ b) 4532055 −+ c) 18584322 −+ d) 485274123 +− e) 277512 −+ f) 16227182 +− 1.3/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu vận dụng trục căn thức ở mẫu bằng phương pháp nhân liên hợp. *)Ví dụ 1: Trục căn ở mẫu các biểu thức sau a) 23 1 − b) 32 1 + c) 21 1 − d) 31 1 31 1 + − − Giải: 1 3 2 3 2 ) 1; 3 2 3 2 ( 3 2)( 3 2) 1 2 3 ) 2 3 4 3 2 3 1 1 2 ) (1 2) 1 2 1 2 a b c + + = = = − − − + + = = + − − + = = − + − − d) 31 1 31 1 + − − = 2 )31(31 31 31 31 31 )31)(31( 31 )31)(31( 31 − −−+ = − − − − + = −+ − − +− + = 3 2 32 2 3131 −= − = − +−+ *)Ví dụ 2: Trục căn ở mẫu: a) 7 11 ) 5 3 2 2 3 1 b − + Giải: a) ( ) ( ) ( ) 7 5 3 2 7 5 3 2 7 5 3 2 25 18 5 3 2 (5 3 2) 5 3 2 + + = = = + − − − + b) ( ) ( ) ( ) 11 2 3 1 11 2 3 1 11 2 3 1 12 1 2 3 1 (2 3 1) 2 3 1 − − = = = − − + + − *)Ví dụ 3: Rút gọn: A = 23 32 :4 35 2 35 2 − + − + − − GV: MAI VĂN DŨNG 4 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10 *)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau: a) 1 3 2 3 − − b) 2 2 3 1 3 1 − − + c) 3 3 3 1 1 3 1 1 − + − + + d) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 − + − + − + − − − − − − − − − 1.4/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu nhờ phân tích thành nhân tử: *) Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức: a) 3 3 3 1 − − b) 3 6 2 8 1 2 1 2 − + − − + c) 3 3 3 3 2 . 2 3 1 3 1 + − + − ÷ ÷ ÷ ÷ + − d) 5 7 5 11 11 5 1 11 + + + + Giải: a) ( ) 3 3 1 3 3 3 3 1 3 1 − − = = − − b) ( ) ( ) 3 1 2 2 1 2 3 6 2 8 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 − + − + − = − = − − + − + c) ( ) ( ) 3 3 1 3 3 1 3 3 3 3 2 . 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 + − + − ÷ ÷ + − = + − ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ + − + − ( ) ( ) 2 3 . 2 3 4 3 1= + − = − = d) ( ) ( ) 5 5 7 11 11 1 5 7 5 11 11 5 7 11 5 1 11 5 11 1 + + + + + = + = + + + + *)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau: a) 15 12 5 2 − − b) 5 5 10 5 1 5 − − − c) 5 5 5 5 1 . 1 5 1 5 1 + − + − ÷ ÷ ÷ ÷ + − d) 2 3 2 5 5 2 1 5 − + + + 2. RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC CHỨA BIẾN VÀ CÁC BÀI TOÁN PHU 2.1/ CÁC BƯỚC THỰC HIÊN PHẦN RÚT GỌN : Bước : Tìm ĐKXĐ của biểu thức (Nếu bài toán chưa cho)(Phân tích mẫu thành nhân tử, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu khác 0 và phần chia khác 0) Bước :Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (rồi rút gọn nếu được). Bước : Quy đồng, gồm các bước: GV: MAI VĂN DŨNG 5 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10 + Chọn mẫu chung : là tích củc nhân tử chung và riêng, mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất. + Tìm nhân tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nhân tử phụ tương ứng. + Nhân nhân tử phụ với tử – Giữ nguyên mẫu chung. Bước : Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức. Bước : Thu gọn: là cộng trừ các hạng tử đồng dạng. Bước : Phân tích tử thành nhân tử (mẫu giữ nguyên). Bước : Rút gọn. Lưu ý: Bài toán rút gọn tổng hợp thường có các bài toán phụ: tính giá trị biểu thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức Do vậy ta phải áp dụng các phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại toán. 2.2/ CÁC VÍ DỤ VỀ BÀI TẬP RÚT GỌN TỔNG HỢP: *)Ví dụ 1: Cho biểu thức: a a a 2 a A 1 : 1 a 1 a 2 − + = + − ÷ ÷ − + a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A Bài giải: ĐKXĐ: 0 1 0 a a ≥ − ≠ ⇔ 0 1 a a ≥ ≠ Ta có: a a a 2 a a( a 1) a ( a 2) A 1 : 1 1 : 1 a 1 a 2 a 1 a 2 − + − + = + − = + − ÷ ÷ − + − + ( 1) : ( 1)a a = + − Vậy A = 1 1 a a + − b) Tìm a để A = 5 (Dạng bài toán phụ thứ nhất). Phương pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn được vào và giải phương trình: 1 5 1 a a + = − 1 5( 1) 1 5 5 4 6a a a a a⇔ + = − ⇔ + = − ⇔ = 3 9 2 4 a a⇔ = ⇔ = (TMĐK) Vậy với a = 9 4 thì A = 5. c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2 (Dạng bài toán phụ thứ hai). Phương pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn được rồi thực hiện các phép tính (Lưu ý: Có thể tính giá trị a rồi thay vào). GV: MAI VĂN DŨNG 6 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10 Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 ( 2) 2. 2.1 1 ( 2 1)a = + + = + + = + Suy ra 2 1 2 1a = + = + . Do đó thay vào biểu thức A ta được: A = 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 + + + = = + + − d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ ba). Phương pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ước của phần dư (một số), chú ý điều kiện xác định. Ta có: A = 1 1 a a + − = 1 + 2 1a − Để A nguyên thì 2 1a − nguyên, suy ra 1a − là ước của 2 1 1 0 1 1 4 1 2 9 1 2 a a a a a a a − = − = − = ⇔ = − = = − = − (TMĐK). Vậy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên. e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài toán phụ thứ tư). Phương pháp: Chuyển vế và thu gọn đưa về dạng M N < 0 (hoặc M N > 0) trong đó dựa vào điều kiện ban đầu ta đã biết được M hoặc N dương hay âm, từ đó dễ dàng tìm được điều kiện của biến. 1 1 a a + − < 1 ⇔ 1 1 a a + − - 1 < 0 ⇔ 1 1 1 a a a + − + − < 0 ⇔ 2 1a − < 0 ⇔ 1a − < 0 ⇔ a <1. Kết hợp điều kiện ban đầu, suy ra 0 ≤ a < 1. *)Ví dụ 2: Cho biểu thức x 2 1 A ( ): x 1 x x x 1 = + − − − a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x ≠ 1. Rút gọn 1 1 :) )1( 2 1 ( 1 1 :) 2 1 ( −− + − = −− + − = xxxx x xxxx x A 2 ( x) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2 A . 1 x( x 1) x( x 1) x + − + − + = = = − − b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toán phụ thứ năm). Phương pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức. GV: MAI VĂN DŨNG 7 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10 Ta có A= x 2 2 x 2 2 x x + = + ≥ (BĐT Côsi cho hai số dương) min 2 A 2 2 x x 2 x ⇒ = ⇔ = ⇔ = (TMĐK) Vậy A min = 2 2 x 2⇔ = . *)Ví dụ 3: Cho biểu thức 1 1 1 A . 1 x 1 x 1 x = + + ÷ ÷ − + a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A. b)Tìm giá trị của x để A A.> Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1≠ . ( ) ( ) 1 1 1 x 1 x 1 x 1 A . 1 . x 1 x 1 x x x 1 x 1 + + − + = + + = ÷ ÷ − + − + = ( ) ( ) ( ) 2 x x 1 2 A x 1 x 1 x 1 x + ⇒ = − − + b) 2 A A 0 A 1 0 1. x 1 > ⇔ < < ⇔ < < − ( ) 2 )0 x 1 0 x 1 1 x 1 2 2 x 3 ) 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 + < ⇔ − > ⇔ > − − + < ⇔ − > ⇔ > − − − x 3 0 x 1 0 − > ⇔ − > (vì x > 1) x 9⇔ > . Vậy x > 9 thì A A> . *)Ví dụ 4: Cho biểu thức x 2 x 1 A x 1 x x − = − − − a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của x thì A A> Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1≠ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 A x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 − + − − − = − = = = − − − − b) x 1 A A A 0 0 x 1 0 x − > ⇔ < ⇔ < ⇔ − < (vì x 0> ) GV: MAI VĂN DŨNG 8 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10 x 1 x 1⇔ < ⇔ < . Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A A> . *)Ví dụ 5: Cho biểu thức: 1 1 P 1 . x 1 x x = + ÷ − − a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P. ( ) 2 5 2 6. x 1 x 2005 2 3.+ − = − + + Bài giải: a) ĐKXĐ: x > 0; x 1≠ : ( ) 1 1 x 1 P 1 . x 1 x x x 1 x x 1 ÷ = + = − ÷ ÷ − − − − ( ) 2 1 P x 1 ⇔ = − b) ( ) 2 P. 5 2 6. x 1 x 2005 2 3+ − = − + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 . 2 3 . x 1 x 2005 2 3 x 1 ⇔ + − = − + + − 2 3 x 2005 2 3⇔ + = − + + x 2005⇔ = (TMĐK) Vậy x = 2005 thì P. ( ) 2 5 2 6 x 1 x 2005 2 3+ − = − + + 2.3/ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 1: Cho biểu thức 1 1 3 A : x 3 x 3 x 3 = − ÷ − + − a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của x thì A > 1 3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất. Bài 2. Cho biểu thức 3 1 1 P : 1 x x 1 x 1 = + ÷ − + + a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P = 5 4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 12 1 . P x 1 + = − GV: MAI VĂN DŨNG 9 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI - ÔN THI TS 10 Bài 3. Cho biểu thức: 2 x x 3x 3 2 x 2 D 1 x 9 x 3 x 3 x 3 + − = + − − ÷ ÷ − + − − a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức b) Tìm x để D < - 1 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D Bài 4. Cho biểu thức: a 2 a a a P 1 : 1 a 2 a 1 + − = − + ÷ ÷ + − a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm a Z∈ để P nhận giá trị nguyên. Bài 5. Cho biểu thức ( ) ( ) 1 1 B 2 x 3 1 2 x 3 1 = − + − + + a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B. b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên. Bài 6. Cho biểu thức ( ) 2 2 x 1 x x 2x x P x x 1 x x 1 − − + = − + + + − a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P c) Tìm x để biểu thức 2 x Q P = nhận giá trị nguyên. Bài 7. Cho biểu thức: ( ) 2 1 1 x 1 P : x x 1 x 1 x + = + ÷ − − − a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0 Bài 8. Cho biểu thức 1 1 a 1 a 2 P : a 1 a a 2 a 1 + + = − − ÷ ÷ − − − a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị của a để P > 0 Bài 9. (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm học 2011 - 2012) Cho x 10 x 5 A x 25 x 5 x 5 = − − − − + , với x ≥ 0 và x ≠ 25. 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm giá trị của A khi x = 9. GV: MAI VĂN DŨNG 10 [...]...CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI 1 3) Tìm x để A < 3 - ÔN THI TS 10 x 3 6 x −4 + − x −1 x −1 x +1 Bài 10 Cho biểu thức: P = a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P < 1 2 x 1 1 − ÷: x −1 x − x x −1 Bài 11 Cho biểu thức A = a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0 1 1 1 − + 1÷ với a > 0 và a ≠ 1 ÷ 1 − a 1 + a a Bài 12 Cho biểu thức: P = a) Rút gọn biểu thức. .. Bài 13 Cho biểu thức : A = 1 2 x 2x − x − với ( x > 0 và x ≠ 1) x −1 x − x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị của biểu thức khi x = 3 + 2 2 1 Bài 14 Cho biểu thức P = x+ x x : x+ x x + 1 a) Rút gọn P b) Tính GT của P khi x= 4 c) Tìm GT của x để P = 13 3 (Đề thi Hà Nội năm 2008-2009) Bài 15 Cho biểu thức : A = x +1− 2 x x + x + x −1 x +1 1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A 2) Với giá... biểu thức : A = (1 + x+ x x− x )(1 − ) x +1 x −1 (Với x ≥ 0; x ≠ 1 ) a) Rút gọn A GV: MAI VĂN DŨNG 11 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẶC HAI b) Tìm x để A = - 1 Bài 17 Cho biểu thức : B = 1 - − 2 x −2 1 2 x +2 ÔN THI TS 10 + x 1− x a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị của B với x = 3 c) Tính giá trị của x để A = Bài 18 Cho biểu thức : 1 2 P= x +1 x −2 + 2 x x +2 + 2+5 x 4− x a) Tìm TXĐ rồi rút gọn. .. + 2+5 x 4− x a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P b) Tìm x để P = 2 Bài 19 Cho biểu thức : Q = ( 1 1 a +1 a +2 − ):( − ) a −1 a a −2 a −1 a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q b) Tìm a để Q dương c) Tính giá trị của biểu thức khi a = 9 - 4 5 a 1 a − a a + a Bài 20 Cho biểu thức : M = 2 − 2 a a + 1 − a − 1 a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M b) Tìm giá trị của a để M = - 4 GV: MAI VĂN DŨNG 12