*Dạng 4: 1) Cho biết A = 5 5+ và B = 5 15− . Hãy so sánh tổng A + B và tích A.B. Giải : ( ) ( ) Ta coù : A B= 5 15 5 15 10+ + + − = ( ) ( ) ( ) 2 2 A.B = 5 15 . 5 15 5 15 25 15 10+ − = − = − = A B A.BVaäy + = 2) Chứng minh: a) ( ) ( ) 4 15 5 3 4 15 2 + − − = Giải : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 15 5 3 4 15 5 3 4 15 4 15+ − − = − + − = ( ) 5 3 4 15 − + = ( ) ( ) 2 5 3 4 15− + = ( ) ( ) 8 2 15 4 15 2− + = b) 3 2 6 150 1 4 3 3 27 3 6 − − × = − ÷ − 3) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x ( với x > 1): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − = − + + + x x x x x x A x x x x x x 4 3 1 1 3 Gi ải : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + − = − + + + + x x x x x x A x x x x x x 3 3 3 1 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − + + = = − + + + + x x x x x x x x x x x x 1 3 1 1 1 1 1 1 3 4) Tính giá trị của biểu thức 2 2007 2008A x x= + − với ( ) ( ) ( ) 27 10 2 27 10 2 27 10 2 27 10 2 13 3 13 3 : 13 2 x + − − − + = − + + + Giải:Ta rút gọn x: ( ) ( ) ( ) 27 10 2 27 10 2 27 10 2 27 10 2 13 3 13 3 : 13 2 x + − − − + = − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 13 3 13 3 : 13 2 + − − − + = − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 5 2 5 2 5 2 5 2 13 3 2 13 3 13 3 13 3 : 13 2 + − − − + = − + − + + + + ( ) ( ) ( ) 5 2 5 2 5 2 5 2 2 13 2 13 9 : 13 2 + − + − + = + − + ( ) ( ) 25 2 .2 2 46 2 46 2 46 2 2 13 4 : 13 2 2 13 2 : 13 2 − = = = = + + + + Tính A, ta có: ( ) ( ) 2 2007 2008 2008 1A x x x x= + − = + − Thay x = 46 ta được: ( ) ( ) 46 2008 46 1 92430A = + − = 5) Cho M = 2 3. 2 2 3. 2 2 2 3 . 2 2 2 3+ + + + + + − + + Chứng minh M = 1 Giải: a) Trước hết ta chứng minh các căn thức có nghĩa, để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh: Điều này hiển nhiên đúng. Suy ra các căn thức đều có nghĩa. Trở lại bài toán đã cho, ta có: M = Do đó: Do đó: M= Vậy M = 1 6) Cho ( ) D 3 1 3 1 3 2= + − − × + . Chứng minh D = 2 Giải : ( ) 2 2 D 3 1 3 1 3 2 = + − − × + ( ) ( ) 2 3 1 3 1 3 2= + − − × + ( ) ( ) 3 1 2 3 1 3 1 3 1 3 2= + − + − + − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2= − + = − + = 2 D 2 D 2= ⇔ = 7) Cho ( ) E 2 5 4 5 1 5 1= − × + + − . Chứng minh E = 2 8) Chứng minh rằng: 4 4 17 12 2 17 12 2 2 2 + + + = 9) Cho ( ) 3 3 1 10 6 3 K 6 2 5 5 − + = + − . Chứng minh K = 2 Giải : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 3 2 3 1 3 3 3 3 3 1 3 1 10 6 3 K 6 2 5 5 5 1 5 − + + + − + = = + − + − ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 2 5 1 5 5 1 5 − + − + = = = + − + − 10) Cho ( ) 1 1 1 1 99 3 3 5 5 7 7 9 97 99 A . = + + + + ÷ + + + + Chứng minh A = 48 Giải: ( ) 1 1 1 1 99 3 3 5 5 7 7 9 97 99 A . = + + + + ÷ + + + + ( ) 5 3 7 5 9 7 99 97 99 3 2 2 2 2 − − − − = + + + + + ÷ ( ) 99 3 99 3 99 3 48 2 2 − − = × + = = 11) Cho ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 a c M a c b + + = + − + biết , , 0a b c ≥ và 2ab bc ac+ + = Chứng minh 0M = Giải : ( ) 2 2 2 ac ab bc ac b a c ac b a c − + + = ⇔ + = − ⇔ = + ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4ac ac a c b a c a c − − + ⇔ = = ÷ + + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 4 4 2 2 ac a c a c ac a c b a c a c − + + + − + ⇔ + = + = + + ( ) 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2ac a c a ac c a c − + + + + = + ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4a c a c a c + + + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 + + = + − + a c M a c b ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 : + + + = + − + + + + a c a c a c a c a c a c ( ) 2 0a c a c a c a c= + − + = + − − = 12) Cho 3 2 2 2 2 . 2 1A = + − − − ÷ . Chứng tỏ A là một số nguyên Giải : ( ) 3 2 2 . 2 1 2 2 1 . 2 1= + − − − − ( ) 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1= − + − − − ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 1 2 2 1= − + − − − ( ) 1 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2= + + − + − − + ( ) ( ) 1 2 2 2. 2 2. 2 2 2 2 2 2 2 2 2= + − + + − − + ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2= + − + − − + ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2= + − − + 1 2 2 2 2 2 2 1= + − − + = 13) Cho 4 2 2 3 3 3 . 3 1B = − + − − ÷ . Chứng tỏ 2B = Giải : ( ) 4 2 2 3 . 3 1 3 3 1 . 3 1= − − + − − ( ) 2 4 3 4 2 6 3 2 2 3 3 3 1= − − + + − ( ) ( ) 2 3 3 3 6 2 2 3 3 3 3 3 1= + + − − − + − ( ) ( ) 2 3 3 3 2. 3 3. 3 2 2 3 3 3 3 3 3= + + − − − + − ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 3 3 3 3 33= + − − − + − ( ) 2 2 3 3 3 3 3 3= − + + − 2 3 3 3 3 3 3 2= − + + − = 14) Chứng minh 2 6 12 20 30 42 24+ + + + + < Giải : Ta có:Nếu a, b ≥ 0 thì a b ab 2 + ≥ (BĐT Côsi) Dấu “=” xảy ra khi a = b. Nếu a ≠ b thì a b ab 2 + > Áp dụng trên ta được 1 2 2 1.2 1,5 2 + = < = 2 3 6 2.3 2,5 2 + = < = 3 4 12 3.4 3,5 2 + = < = 4 5 20 4.5 4,5 2 + = < = 5 6 30 5.6 5,5 2 + = < = 6 7 42 6.7 6,5 2 + = < = 2 6 42 1,5 2,5 6.5 24 ⇒ + + + < + + + = L L 15) Chứng minh 3 15 35 63 9999 2550+ + + + + < Giải : Ta có:Nếu a, b ≥ 0 thì a b ab 2 + ≥ (BĐT côsi) Dấu “=” xảy ra khi a = b. Nếu a ≠ b thì a b ab 2 + > Áp dụng trên ta được 1 3 3 1.3 2 2 + = < = 3 5 15 3.5 4 2 + = < = 5 7 35 5.7 6 2 + = < = . . . 99 101 9999 99.101 100 2 + = < = 3 15 35 63 9999 2 4 6 100⇒ + + + + + < + + + + (có 50 số hạng) Ta có ( ) 50 2 100 2 4 6 100 2550 2 + + + + + = = 3 15 35 63 9999 2550⇒ + + + + + < . 1 Giải: a) Trước hết ta chứng minh các căn thức có nghĩa, để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh: Điều này hiển nhiên đúng. Suy ra các căn thức đều có nghĩa. Trở lại bài toán đã cho,. ( ) + + − + + = = − + + + + x x x x x x x x x x x x 1 3 1 1 1 1 1 1 3 4) Tính giá trị của biểu thức 2 2007 2008A x x= + − với ( ) ( ) ( ) 27 10 2 27 10 2 27 10 2 27 10 2 13 3 13 3 : 13 2 x +. 2 15 4 15 2− + = b) 3 2 6 150 1 4 3 3 27 3 6 − − × = − ÷ − 3) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x ( với x > 1): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − = − + + + x x x