GIÁO ÁN CASIO HAY CÓ BỔ SUNG CHỈ CẦN IN RA DẠY

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI TẬP Chuyên đề 1: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ HỌC Dạng 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC Bài 1: Thực phép tính : 4 0,8 : ( 1,25) (1,08 − ) : 25 + (1,2.0,5) : + A= 5 0,64 − (6 − ).2 25 17 Hướng dẫn Ấn ( 0,8 : ( 1,25) ) : (0,64 ) = SHIFT STO A 25 Ấn tiếp ( (1,08 ) : ) : ( −3 ):2 = SHIFT STO B 25 17 Ấn tiếp 1,2 0,5 : = + ALPHA A + ALPHA B = KQ:2,333333333 Bài 2: Thực phép tính 1 1+ 1,5 0,25 + + 50 46 B = : - 0,8 : 0,4 6− + 2,2.10 1: Hướng dẫn Ấn 1,5 : ( 0,4.50 : (1: )) = SHIFT STO A 2 1 46 ) : (6 − ) = SHIFT STO B Ấn tiếp (1 + 0,25 + 2,2.10 1 Ấn tiếp : − 0,8 = : ALPHA A + ALPHA B + = KQ : 173 Bài 3: Tính: 1 2   2+ + +  1+ + +  91919191 27 27 × : a) M = 182 ×   − + − − + −  80808080   49 343 49 343   5 10 10 10   5+ + − 10 + + −   434343 187 17 89 113 23 243 611  × × : b) N = 11 11 11 3 129  11 + +  515151 − 3+ + −   17 89 113 23 243 611   Trang Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH   4 4 + + + +  ÷ 201120112011 63 399 ÷ d/ P =  15 35 2 201220122012  + + + + ÷ ÷ 39400   8.11 11.14 14.17 281 KQ: M = 25 N= P ≈ 1,58651267 320 1212 12 14 43 12 1212 121212 2012 + + + + Bài 4: Tính giá trị biểu thức: A = 13 1313 131313 1313 13 14 43 2012 Hướng dẫn 12 12 12 12 2012.12 24144 + + + + = A = 13 13 13 = 4 4 4 13 13 13 2012 Bài : Tính giá trị biểu thức: A = 321930 + 291945 + 2171954 + 3041975 B= 20052006 + 20062007 + 20072008 + 20082009 + 20092010 C= 2006 + 2006 + 2006 + 2006 + 2006 + 2006 D= 2006 2006 2006 2006 2006 2006 KQ : A = 567,86590 , B = 4478,4468, C = 45,29118217, D = 2006 A= 2006 : B=2006.A: A= B ====== Bài 6: Lập quy trình bấm phím tính giá trị biểu thức sau: P= 2013 2012 + 2012 2011 + 2011 2010 + + 1993 1992 + 1992 1991 + 1991 1990 Giải Quy trình ấn phím : Gán: D = 1989, A = Ghi vào hình: D D+1 A= D +1 D + A Ấn dấu liên tiếp D = 2012, ấn ≈ Vậy P 1,003786277 Q= 2013 2012 2012 2011 2011 2010 1993 19921992 19911991 1990 Giải Quy trình ấn phím : Gán: D = 1989, A = Ghi vào hình: D D+1 A D +1 D A Ấn dấu liên tiếp D = 2012, ấn Trang A =1,003786277 A = 1,003787915 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Vậy Q ≈ 1,0037915 BÀI TÂP TỰ GIẢI Tìm gần đến chữ số thập phân 9 2 Tính giá trị biểu thức + + + 5 + + 8 + 9 Tính giá trị biểu thức − + − 5 + + 8 − 9 Tính giá trị biểu thức (gần đến chữ số thập phân) − + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + 9 − 10 10 Dạng 2: TÌM x THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài 1: Tìm x biết: 2+ 1− − 15 − 11 x− (x − )= 3− 3+ 4− 3 −5 Hướng dẫn Qui trình ấn phím: 2+ 3− 15 − 11 1− Gán: A = B= C= D= 3− 4− 3 −5 3+ Ghi vào hình: Ax – B(x – C) D Ấn: SHIFT SOLVE Máy hiện: A? ấn ALPHA A X? ấn (bỏ qua) B? ấn ALPHA B C? ấn ALPHA C D? ấn ALPHA D D? ấn X? ấn SHIFT SOLVE , Kết quả: x = - 1,4492 Bài 2: Tìm nghiệm gần phương trình: 5− 2 + 11  13 5− x− x+  ÷=  7+ −3 5−  Kquả: x ≈0,142313 Bài 3: Cho phương trình: 1    14 −  49 :16 − 14 :8 ÷ 4,85 −  + 1,105 ÷ 6    = 2010 × Giải phương trình (chính xác 17  59 37 19  x 2011 : 1 + +2 ÷ 18  70 42 30  đến chữ số thập phân, ghi kết dạng phân số tối giản) Trang Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH 198431403 9192400 Bài 4: Tính giá trị x từ phương trình sau: 4 1   4 , − × x − , 25 × , : +       7 5 2 3      = 5,2 :  2,5 −  a)  4   15,2 × 3,15 − :  × + 1,5 × 0,8    [ ( 0,152 + 0,352 ) : ( 3x + 4,2) ] ×  + ×    = : (1,2 + 3,15) b)  12  12,5 − × : ( 0,5 − 0,3 × 0,75) :   17  KQ a/ x ≈ -903, 4765135b/ x ≈ -1, 39360764 Bài 5: Tìm x làm tròn đến chữ số thập phân: 1   + + + a/  ÷× 140 + 1,08 : [ 0,3 × ( x − 1) ] = 11 29.30   21.22 22.23 23.24 1  1    x − : , 003 , −     ×1  2 20      : 62 + 17,81 : 0,0137 = 1301 − b/  20   − 2,65  × : 1,88 + 2  ×        20  35    KQ: x =1,4 KQ:x ≈ 6, 000 172 424 Bài 6: Tìm số hữu tỷ x biết : 5 10 10 10   5+ + − 10 + + −  12345679 17 89 113 : 23 243 611 ÷ = 434343 × x − 11 11 11 3 ÷ 515151 333333333  ÷ 11 + + − 3+ + − 17 89 113 23 243 611   KQ: x ≈ - 9,7925 Dạng TÍNH TỔNG CÁC CHỮ SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN 14 43 ( n chữ số 9) Bài 1: Hãy tính tổng chữ số A2 biết A = 999 99 KQ: a/ x ≈ 21,586463 , b/ x = n Hướng dẫn Ta có: A2 = A2 - + = (A - 1)(A+1) +1 14 43 14 43 = 999 998000 001 n −1 n Vậy tổng chữ số A2 (n - 1).9 +8 +1 = 9n Bài 2: Cho số B = 999……99 (có 2015 số 9) Hãy so sánh tổng chữ số B tổng chữ số B2 Hướng dẫn Ta có: B= 999… 99 (có 2015 số 9) Suy tổng chữ số B là: 2015.9 (1) Ta lại có: B2 = B2 – + = ( B+1)( B - 1) + Trang Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH 14 43 + 1)(9999 14 43 − 1) + = (9999 2015 2015 14 43 14 43 + = 10000 00.999 98 2015 2014 14 43 14 43 + = 999 998000 00 2014 2015 Tổng chữ số B2 là: 2014.9 + 8.+1= 2015.9 (2) Từ (1) (2) suy tổng chữ số B tổng chữ số B2 Tương tự: 1/ Cho S(a) tổng chữ số số a Cho a = 9999 998 ( có 2011 chữ số 9) Hãy tính S(a2) Hướng dẫn Ta có: a2 = a2 – + = (a + 2)(a - 2) + 14 43 14 43 + = 999 996.1000 00 2011 2011 14 43 + = 999 96000 00 2011 2011 Vậy S(a2) = 9.2011 + + = 18109 2/ Cho a số tự nhiên viết 223 chữ số Hãy tính tổng chữ số n với n = a2 + 2010 Hướng dẫn 14 43 Ta có: a = 999 99 223 n = a + 2010 = a2 – + 2011 = (a - 1)(a + 1) + 2011 123 14 43 + 2011 = 999 98.1000 00 222 223 Vậy tổng chữ số n là: 222.9 + + + 1+ = 2010 Dạng 4: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA DÃY SỐ THEO QUI LUẬT Bài 1: Cho Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ………… + n(n+1) a/ Tìm công thức tính Sn b/ Tính S100 S2009 Hướng dẫn a/ Tìm công thức tính Sn Ta có: 3.1.2 = 1.2.3 – 0.1.2 3.2.3 = 2.3.4 – 1.2.3 3.3.4 = 3.4.5 – 2.3.4 ……………………………… 3.n.(n+1) = n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) Suy 3.Sn = n(n+1)(n+2) n(n + 1)(n + 2) Vậy Sn = Bài 2:Cho Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ………… + n(n+1)(n+2) a/ Tìm công thức tính Sn b/ Tính S2012 Hướng dẫn a/ Tìm công thức tính Sn Trang Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Ta có: 4.1.2.3 = 1.2.3.4 – 0.1.2.3 4.2.3.4 = 2.3.4.5 – 1.2.3.4 4.3.4.5 =3.4.5.6 – 2.3.4.5 ……………………………… 4.n.(n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3) – (n-1)n(n+1)(n+2) Suy 4.Sn = n(n+1)(n+2)(n+3) n(n + 1)(n + 2)( n + 3) Vậy Sn = b/ S100 = 4109095895190 Tương tự: 1/Cho Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ………… + n(n+1)(n+2) Tính S2009, S2011 Kết quả: S2009 = 4087371731776 S2011 = 4100938881006 2/ Tính giá trị biểu thức: A=1.2.3 + 2.3.5 + 3.4.7 + 2010.2011.4021 Hướng dẫn 2010 Ghi vào màng hình: ∑ X ( X + 1)(2 X + 1) Ấn Bài 3: Tính giá trị biểu thức: S = 23 - 43 + 63 - 83 +….+ 20123 Hướng dẫn 1006 Ghi vào hình: ∑ (−1) x +1 (2 X )3 = - 4072429846 Bài 4: Tính giá trị biểu thức: S = 13 – 33 + 53 – 73 +… + 20113 Hướng dẫn 1005 Ghi vào hình: ∑ (−1) (2 X + 1) x Bài 5: Cho dãy số Un = U10, U15, U20 Hướng dẫn n + + + + Lập quy trình ấn phím tính U n Tính n +1 X Cách 1: Ghi vào hình X ∑ X + Ấn CALC với X = 10, 15, 20 Cách 2: Gán X = 0; C = X Ấn dấu liên tục tìm Un X +1 19 Tương tự: Cho biểu thức M = + + + + M + N = 19 Tính N (Trích đề 20 thi học sinh giỏi máy tính Casio quận 12 năm 2013-2014 ) Hướng dẫn 19 X Ta có: N = 19 – M = 19 – ∑ = 2,597739657 X + 1 Bài 6: Tính giá trị gần ( xác đến chữ số thập phân ) biểu thức sau: 12 32 52 57 A = (1 − ) + (2 − ) + (3 − ) + + (29 − ) 2.3 4.5 6.7 58.59 Ghi vào hình: X Trang X+1 C C+ Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Hướng dẫn Quy trình ấn phím: Gán A = X = (2 X − 1) Ghi vào hình: X X + A A+(X– ) X (2 X + 1) Ấn dấu = liên tiếp đến X = 29 dừng Kết quả: A ≈ 166498,7738 Tương tự: Tính giá trị gần (chính xác đến chữ số thập phân) biểu thức sau: 530 10 17 A= (1) +( − ) +(5) + (7) + + (45 )3 1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 23.24.25 Hướng dẫn 29 X +1 )3 ) Kết quả: 55662,0718 Khai báo : ∑ ((2 X − − x =1 X ( X + 1)( X + 2) 12 32 52 292 Bài 7: Tính tổng: B = + + + + + 23 23 + 33 33 + 43 15 + 163 Hướng dẫn Gán: A = 0; B = 1; C = 2; X = ( Biến đếm) D= (số hạng ) E = 1/9 (tổng) Ghi vào hình: X X+1 A 2X+1 B B+1 3 C C+1 D A (B +C ) E E+D Bấm liên tục đến A = 29 E kết tương ứng Đáp số: B = 2,6943577288 15  (2 x − 1)  Cách 2: Sử dụng công thức ∑  3  kết quả: B = 2,6943577288 x =1  x + ( x + 1)  1 1 Bài 8: Cho dãy số un = ( – )( – )( – )……( – n ) Tính u5; u10; u15 Hướng dẫn Gán X = A = 1 Ghi vào hình: X X +1 A A.( – X ) Ấn dấu = liên tục tìm un 9765 Kết quả: u5 = , u10 = 0,2890702984, u15 = 0,2887969084, u20 = 0,2887882705, 32768 Dạng 5: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA DÃY LŨY THỪA THEO QUI LUẬT GHI NHỚ: n(n + 1)(2n + 1) n 2 2 2 = ∑x 1/ + +3 +4 +……+ n = 2n(n + 1)(2n + 1) n 2 2 = ∑ (2 x)2 2/ +4 +6 + +….+ (2n) = Trang Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH n(4n − 1) n = ∑ (2n − 1) 3/ + + +7 +….+ (2n – 1) = 2 n n ( n + 1) 3 3 = (1 + + + + n) = ∑ x 4/ + + + +….+ n = B/ BÀI TOÁN: Bài 1: Tính giá trị biểu thức: M = 1+ + + 16 + … + 20102 Hướng dẫn 2 2 2010 2 2 M = + + +4 + … + 2010 = ∑X Ấn = kết M = 2708887385 n(n + 1)(2n + 1) = 2708887385 Bài 2: Cho Sn = 13 + 23 + 33 + 43 +….+ n3 Tính S30 Hướng dẫn M= 30 3 3 Cách 1: Sn = + + + +….+ n = ∑X Ấn dấu = Kết Sn = 216225 n ( n + 1) Cách 2: Sn = = (1 + + + + n) Cách 3: Lập quy trình ấn phím: Gán D = (biến đếm), A = 13 (Số hạng) Ghi vào hình: D D+1 A A + D3 Ấn dấu Kết quả: Sn = 216225 Bài 3: Tính M = 20013 + 20023 + 20033 + … + 20123 Hướng dẫn Gán D = 2001; A = 20013 Ghi vào hình D D + A A + D3 Ấn dấu = Kết M = 72541712025 Bài 4: Tìm hai chữ số tận tổng S = + + 32 + 33 + ….+330 Hướng dẫn 331 − Cách 1: S = =3,088366981.1014 Ấn tiếp: Ans – 3,08836698.1014 = 308836698141973 30 Cách 2: ∑ (1 + X ) 3,088366981.1014 Tương tự: 1/ Tính tổng 20 Ta ghi vào biểu thức vào máy ∑X ấn Ta kết 52301176601 2/ Cho A = 412 + 432 + 452+…….+1412 B = 413 + 433 + 453+…….+1413 Tính : A2 ; A.B Hướng dẫn KQ: A2 = 217651173961 A.B = 23559190814991 Trang Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Dạng 6: DÃY PHÂN SỐ THEO QUI LUẬT A/ GHI NHỚ: 1 = − 1/ = n(n + 1) n n + 2/ n ∑ n(n + 1)  1 1 =  − n(n + 1)(n + 2)  n(n + 1) (n + 1)(n + 2)   1 1 =  − n(n + 1)(n + 2)( n + 3)  n( n + 1)( n + 2) ( n + 1)(n + 2)(n + 3)  B/ BÀI TOÁN: 1 1 + + + + Bài 1: Tính A = 1.2 2.3 3.4 2008.2009 Hướng dẫn 1 1 2008 + + + + + = A= 1.2 2.3 3.4 4.5 2008.2009 2009 Tương tự: 2012 2012 2012 2012 + + + + 1/ Tính B = 1006 + 2.3 3.4 4.5 2002.2003 Hướng dẫn 1 1 + + + + + ) B = 2012( 1.2 2.3 3.4 4.5 2002.2003 2012 = 2012(1 ) = 2012 = 2011 2013 2013 2013 1 1 + + + + 2/ Tính G = + 28 70 130 4038088 3/ Hướng dẫn 1 1 + + + + + G= 1.4 4.7 7.10 10.13 2008.2011 1 1 1 1 − ) = ( − + − + − + + 4 7 10 2008 2011 1 2010 670 )= = = (1 − 2011 6033 2011 1 1 1 + + + + 3/ Tính L = + + 15 35 63 99 4032063 Hướng dẫn 1 1 + + + + + L= 1.3 3.5 5.7 7.9 2007.2009 1 1 1 1 − ) = (1 − + − + − + + 3 5 2007 2009 1 2008 1004 )= = = (1 − 2009 2009 2009 Trang Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Bài 2: Tính M = 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2001.2002.2003 Hướng dẫn  1 1 =  − n(n + 1)(n + 2)  n(n + 1) (n + 1)(n + 2)  501 Kết quả: M = 2006 Tương tự: 1 1 + + + + 1/ Tính: A = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2006.2007.2008 1 1 + + + ×××+ 2/ Tính B = 3.5.7 5.7.9 7.9.11 995.997.999 1 Kết quả: A = − B ≈ 0,0166664157 2.2007.2008 1 1 + + + + Bài 3: Tính P = 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 102.103.104.105 Áp dụng: Hướng dẫn  1 1 =  − n(n + 1)(n + 2)( n + 3)  n( n + 1)( n + 2) ( n + 1)(n + 2)(n + 3)  Kết quả: P = 0,055555259 1 + + + + Tương tự: Tính C = 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 2011.2012.2013.2014 Kết quả: C = 0,0556 Bài 4: Tính giá trị biể thức: 1 1 + + + + 1/ A= Kết quả: A = 21,92209 1+ 3+ 5+ 2009 + 2011 1 1 + + + + 2/B = B ≈ 21,92209 1+ 3+ 5+ 2009 + 2011 1 1 + + + + 3/ C = A= 1− 2− 3− 99 − 100 Hướng dẫn 99 Ghi vào hình: C ∑1 X − X + Ấn phím Calc X? Kết quả: C ≈ - 1331,925894 Bài 5: Tính giá trị biểu thức: 1 + + + 1/ E = +1 + 2013 2012 + 2012 2013 1 1 + + + + 2/ B = +1 2 + 3 + 2008 2009 + 2009 2008 Ta có: Trang 10 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Chú ý : - Đề thi gồm trang, 10 - Thí sinh làm trực tiếp vào đề thi - Nếu không nói thêm, tính xác đến chữ số lẻ thập phân Các giám khảo (Họ tên chữ ký) Điểm toàn thi Bằng số Bằng chữ Số phách (Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi) GK1 GK2 Bài 1( điểm) : Tính giá trị biểu thức sau ghi kết vào ô: [(0,15 a/ A = b/ B = 2015 ] ) 3 4 + 0,35 : ( − 3.1,39360764 + 4,2 ) ⋅  + ⋅  4 5  12  12,5 − ⋅ : ( 0,5 − 0,3 ⋅ 0,75) :   17  2014 + 2014 2013 + 2013 A = 0,8045977053 2012 + 2012 2011 + + 1995 1994 + 1994 1993 + 1993 1992 B = 1,003781374 Bài ( điểm) a) Tìm số x y biết : ƯCLN(x,y) = 345654321 BCNN(x,y) = 26615382717 Tính xác giá trị tổng sau: C = 13 + 33 + 53 + 73 + 20113+20133 + 20153 b/ x = 2419580247 345654321 y = 3802197531 26615382717 C = 064 771 088 128 Bài ( điểm) 10 15 54 56 96 243 250 ; ; ; ; ; ; ; ; 13 15 23 84 88 152 387 400 a) Cho dãy số { an} 1; ; Tìm số hạng thứ 2015 ( số hạng a2015) tổng 50 số hạng đầu dãy Trang 103 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Tóm tắt cách giải Dãy viết lại : a2015= 15 12 27 1; ; ; ; : ; ; ; ; ; 13 23 14 11 19 43 Có dạng : Suy 3n 5n − a2015 = Kết 6045 10073 6045 10073 50 - Dùng chức phím 3x ∑ 5x − x =1 ta tính S50 S50= 31,30911764 S50= 31,30911764 b) Tìm số m, n biết f(x) = x4 - 4x3+ m x2 + 206 x+ n chia hết cho ( x2 + 2x -15) Tóm tắt cách giải x2 + 2x -15 = ( x-3) ( x+ 5) f(x) chia hết cho x2 + 2x -15 = ( x-3) ( x+ 5) Nên … 9m + n = -291 Và 25m + n = -595 Do m = -19 n = -120 Kết m = -19 n = -120 Bài ( điểm) a) Tìm tất số tự nhiên x thỏa mãn : 10 000 ≤ x ≤ 15 000 chia x cho 410 chia cho 615 có số dư 314 Tóm tắt cách giải Từ giả thiết, ta có : x = 410 q1 + 314 → ( x – 314) M 410 x = 615 q2 + 314 → ( x – 314) M 615 ( x – 314) chia hết cho BCNN( 410; 615) = 1230 → x – 314 = 1230 k ( k = 1;2;3;4; ) Hay x = 1230 k + 314 Từ giả thiết 10 000 ≤ x ≤ 15 000 Kết Số cần tìm : 10 154; 11 384; 12 614 ; 13 844 Suy : 686 ≤ 1230 k ≤ 14 686 Trang 104 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ≤ k ≤ 11 Thay giá tri k = 7; 8; ;10;11 Ta giá trị x = 8924( loại ) ; 10 154; 11 384; 12 614 ; 13 844 Vậy x = 10 154; 11 384; 12 614 ; 13 844 b) Tìm số dư r phép chia 197334 2015 cho 793 r= 548 Bài ( điểm) Cho đa thức g(x) bậc Biết g(0) = 10 ; g(1) = 12 ; g(2) = ; g(3) = Tìm g(2015)? Tóm tắt cách giải Kết g(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì g(0) = 10 ; g(1) = 12 ; g(2) = ; g(3) = Nên :   a+ b+ c+    8a + 4b + 2c + 27 a + 9b + 3c + d d d d g( 2015) = 20402654815 = 10 = 12 = = Giải máy ta : − 25 ;b= ; c = 12; d = 10 2 25 Do g(x) = x3 x + 12 x + 10 2 a= Suy : g (2015) = 20402654815 Bài ( điểm) Cho dãy số x1= x2 = ; x3 = ; xn+3 = xn+2 - xn+1 + xn với n = 1;2;3; Viết qui trình bấm máy tính xn sử dụng qui trình tính x15 ; x20 ; x25 Trình bày tóm tắt cách giải vào phần Tóm tắt cách giải Kết Qui trình : Gán A = ; B= ; C = Sử dụng vòng lặp : X = X+1 : A = C Trang 105 2 B + A : X = X+1 : B = A - C + 3 x15 = 1109 1944 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH B: X = X+1 : C = B - A + C x20 = 0,197850779 Bấm phím = liên tục ta kết x25 = 0,106097686 Một người vay ngân hàng 300 triệu đồng Cuối tháng tháng thứ người trả 500 000 đồng chịu lãi số tiền chưa trả 0,5%/tháng Hỏi với cách trả sau người trả hết nợ (Nêu tóm tắt cách giải qui trình bấm phím máy tính để giải ) Bài ( điểm) Tóm tắt cách giải Kết Gọi số tiền người nợ ban đầu M, lãi suất phải trả r %/tháng, số tiền hàng tháng người phải trả x - Cuối tháng thứ người nợ : M+ r r M = M ( + ) = M k 100 100 Số tháng phải trả : 64 tháng Người trả x đồng, số tiền nợ : Mk – x - Cuối tháng thứ hai người nợ là: k −1 ( Mk – x) k – x = M k – x ( k+1) = M k – x k −1 2 - Cuối tháng thứ ba người nợ là: k −1 k −1 ( M k - x ) k – x = M k – x k −1 k −1 - Cuối tháng thứ n người nợ là: k n −1 − ) k –x = k −1 x x r k n −1 = M kn - x = kn (M )+ =(1+ ) ( M k −1 k −1 100 k −1 100 x 100 x + r r Mn = ( M kn-1 – x Sau n tháng người trả nợ xong, nghĩa Mn = Hay (1+ r n 100 x ) = 100 100.x − M r Dùng MTCT với M = 300 000 000 ; 5= 0,5 ; x = 500 000 Ta n = 64 ( tháng) Bài ( điểm) : Khai triển biểu thức ( +2x +3x2)15 đa thức a0 + a1.x + a2.x2 + a3 x3 + + a30.x30 Tính với giá trị xác biểu thức E = a0 - a1 + a2 - a3 + - 536870912 a29 + 1073741824 a30 E = 915 = 205 891 132 094 649 Bài ( điểm) Trang 106 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Cho tam giác vuông B, cạnh BC =18,6 cm Hai đường trung tuyến BM CN vuông góc với nhau.Tính CN Tóm tắt cách giải Kết CN = Giải: Gọi G giao điểm BM CN Ta có : CG2 + BG2 = BC2 → 4GN2 + GM2 = BC2 (1) Mặt khác, tam giác vuông CGM, : 2GN2 + GM2 = CM2 = GM2 ( Do CM = BM) Suy : GN2 = GM2 (2) Thay (2) vào (1), ta : 4GN2 + GN2 = BC2 Hay : GN2 = BC2 Thay số vào GN = 18,6 Do : 18,6 CN = GN = = 24,95451863 cm ∧ Bài 10 ( điểm ) : Cho hình thang vuông ABCD có BCD = 650 ngoại tiếp đường tròn tâm O bán kính R = 3,25 a, Tính cạnh hình thang ABCD b, Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn hình thang ABCD với đường tròn tâm O ( Kết lấy xác chữ số phần thập phân ) Trang 107 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Tóm tắt cách giải Kết a) AB = BC = N AD = CD = a) AB = 2R = 6,5 Gọi I,E, F, N tiếp điểm Tứ giác ANOI, NOFB hình vuông Trong tam giác vuông OFC có : tg 32030/ = OF 3,25 OF → CF = tg 32 30 / = tg 32 30 / = 5,10148 CF Suy BC = 3,25 + 5,10148 = 8,35148 Tương tự tam giác vuông OID có : ID = OI tg32030/ = 3,25 tg32030/ Suy AD = 3,25 + 3,25 tg32030/ = 5,32048 Và CD = CF + ID = 9,24243 b) S= b) Gọi S diện tích cần tìm, ta có: S = SABCD - S( O) = = 11,25079 (đvdt) .Hết HƯỚNG DẪN CHẤM Môn : Giải toán Casio – năm học 2014-2015 Bài Đáp án a) Trang 108 A = 0,804597705 Điểm phần Giáo viên: Mai Văn Dũng Điểm toàn BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH B= b) 1009 6552 a) ƯCLN(x,y) = 345654321; BCNN(x,y) = 26615382717 nên x = 345654321 m y = 345654321 n với ( m,n) = suy : xy = 345654321 m 345654321 n = 345654321 26615382717 Do m.n = 77 = 7.11 = 1.77 Suy : x = 2419580247 345654321 y = 3802197531 b) ∑X 3 1,5 1007 − ∑ (2 X ) 1,25 a) Dãy số viết lại : Có dạng : 3n 5n − a2015 = 6045 10073 50 - Dùng chức phím 3x ∑ 5x − x =1 2,5 Nêu tóm tắt cách giải ghi 0,75 15 12 27 1; ; ; ; : ; ; ; ; ; 13 23 14 11 19 43 Suy 26615382717 C = 064 771 088 128 2015 C= 1,5 ta tính S50 Tính phần lại ghi phần 0,25 S50= 31,30911764 b) x2 + 2x -15 = ( x-3) ( x+ 5) f(x) chia hết cho x2 + 2x -15 = ( x-3) ( x+ 5) 1,25 Nên … 9m + n = -291 Và 25m + n = -595 Do vậy: m = -19 n = -120 a) Từ giả thiết, ta có : x = 410 q1 + 314 → ( x – 314) M 410 x = 615 q2 + 314 → ( x – 314) M 615 ( x – 314) chia hết cho BCNN( 410; 615) = 1230 → x – 314 = 1230 k ( k = 1;2;3;4; ) Hay x = 1230 k + 314 Từ giả thiết 10 000 ≤ x ≤ 15 000 1,5 Suy : 686 ≤ 1230 k ≤ 14 686 Trang 109 Giáo viên: Mai Văn Dũng 2,5 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ≤ k ≤ 11 Thay giá tri k = 7; 8; ;10;11 Ta giá trị x = 8924( loại ) ; 10 154; 11 384; 12 614 ; 13 844 Vậy x = 10 154; 11 384; 12 614 ; 13 844 b) Số dư r = 548 g(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì g(0) = 10 ; g(1) = 12 ; g(2) = ; g(3) = Nên :   a+ b+ c+    8a + 4b + 2c +  27a + 9b + 3c + d = 10 d d = 12 = d = 2 2 Giải máy ta : − 25 ;b= ; c = 12; d = 10 2 25 Do g(x) = x3 x + 12 x + 10 2 a= Suy : g (2015) = 20402654815 Qui trình : Gán A = ; B= ; C = Sử dụng vòng lặp : 2 B + A : X = X+1 : B = A - C + B: 3 2 X = X+1 : C = B - A + C X = X+1 : A = C - Bấm phím = liên tục ta kết x15 = 1109 1944 x20 = 0,1978507786 x25 = 0,1060976856 Gọi số tiền người nợ ban đầu M, lãi suất phải trả r %/tháng, số tiền hàng tháng người phải trả x Trang 110 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH - Cuối tháng thứ người nợ : M+ r r M = M ( + ) = M k 100 100 Người trả x đồng, số tiền nợ : Mk – x - Cuối tháng thứ hai người nợ là: k −1 ( Mk – x) k – x = M k – x ( k+1) = M k – x k −1 2 - Cuối tháng thứ ba người nợ là: ( M k2 - x k −1 k −1 ) k – x = M k3 – x k −1 k −1 - Cuối tháng thứ n người nợ là: k n −1 − ) k –x = k −1 x x r k n −1 n = M k - x = kn (M )+ =(1+ ) ( M k −1 k −1 100 k −1 100 x 100 x + r r Mn = ( M kn-1 – x Sau n tháng người trả nợ xong, nghĩa Mn = Hay (1+ r n 100 x ) = 100 100.x − M r Dùng MTCT với M = 300 000 000 ; 5= 0,5 ; x = 500 000 Ta n = 64 ( tháng) Theo đề ta có : ( +2x +3x2)15 = a0 + a1.x + a2.x2 + a3 x3 + + a30.x30 E = a0 - a1 + a2 - a3 + - 536870912 a29 + + 1073741824 a30 = = ( + (-2) + (-2)2)15 = 915 Do : E = 915 = 205 891 132 094 649 2 2đ Giải: Gọi G giao điểm BM CN Ta có : CG2 + BG2 = BC2 → 4GN2 + GM2 = BC2 (1) Trang 111 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Mặt khác, tam giác vuông CGM, : 2GN2 + GM2 = CM2 = GM2 ( Do CM = BM) Suy : GN2 = GM2 (2) Thay (2) vào (1), ta : 4GN2 + GN2 = BC2 Hay : GN2 = BC2 18,6 Thay số vào GN = Do : 18,6 CN = GN = = 24,95451863 cm Lưu ý : - Học sinh có cách trình bày khác cho điểm tối đa - Những yêu cầu trình bày tóm tắt cách giải học sinh ghi kết ghi nửa số điểm HƯỚNG DẪN CHẤM Môn : Giải toán Casio – năm học 2014-2015 Bài Đáp án a) A = 0,804597705 B = 1,003781374 b) Điểm phần 1 Điểm toàn 2 Giải: lập qui trình : X=X+1: A= X +! A + X - Gán X= 1991 , A=0 Ấn liên tục phím = Dừng X = 2015 nhận kết B hình - a) ƯCLN(x,y) = 345654321; BCNN(x,y) = 26615382717 nên x = 345654321 m y = 345654321 n với ( m,n) = suy : xy = 345654321 m 345654321 n = 345654321 26615382717 Do m.n = 77 = 7.11 = 1.77 Suy : x = 2419580247 345654321 y = 3802197531 b) C = 064 771 088 128 2015 C= ∑X 3 26615382717 1007 − ∑ (2 X ) a) Dãy số viết lại : Dãy viết lại : Trang 112 Nêu tóm tắt Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH cách 0,5 15 12 27 1; ; ; ; : ; ; ; ; ; 13 23 14 11 19 43 Có dạng : Suy 3n 5n − a2015 = 6045 10073 50 - Dùng chức phím 3x ∑ 5x − x =1 ta tính S50 giải ghi Tính phần lại ghi phần 0,25 S50= 31,30911764 b) x2 + 2x -15 = ( x-3) ( x+ 5) f(x) chia hết cho x2 + 2x -15 = ( x-3) ( x+ 5) Nên … 9m + n = -291 Và 25m + n = -595 Do vậy: m = -19 n = -120 a) Từ giả thiết, ta có : x = 410 q1 + 314 → ( x – 314) M 410 x = 615 q2 + 314 → ( x – 314) M 615 ( x – 314) chia hết cho BCNN( 410; 615) = 1230 → x – 314 = 1230 k ( k = 1;2;3;4; ) Hay x = 1230 k + 314 Từ giả thiết 10 000 ≤ x ≤ 15 000 Suy : 686 ≤ 1230 k ≤ 14 686 ≤ k ≤ 11 Thay giá tri k = 7; 8; ;10;11 Ta giá trị x = 8924( loại ) ; 10 154; 11 384; 12 614 ; 13 844 Vậy x = 10 154; 11 384; 12 614 ; 13 844 b) Số dư r = 548 g(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì g(0) = 10 ; g(1) = 12 ; g(2) = ; g(3) = Nên :   a+ b+ c+    8a + 4b + 2c +  27a + 9b + 3c + d = 10 d = 12 d = d = Giải máy ta : Trang 113 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH − 25 ;b= ; c = 12; d = 10 2 25 Do g(x) = x3 x + 12 x + 10 2 a= Suy : g (2015) = 20402654815 Qui trình : Gán A = ; B= ; C = Sử dụng vòng lặp : 2 B + A : X = X+1 : B = A - C + B: 3 2 X = X+1 : C = B - A + C X = X+1 : A = C - Bấm phím = liên tục ta kết x15 = 1109 1944 x20 = 0,197850779 x25 = 0,106097686 Gọi số tiền người nợ ban đầu M, lãi suất phải trả r %/tháng, số tiền hàng tháng người phải trả x - Cuối tháng thứ người nợ : M+ r r M = M ( + ) = M k 100 100 Người trả x đồng, số tiền nợ : Mk – x - Cuối tháng thứ hai người nợ là: ( Mk – x) k – x = M k2 – x ( k+1) = M k2 – x - Cuối tháng thứ ba người nợ là: ( M k2 - x k −1 k −1 k −1 k −1 ) k – x = M k3 – x k −1 k −1 - Cuối tháng thứ n người nợ là: k n −1 − ) k –x = k −1 x x r k n −1 n = M k - x = kn (M )+ =(1+ ) ( M k −1 k −1 100 k −1 100 x 100 x + r r Mn = ( M kn-1 – x Trang 114 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Sau n tháng người trả nợ xong, nghĩa Mn = Hay (1+ r n 100 x ) = 100 100.x − M r Dùng MTCT với M = 300 000 000 ; 5= 0,5 ; x = 500 000 Ta n = 64 ( tháng) Theo đề ta có : ( +2x +3x2)15 = a0 + a1.x + a2.x2 + a3 x3 + + a30.x30 E = a0 - a1 + a2 - a3 + - 536870912 a29 + + 1073741824 a30 = = ( + (-2) + (-2)2)15 = 915 Do : E = 915 = 205 891 132 094 649 2 2đ Giải: Gọi G giao điểm BM CN Ta có : CG2 + BG2 = BC2 → 4GN2 + GM2 = BC2 (1) Mặt khác, tam giác vuông CGM, : 2GN2 + GM2 = CM2 = GM2 ( Do CM = BM) Suy : GN2 = GM2 (2) Thay (2) vào (1), ta : 4GN2 + GN2 = BC2 Hay : GN2 = BC2 Thay số vào GN = 18,6 Do : CN = GN = Trang 115 18,6 = 24,95451863 cm Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH 10 a) 1,5 điểm a) AB = 2R = 6,5 Gọi I,E, F, N tiếp điểm Tứ giác ANOI, NOFB hình vuông Trong tam giác vuông OFC có : tg 32030/ = OF 3,25 OF → CF = tg 32 30 / = tg 32 30 / = 5,10148 CF Tìm AB : 0,25 đ BC : 0,5 đ AD : 0,5 đ CD : 0,25 đ Suy BC = 3,25 + 5,10148 = 8,35148 Tương tự tam giác vuông OID có : ID = OI tg32030/ = 3,25 tg32030/ Suy AD = 3,25 + 3,25 tg32030/ = 5,32048 Và CD = CF + ID = 9,24243 b) Gọi S diện tích cần tìm, ta có: S = SABCD - S( O) = = 11,25079 (đvdt) b) 0,5 điểm Lưu ý : - Học sinh có cách trình bày khác cho điểm tối đa - Những yêu cầu trình bày tóm tắt cách giải học sinh ghi kết ghi nửa số điểm Trang 116 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH MỤC LỤC Nội dung Chuyên đề Các dạng toán số học Dạng 1: Tính giá trị biểu thức Dạng 2: Tìm x Dạng 3: Tính tổng chữ số số tự nhiên Dạng 4: Dãy số theo quy luật Dạng 5: Lũy thừa Dạng 6: Dãy phân số theo quy luật Dạng 7:Tìm số dư phép chia hai số tự nhiên Dạng : Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Dạng 9: Số thập phân Chuyên đề 2: Đa thức Chuyên đề 3: Tìm số tự nhiên thỏa điều kiện cho trước Chuyên đề 4: Dãy số Chuyên đề 5: BÀI TOÁN NGÂN HÀNG – DÂN SỐ Đề thi Đại Lộc 2013-2014 Đề thi Đại Lộc 2014-2015 Trang 117 Trang 1 15 18 23 26 37 55 68 75 87 Giáo viên: Mai Văn Dũng [...]... của A = khi x = 1,8165 4x3 − x 2 + 3x + 5 Hướng dẫn  Phương pháp 1: Tính nhờ vào biến nhớ Ans Ấn phím: 1 8165 = ( 3 Ans ^ 5 − 2 Ans ^ 4 + 3 Ans x 2 − Ans + 1 ) ÷ ( 4 Ans ^ 3 − Ans x 2 + 3 Ans + 5 ) = Kquả: 1.498465582  Phương pháp 2: Tính nhờ vào biến nhớ X Trang 27 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Ấn phím: 1 8165 SHIFT STO X ( 3 ALPHA X ^ 5 − 2 ALPHA X ^... số nguyên tố ta có: ap ≡ a (mod p) Đặc biệt nếu (a,p) = 1 thì ap-1 ≡ 1 (mod p) a) Tìm một chữ số tận cùng của an Nếu a có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6 thì an lần lượt có chữ số tận cùng là 0, 1, 5 , 6 Nếu a có chữ số tận cùng là 2, 3, 7 ta có nhận xét sau 24k ≡ 6 (mod 10) 34k ≡ 1 (mod 10) 74k ≡ 1 ( mod 10) b) Tìm hai chữ số tận cùng của an Ta có nhận xét sau a20k ≡ 00 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng... số dư là r Cụ thể: Pn(x) = anxn + an- 1xn-1 + an- 2xn-2 + .+a1x1 + a0 Qn-1(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + + b1x1 + b0 Pn(x) = Qn-1(x)(x-m) + r Thì giữa hai đa thứcPn(x) và Qn-1(x) có mối liên hệ như sau: bn-1 =an , bn-2=m.bn-1 + a0 , ., b0 = m.b1 +a1 an m bn-1 = an an-1 bn-2 = m.bn -1 + an- 1 an- 2 bn-3 = m.bn-2 + a n - 2 a1 b0 = m.b1 + a1 a0 r = m.b0+ a0 Số dư của phép chia là: r = m.b1 +a0 B/ BÀI TOÁN:... phân thứ 2011 sau dấu phấy trong phép chia 10: 51 Hướng dẫn KQ phép chia 10: 51= 0,(1960784313725490), chu kỳ 16 chữ số Trang 25 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Ta có 2011 ≡ 11(mod 16) Vậy chữ số thập phân thứ 2011 sau dấu phấy trong phép chia 10: 51 là: chữ số 7 Bài 4: Tìm chữ số thập phân thứ 2009 khi chia 10 cho 23 Hướng dẫn Chia 10 cho 23 ta được số thập phân... Hướng dẫn * Tìm số dư khi chia 182008 cho 49 Ta có: 182008 = 18.182007 = (183)669 18 183 ≡ 1(mod 49) ⇒ (183)669 ≡ 1(mod 49) 18 (183)669 ≡ 18(mod 49) * Tìm số dư khi chia 82009 chia cho 49 Ta có 82009 = (87)287 87 ≡ 1(mod 49) ⇒ (87)287 ≡ 01(mod 49) Vậy số dư khi chia số 182008 + 82009 cho 49 là 19 Bài 4: Tìm số dư khi chia 15972008 cho 49 Hướng dẫn Ta có: 1597 ≡ 29(mod 49) Suy ra 15972008 ≡ 292008 (mod... 10) Suy ra: (2n)250 ≡ 16250 ≡ 6250 ≡ 6 (mod 10) Do đó: 21000 ≡ 6250 ≡ 6 (mod 10) Vậy chữ số tận cùng của 21000 là 6 Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của số 19911997; 19971996 Hướng dẫn a Ta có: 1991 ≡ 1 (mod 10) suy ra 19911997 ≡ 1 (mod 10) Vậy: 19911997 có chữ số tận cùng là 1 b Ta có: 1997 ≡ 7 (mod 10) suy ra 19972 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10) Suy ra 19974 ≡ 1 (mod 10) suy ra (19974)409 ≡ 1 (mod 10) Suy ra 19971996... (157)71 155 Ta có :157 ≡ 1(mod 49) ⇒ (157)71≡ 1(mod 49) 155 ≡ 22( mod 49) Nên (157)71 155 ≡ 22( mod 49) 3 Trang 17 Giáo viên: Mai Văn Dũng BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH Vậy: Vậy số dư khi chia số 15972008 cho 49 là 22 Dạng 8 TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM CỦA MỘT LUỸ THỪA A/ PHƯƠNG PHÁP: Để tìm số dư của phép chia An cho B ta tìm số R < B sao cho : A ≡ R (mod B) Quan hệ đồng... 10) suy ra (19974)409 ≡ 1 (mod 10) Suy ra 19971996 ≡ 1 (mod 10) Vậy 19971996 có chữ số tận cùng là: 1 Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của tổng B = 21 + 35 + 49 + …+ 20138045 Hướng dẫn Ta có: B = 21 + 35 + 49 + …+ 20138045 21 có tận cùng là 2 35 có tận cùng là 3 49 có tận cùng là 4 ………………… 20138045 có tận cùng là 2013 Suy ra: B có tận cùng là (2 + 3 + 4 + ….+ 2013) = (2 + 2013) 2013 − 2 + 1 = 2027090 2 Vậy:... trong phép chia 815 cho 2004 Hướng dẫn Ta có: 815 = 88.87 Thực hiện phép chia 88 cho 2004 được số dư là: r1 = 1732 Thực hiện phép chia 87 cho 2004 được số dư là: r2 = 968 Số dư trong phép chia 815 cho 2004 chính là số dư trong phép chia 1732 968 cho 2004 Vậy: Số dư của phép chia 88 cho 2004 là: R = 1232 II/ KHI ĐỀ CHO SỐ LỚN HƠN 10 CHỮ SỐ : A/ PHƯƠNG PHÁP: 1/ Cách 1: Tìm số dư của A khi chia cho B... 01 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 1,3,7,9 a20k ≡ 25 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 5 a20k ≡ 76 (mod 100) nếu a có chữ số tận cùng là 2,4,6,8 c) Tìm ba chữ số tận cùng của số an a100k ≡ 000 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng là 0 a100k ≡ 001 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng là 1,3,7,9 a100k ≡ 625 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng là 5 a100k ≡ 376 (mod 1000) nếu a có chữ số tận cùng