CHUYÊN ĐỀ VECTO LỚP 10

ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  1 CHƯƠNG1. CHUYÊNĐỀ1.VECTƠ I.KIẾNTHỨCCƠBẢN 1.Vectơ a)Kháiniệm:Vectơlàmộtđoạnthẳngcóhướng.  Nhậnxét: +Vectơthườngđượckíhiệubởi AB,a,  .Khiđó  A:làđiểmgốc  B:làđiểmngọn  HướngtừAđếnB +KhiđiểmgốcvàngọntrùngnhautacócácVectơ: AA,BB  đgl làVectơ–không.Kíhiệu: 0   +Độdàiđoạnthẳng AB đglđộlớnVectơ AB  .Kíhiệu: AB   b)Vectơcùngphương.Vectơcùnghướng.Vectơbằngnhau +Haivectơđglcùngphươngnếuchúngcógiásongsonghoặctrùngnhau.  Vídụ1.Cho2điểm A và B phânbiệt.Hỏicóbaonhiêuđoạnthẳngvàbaonhiêuvectơkhác 0   Vídụ2.Cho ABCD cântại A .Gọi M, N lầnlượtlàtrungđiểmcủa BC và AB . a) Đẳngthức AB AC=  đúnghaysai? b) Cácvectơcùnghướngvới AC  ? c) Cácvectơngượchướngvới BC  ? d) Cácvectơbằngnhau? Vídụ3.Chotứgiác ABCD .Chứngminhrằng ABCD làhìnhbìnhhành AB DC=    a B A ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  2 2.CácphéptoántrênVectơ  a)Tổnghaivectơ  Địnhnghĩa:Chohaivectơ a  và b  .Từđiểm A bấtkì,tavẽcácvectơ: AB a=  và BC b=  . Khiđóđặt cAC=   đgltổngcủa a  và b  .Kíhiệu: abc+=      Tínhchất: abba abcabc a0a ab a b +=+ ++=++ += +£ +           Cácquytắccầnnhớ: +Quytắc3điểm:Với3điểm A, B, C tacó: AB BC AC+=   +Quytắchìnhbìnhhành: AB AD AC+=   b)Hiệuhaivectơ  Vectơđối:Chovectơ a  .Vectơcùngđộlớnvàngượchướngvới a  đglvectơđốicủa a .Kí hiệu: a-    Tínhchất: + A, B: AB BA"=-    +Ilàtrungđiểm AB IA IB=-    + () AB AB =    Hiệu2vectơ:Chohaivectơ a  và b  .Hiệucủa a  và b  ,kíhiệu ab-  ,đượcđịnhnghĩabởi: () aba b-=+-      Quytắccầnnhớ: +Quytắc3điểm:Với3điểm A, B, C tacó: AB AC CB-=   c)Tíchcủamộtvectơvớimộtsố c b a b a C B A ChuyờnHỡnhhclp10 LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh 3 nhngha:Chovect a v k ẻ .Tacútớchca a vis k ,kớhiu ka vcxỏcnh nhsau: +Nu cuứng hửụựng vụựi thỡ a k0 ka: ka k . a ỡ ù ù ù ù ớ ù = ù ù ù ợ +Nu ngửụùc hửụựng vụựi thỡ a k0 ka: ka k . a ỡ ù ù ù ù < ớ ù = ù ù ù ợ Tớnhcht: + () () kl.a kla= + () kla kala+=+ + () ka b ka kb= + k0 ka 0 a0 ộ = ờ = ờ = ờ ở iukin2vectcựngphng: + a v () bb 0ạ cựngphng k:akb$ ẻ = + A, B, C thnghng k:ABkAC$ ẻ = Vớd1.Cho I ltrungim AB . M lmtimbtkỡ.Chngminh: MA MB 2MI+= Vớd2.Cho G ltrngtõm ABCD .Chngminh: GA GB GC 0++= Vớd3.Chngminhrng4im A, B, C , D btkỡtacú: AC BD AD BC+=+ II.PHNLOICCDNGBITP Dng1.Litkờvect Bitp1.Cholcgiỏcu ABCDEF cútõm O . a) Tỡmcỏcvectkhỏc 0 vcựngphngvi OA b) Tỡmcỏcvectbngvi AB c) Hóyvcỏcvectbngvi AB vcúimul O, D, C Bitp2.Cho5im A, B, C, D, E phõnbit.Cúbaonhiờuvectkhỏc 0 ,cúimuvim cuilcỏcimócho. Bi tp 3 Chotgiỏc ABCD . Gi M, N, P, Q ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, BC,CD, DA .Chngminh NP MQ= v PQ NM= ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  4 Bàitập4.Chohìnhbìnhhành ABCD .Dựng AM BA, MN DA, NP DC, PQ BC= ===       Bàitập5.Cholụcgiácđều ABCDEF .Hãyvẽcácvectơbằng AB  thỏamãn: a) Cóđiểmđầulà B, F, C  b) Cóđiểmcuốilà F, D , C  Dạng2.Chứngminhmộtđẳngthứcvectơ Bàitập1.Chohaitamgiác ABC và A'B'C' lầnlượtcótrọngtâmlà G và G' .Chứngminh rằng: () 1 GG' AA ' BB' CC ' 3 =++      Bàitập 2.Chotứgiác ABCD . Gọi I, J lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB và CD . Chứng minh AC BD AD BC 2IJ+=+=    Bàitập3.Cho5điểmbấtkì A, B, C, D, E .Chứngminh: AD BE CF AE BF CD++=++   Hướngdẫn.Tacó: AD BE CF AE BF CD AD BE CF AE BF CD 0 AD AE BE BF CF CD 0 ++=++++ = -+-+-=     ED FE DF 0 00 ++= =    Bàitập4.Chotamgiác ABC .Lầnlượtlấycácđiểm M, N, P trêncácđoạn AB, BC và CA sao cho: 111 AM AB ; BN BC ; CP CA 333 ===  Chứngminh: AN BP C M 0++ =    Hướngdẫn.Tacó: 11 BN BC AN AB BC 33 11 CP CA BP BC CA AN BP CM 0 33 11 AM AB CM CA AB 33 ü ï ï =-= ï ï ï ï ï ï =-= ++= ý ï ï ï ï ï =-= ï ï ï þ       Bài tập 5.Gọi AM làtrungtuyếncủa ABCD và D là trungđiểmcủa AM .Chứngminhrằng: a) 2DA DB DC 0++=    b) 2OA OB OC 4OD++=   ,với O làđiểmtùyý. D M A B C ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  5 Hướngdẫn.Tacó:  DB DC 2DM 2DA 2DA DB DC 0+= =-  ++=       Bàitập6.Gọi E, F lầnlượtlàtrungđiểmcủa AB, CD và O làtrungđiểmcủa EF .Hãychứng minhcácđẳngthứcsau: a) () 1 EF AC BD 2 =+    b) OA OB OC OD 0+++=       c) MA MB MC MD 4MO+++=      (Với M làmộtđiểmbấtkì) Hướngdẫn.Tacó: Bàit ập7.Chotamgiác ABC cótrọngtâm G .Gọi H làđiểmđốixứngcủa B qua G và M là trungđiểmcủa BC .Chứngminh: a) 21 AH AC AB 33 =-     b) () 1 CH AB AC 3 =- +   c) 15 MH AC AB 66 =-     Hướngdẫn.Tacó: a) Tacó AGCH làhìnhbìnhhànhnên: AH AG AC AH AC AG+==-     () 121 AH AC AB AC AH AC AB 333 =- + = -       b) () 1 CH AG AB AC 3 =- =- +    c) Tacó: ()() 11 1 15 MH MC CH BC CH AC AB AB AC AC AB 22 3 66 =+= += + = -      Bàitập8.Chotamgiác ABC ,bênngoàicáctamgiácvẽcáchìnhbìnhhành ABMN, BCPQ và CARS .Chứngminh RN MQ PS 0++=      Hướngdẫn.Tacó: ()( )( ) RN MQ PS RA AN MB BQ PC CS RA CS AN MB BQ PC 0 ++=+++++ =+++++=           G M N A B C H ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  6 Bàitập9.Chotamgiác ABC .Cácđiểm M, N và P lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh AB, AC  và BC .Chứngminhrằngvớiđiểm O bấtkìtacó: OA OB OC OM ON OP++= ++       Bàitập10.Chotứgiác ABCD .Gọi I, J lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh BC và CD .Chứng minh: () 2AB AI JA DA 3DB++ + =       Hướngdẫn. I, J lầnlượtlàtrungđiểmcủacáccạnh BC và CD nên: DB 2IJ=  .Tacó: ()()() 2 AB AI JA DA 2 DA AB JA AI 2 DB JI 3DB+++ = + + + = +=        Dạng3.Tínhđộdàicủavectơ Bàitập1.Chotamgiácđềucạnh a , M làtrungđiểm BC .Tính AB , AM , MC   Bàitập2.Chohìnhvuông ABCD cạnh b .Tính DA AB , DA DC , DB DC-++      Bàitập3.Chotamgiácđềucạnh a .Tính AB AC , AB AC+-    Bàitập4.Chohìnhvuông ABCD cạnh b .Tính DA AB , DA DC , DB DC-++      Bàitập5.Chotamgiácđềucạnh a , I làtrungđiểmcủa BC .Hãyvẽvàtínhđộlớncácvectơ sau: a) AB AC+    b) AB AI+   c) AB AC-    d) AC BI-   Dạng4.Chứngminhbađiểmthẳnghàng. Đểchứngminhbađiểm A, B, C phânbiệtthẳnghàng,tacầnchứngminh AB  và AC  cùngphương hay () AB kAC k 0=¹   Bàitập1.Chohìnhbìnhhành ABCD .Gọi I làtrungđiểmcủa CD .Lấyđiểm M trênđoạn BI  saocho BM 2MI= .Chứngminhbađiểm A, M, C thẳnghàng. Hướngdẫn.Tacó: () BM 2MI AM AB 2 AI AM=-= -      3AM 2AI AB 3AM AC AD AB 2AC =+ =++=         M I D A B C ChuyờnHỡnhhclp10 LờNgcSn_THPTPhanChuTrinh 7 Bitp2.Chotamgiỏc ABC ,trngtõm G .Gi D limixngca A qua B v E lim trờnon AC saocho 2 AE AC 5 = . a) Tớnh DE, DG theo AB v AC b) Chngminh3im D, G, E thnghng. c) Gi K limthamón KA KB 3KC 2KD++ = .Chngminh KG/ /CD Hngdn.Tacú a) Tacú: 2 DE AE AD AC 2AB 5 =-= - () 1 DG AG AB AB AC 2AB 3 51 DG AB AC 33 =-= + - =- + b) Theocõuatacú: () () 22 DE AC 2AB AC 5AB 6 55 DE DG 1 5 DG 5AB AC 3 ỹ ù ù =-= - ù ù ù = ý ù ù =- + ù ù ù ỵ c) Tacú: () KA KB 3KC 2KD KA KB KC 2 KD KC 3KG 2CD++ = ++= - = KG, CD cựngphng. Vỡ G, C, D khụngthnghngnờn KG v CD songsong. Bitp3.Chotamgiỏc ABC .Gi D limxỏcnhbi 2 BD BC 3 = v I ltrungimca AD .Gi M limthamón AM xAC= vi x ẻ a) Tớnh BI theo BA v BC b) Tớnh BM theo BA v BC c) Tớnh x baim B, I, M thnghng Hngdn.Tacú: a) I ltrungim AD nờn: () 11211 BI BA BD BA BC BA BC 22323 ổử ữ ỗ ữ =+=+=+ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốứ G A B C D E ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  8 b) Tacó: () () AM xAC BM BA x BC BA BM 1 x BA xBC=-= -=- +        c)Tacó:Đểbađiểm B, I, M thẳnghàng  tồntạisố k saocho BM kBI=   . () () kk 2 BM kBI 1 x BA xBC BA BC 2 1 x 3x x 23 5 =- + = + -==      Bàitập4.Chobađiểm A, B, C và O tùyý.Chứngminhrằng A, B, C thẳnghàngkhivàchỉ khi: OA kOB OC , k 1 1k + ="¹- +     Hướngdẫn.Tacó: A, B, C thẳnghàng () AC kCB OC OA k OB OC= -= -      Bài t ập 5.Chotứgiác ABCD .Trêncáccạnh AB và CD  ta lấy các điểm M, N saocho AM DN AB DC = .Chứngminhrằngtrungđiểmcủabađoạnthẳng AD, B C, MN thẳnghàng. Hướngdẫn. +Đặt AM kAB AM DN k AB DC DN kDC ì ï = ï ï == í ï = ï ï î      +Tacó: 2PQ AB D C=+   +Tacó: () 2PR AM DN k AB DC=+= +       Bàitập6.Chotamgiác ABC .Trên AB lấyđiểm D saocho 3 BD BC 5 =  vàmộtđiểm E thỏa mãn 4EA 2EB 3EC 0++=   a) Tính ED  theo EB  và EC   b) Chứngminh3điểm E, A, D thẳnghàng. Hướngdẫn. a)Tacó: () 3 BD BC 5BD 3BC 5BD 3 BD DC 5 ===+   R Q P A B C D M N A B C E D ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  9 ()() 2DB 3DC 0 2 DE EB 3 DE EC 0 23 ED EB EC 55 += ++ += = +     b)Tacó: 4EA 2EB 3EC 0 4EA 2EB 3EC 0 5 EA ED 23 4 5ED 2EB 3EC ED EB EC 55 ì ï ì ï ++= ï ++= ï ï ïï =- íí ïï =+ =+ ïï ïï î ï î       Bàitập7.Chotamgiác ABC .Gọi I làtrungđiểmcủa BC ,gọi D và E là2điểmsaocho:  BD DE EC==   a) Chứngminhrằng: AB AC AD AE+=+     b) Tínhvectơ AS AB AC AD AE=+++     theo AI   c) Suyra3điểm A, I, S thẳnghàng Hướngdẫn. a) Tacó: AB AC AD DB AE E C AD AE E C DB AD AE+=+++=+++=+     b) Tacó: I làtrungđiểm BC nên: AB AC AD AE 2AI+=+=    .Dođótacó: AS AB AC AD AE 4AI=+++=      A, I, S thẳnghàng Bàitập8.Chotamgiác ABC ,lấycácđiểm M, N, P saocho: MB 2MC NA 2NC PA PB 0-=+=+=      a) Tính PM, PN   theo AB, AC   b) Chứngminhrằng M, N, P thẳnghàng Hướngdẫn. a)Tacó: 1 PM PA AM AB AN NM 2 12 AB AC NC CM 23 12 AB AC NC BC 23 1 AB 2 =+ =- ++ =- + + + =- + + + =-         21 AC AC AC AB 33 3 2AC AB 2 +++- =-   N P C B M A ChuyênđềHìnhhọclớp10   LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  10 21 1 3 PN PA AN AC AB 2AC AB 32 3 2 æö ÷ ç ÷ =+= - = - ç ÷ ç ÷ ç èø    b)Theocâuatacó: 1 PN PM 3 =   M, N, P thẳnghàng Bàitập9.Chotamgiác ABC .Gọi M, N làcácđiểmsaocho: MA 2MB=   và 3NA 2NC 0+=    a) Tính MN  theo AB, AC   b) Chứngminh MN điquatrọngtâm G củatamgiác ABC  Hướngdẫn. a)Tacó: () MA 2MB MA 2 MA AB M A 2AB== +=-        () 2 3NA 2NC 0 3 NC CA 2NC 0 NC AC 5 += ++==     2 MN MA AN 2AB AC 5 =+=-+       b)Tacó: () 21 5152 MG MA AG 2AB AI 2AB AB AC AB AC 2AB AC 33 3365 æö ÷ ç ÷ =+=-+ =-+ +=- + =-+ ç ÷ ç ÷ ç èø         5 MG MN 6 =     MN điquatrọngtâm G củatamgiác ABC  Dạng5.Tìmtậphợpđiểm thỏamãnhệthứchaytínhchấtchotrước Nếulàhệthứcvectơthìbiếnđổivềdạng AM k.v=   ,trongđó k làsốthựcthayđổi, v  làvectơcho trước.Nhưvậytậphợpcácđiểm M làđườngthẳngqua A vàcùngphươngvới v  . Nếulàhệthứcvềđộdàithìrútgọnhệthứcđãchovềdạng: AM l=  (với A cốđịnh, l làđộdàicho sẵn).Nhưvậytậphợpcácđiểm M là: a) Đườngtròntâm A bánkính l nếu l0>  b) Điểm A nếu l0=  c) Æ nếu l0<  Bàitập1.Chohìnhbìnhhành ABCD .Tìmtậphợpcácđiểm M thỏamãn: MA MB MC MD 4AB+++ =      Hướngdẫn. G I A B C M N [...]... 2OD = 0 12 Chuyên đề Hình học lớp 10 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh               MB + 4MC - 2MD = 3MA  MO + OB + 4MO + 4OC - 2MO - 2OD = 3MA    3MO = 3MA  MO = MA  Bài tập 7 Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:         MA + MB + MC + MD + ME + MF = 3 MA - MD CHUYÊN ĐỀ 2 TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG...             4MA - MB = MA + 2MC  4MD + 4DA - MD - DB = ME + EA + 2ME + 2EC  3MD = 3ME  MD = ME Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn DE 11 Chuyên đề Hình học lớp 10 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh  Bài tập 4 Cho tam giác ABC Gọi M, N là 2 điểm bất kì        a) Chứng minh rằng u = NA + NB - 2NC không phụ thuộc vào điểm N  .. .Chuyên đề Hình học lớp 10 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh          + Gọi O là trọng tâm ABCD  OA + OB + OC + OD = 0      + Do đó ta có: MA + MB + MC + MD = 4AB  4MO... trên trục lần lượt có tọa độ là a và b thì: AB = b - a  Định lí Trên trục số:  Với 3 điểm bất kì trên trục, ta có: AB + BC = AC (hệ thức Sa‐lơ)      Hai vectơ AB và CD bằng nhau  AB = CD 13 Chuyên đề Hình học lớp 10 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh 2 Hệ trục tọa độ     Hệ trục tọa độ O, i, j gồm hai trục O, i và O, j vuông góc với nhau ( ) ( ) ( )  Tọa độ vectơ :     u = (a; b)  u . BC và CA sao cho: 11 1 AM AB ; BN BC ; CP CA 333 ===  Chứngminh: AN BP C M 0++ =    Hướngdẫn.Tacó: 11 BN BC AN AB BC 33 11 CP CA BP BC CA AN BP CM 0 33 11 AM AB CM CA AB 33 ü ï ï =-= ï ï ï ï ï ï =-=.   () 12 1 AH AC AB AC AH AC AB 333 =- + = -       b) () 1 CH AG AB AC 3 =- =- +    c) Tacó: ()() 11 1 15 MH MC CH BC CH AC. ChuyênđềHìnhhọclớp 10    LêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh  1 CHƯƠNG 1.  CHUYÊNĐỀ 1. VECTƠ I.KIẾNTHỨCCƠBẢN 1. Vectơ a)Kháiniệm:Vectơlàmộtđoạnthẳngcóhướng.  Nhậnxét: +Vectơthườngđượckíhiệubởi AB,a,