[CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ [CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ Group facebook com/groups/chungtacungtien hcmut/ Trang 1 TÀI LIỆU ÔN TẬP[.]
[CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ TÀI LIỆU ƠN TẬP GIẢI TÍCH TÍCH PHÂN BỘI Nội dung gồm chủ điểm : Tích phân tọa độ Đề - Tích phân tạo độ trụ Tích phân tọa độ cầu Tài liệu biên soạn Ban Chuyên môn – CLB [CTCT] Chúng Ta Cùng Tiến Đây tâm huyết anh/chị/bạn CLB [CTCT], gửi tặng đến em, bạn sinh viên K17 – Đại học Bách Khoa Tp.HCM (BKU) Bản quyền thuộc cộng đồng Chúng Ta Cùng Tiến Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN TÍCH PHÂN TRONG TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC Ta thay đổi thứ tự lấy tích phân tương tự tích phân kép Điều có nghĩa lấy tích phân theo biến trước tùy ý Từ ta có cơng thức chuyển tích phân kép sau: ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧] 𝑑𝑥𝑑𝑦 Ω 𝐷𝑥𝑦 Với Dxy hình chiếu Ω xuống Oxy = ∬ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥] 𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦] 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝐷𝑦𝑧 𝐷𝑥𝑧 Rồi từ ta tính tích phân kép học Ví dụ : Tính ∭ 𝑥 𝑦√𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Ω 𝑥 = 0; 𝑥 = Ω hình hộp chữ nhật giới hạn {𝑦 = 0; 𝑦 = 𝑧 = 0; 𝑧 = Lời giải : 4 2 ∭ 𝑥 𝑦√𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ ∫ 𝑥 𝑦√𝑧𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ √𝑧𝑑𝑧 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑦𝑑𝑦 = 64 Ω 𝐷𝑥𝑦 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ 0 Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN TÍCH PHÂN TRONG TỌA ĐỘ TRỤ Trong tọa độ trụ thật ta tích phân theo biến z trước, sau áp dụng tọa độ cực tích phân kép cho biến x, y 𝑧2 ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬ [ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧] 𝑑𝑥𝑑𝑦 Ω 𝐷𝑥𝑦 𝑧1 Do ta cần xác định z1 z2 mặt mặt trên, mặt mặt để lấy cận tích phân cho Xác định hình chiếu Dxy { 𝛼≤𝜑≤𝛽 tương tự tọa độ cực 𝑟1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑟2 Lưu ý: Biểu thức Jacobi: J = r 𝑧=0 2 𝑧 Ví dụ : 𝐼 = ∭Ω 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , Ω { = 𝑥 + 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 = Lời giải : Đầu tiên ta cần xác định Ω cách xác định mặt cho: mặt phẳng z = { mặt parabolic elipticz = x + y mặt trụ x + y = Ta có mặt: 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 nằm mặt z = 𝑥 +𝑦 𝐼 = ∬[ ∫ 𝐷𝑥𝑦 𝑥 𝑑𝑧] 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑣ớ𝑖 𝐷𝑥𝑦 { 𝑥 + 𝑦 ≤ 1} = ∬ 𝑥 (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 0≤𝑟≤1 Đặt { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 => { ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 2𝜋 1 2𝜋 => 𝐼 = ∫ ∫ 𝑟 cos 𝜑𝑟 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜑 = ∫ 𝑟 𝑑𝑟 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝜑𝑑𝜑 = 0 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ 0 𝜋 Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN TÍCH PHÂN TRONG TỌA ĐỘ CẦU Tọa độ cầu Thường Ω xuất hiên x2 + y2 + z2… 𝑥 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 Ta đặt: { 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 0≤𝜃≤𝜋 Trong { tốn góc bị giới hạn lại ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 Để giới hạn r, ta dùng BĐT liên quan tới x2 + y2 + z2 Để giới hạn 𝜃, ta triệt tiêu x, y phương trinh Có bất đẳng thức theo z Từ thay z = rcos𝜃 để giới hạn 𝜃 Để giới hạn 𝜑, ta triệt tiêu z, nghĩa chiếu Ω 𝑙ê𝑛 0xy Lưu ý: Jacobi: J = r2sin𝜽 Ví dụ 1: 𝐼= ∭ √𝑥 + 𝑦2 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑣ớ𝑖 Ω { Ω 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 2𝑧 𝑧 ≤ √𝑥 + 𝑦 Lời giải : Tìm r: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 2𝑧 ≤ 𝑟 ≤ 2𝑐𝑜𝑠𝜃 Tìm 𝜃: Chọn mặt phẳng cắt Ω chứa Oz Chọn x = 𝐷1 { 𝑦 + 𝑧 ≤ 2𝑧 𝑧 ≤ √𝑥 + 𝑦 = √𝑦 = ±𝑦 0≤𝜃≤𝜋 𝑇ì𝑚 𝜑: Hình chiếu xuống Oxy Dxy: 𝑥 + 𝑦 ≤ ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 𝜋 2𝜋 2𝑐𝑜𝑠𝜃 => 𝐼 = ∫ ∫ ∫ 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜑 0 Gợi ý dùng tọa độ cực hay tọa độ cầu: Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Khi có trụ, thường dùng tọa độ trụ (xuất 𝑥 + 𝑦 ) Khi có cầu, thường dùng cầu (xuất 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ) Khi có cầu, trụ , ưu tiên dùng tọa độ trụ để việc tính tốn đơn giản x + y ≤ 2z Ví dụ 2: Tính I = ∭Ω zdxdydz , với Ω { x + y2 + z2 ≤ Lời giải : Ta thấy đề xuất trụ 𝑥 + 𝑦 cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ Ta tính tích phân theo tọa độ trụ: 𝑧 ≥ Ta có: { 𝑧 ≤ √3 − 𝑥2 √3−𝑥 −𝑦 →𝐼 = ∬ 𝐷𝑥𝑦 [ ∫ 𝑥 +𝑦 2 𝑥 +𝑦2 − 𝑦2 (𝑑𝑜 𝑧 ≥ 0) − 𝑥2 − 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 𝑧𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 == ∬ [ − ( ) ] 𝑑𝑥𝑑𝑦 2 𝐷𝑥𝑦 ] 𝐷𝑥𝑦: 𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝜋 √2 − 𝑟2 5𝜋 → 𝐼 = ∫ ∫ 𝑟[ − 𝑟 ] 𝑑𝑟𝑑𝜑 = 0 Tọa độ cầu suy rộng ▪ Cầu dời tâm: (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 + (𝑧 − 𝑐)2 = 𝑅 Tương tự tọa độ cầu: 𝑥 − 𝑎 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 Đặt: { 𝑦 − 𝑏 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑧 − 𝑐 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 Lưu ý: Jacobi tương tự tọa độ cầu: J = r2sin𝜽 𝑥 𝑦 𝑧 Elipsolid : (𝑎) + (𝑏 ) + (𝑐 ) = 𝑅 𝑥 Đặt 𝑎 𝑦 𝑏 𝑧 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 { 𝑐 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 Lưu ý: Jacobi: J = abc r2sin𝜽 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Ví dụ 3: 𝐼 = ∭ √𝑥 + 4𝑦 + 9𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , với Ω { Ω 𝑥 + 4𝑦 + 9𝑧 ≤ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ≥ Lời giải : Chuyển phương trình sau: 𝑥 + Đặt: 𝑥 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑 { 𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑦2 ( ) + 𝑧2 ≤1 ( ) 0≤𝑟≤1 𝜋 => { ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 0≤𝜑≤2 𝜋 𝜋 1 𝜋 => 𝐼 = ∫ ∫ ∫ 𝑟 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜑 = 48 0 Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang