[CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ [CTCT] CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage facebook com/Chungtacungtien/ Group facebook com/groups/chungtacungtien hcmut/ Trang 1 TÀI LIỆU ÔN TẬP[.]
[CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ TÀI LIỆU ƠN TẬP GIẢI TÍCH II CHUỖI SỐ Nội dung gồm chủ điểm : Khảo sát chuỗi số (thường) Khảo sát chuỗi lũy thừa Tài liệu biên soạn Ban Chuyên môn – CLB [CTCT] Chúng Ta Cùng Tiến Đây tâm huyết anh/chị/bạn CLB [CTCT], gửi tặng đến em, bạn sinh viên K17 – Đại học Bách Khoa Tp.HCM (BKU) Bản quyền thuộc cộng đồng Chúng Ta Cùng Tiến Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHÂN LOẠI ◊ Chuỗi số ( thường): ∞ ∑ 𝑎𝑛 𝑛=1 ◊ Chuỗi lũy thừa: ∞ ∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 𝑛=1 PHẦN KHẢO SÁT CHUỖI SỐ (THƯỜNG) □ Gồm nội dung : - Chuỗi không âm (không dương) - Chuỗi không xác định dấu - Chuỗi đan dấu CHUỖI KHƠNG ÂM a) Nhận biết _ Chuỗi khơng âm chuỗi thỏa mãn: 𝑎𝑛 ≥ 0, ∀𝑛 _ Nếu chuỗi không dương: 𝑎𝑛 ≤ 0, ∀ 𝑛 → Ta đặt dấu trừ ngồi khảo sát chuỗi khơng âm b)Cách khảo sát hội tụ _ Xét điều kiện cần: Nếu lim 𝑎𝑛 ≠ ⇒ chuỗi phân kỳ (kể trường hợp giới hạn không tồn tại) 𝑛→+∞ Nếu lim 𝑎𝑛 = ⇒ chưa kết luận thêm 𝑛→+∞ Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ _ Tiêu chuẩn bản: ∞ ∑ 𝑞 𝑛 𝑛=1 ∞ ∑ 𝑛=1 𝑛𝛼 { hội tụ |𝑞| < phân kỳ |𝑞| ≥ hội tụ 𝛼 > { phân kỳ α ≤ ∞ ∑ 𝛼 𝛽 𝑛 ln 𝑛 𝑛=1 𝛼>1 𝛼 = 1, 𝛽 > { 𝛼≤1 phân kỳ [ 𝛼 = 1, 𝛽 ≤ hội tụ [ _ Tiêu chuẩn so sánh Nếu ≤ an ≤ bn ⇒ { ∑ an phân kỳ ∑ bn phân kỳ ∑ bn hội tụ ∑ an hội tụ _ Tiêu chuẩn so sánh Xét 𝐾 = lim 𝑎𝑛 n→+∞ 𝑏𝑛 𝐾 = ⇒ ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 Giống tiêu chuẩn so sánh 𝐾 = +∞ ⇒ ≤ 𝑏𝑛 < 𝑎𝑛 Giống tiêu chuẩn so sánh 𝐾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ≠ an ; bn hội tụ phân kỳ * Lưu ý: Ta thường sử dụng tiêu chuẩn SS1 SS2 để so sánh chuỗi cần khảo sát với chuỗi có dạng Ngồi tiêu chuẩn cịn sử dụng tiêu chuẩn Cauchy D’Alembert trình bày phần CHUỐI KHÔNG XÁC ĐỊNH DẤU _ Tiêu chuẩn Cauchy Xét C= n | an | C 1 Phân kì C=1 Chuyển cách làm khác không xác định phân kỳ hay hội tụ Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ _ Tiêu chuẩn Dalembert Xét D an 1 an D1 Phân kì D=1 Chuyển cách làm khác _ Khảo sát hội tụ tuyệt đối Xét chuỗi không âm an , chuỗi hội tụ n 1 a n 1 n hội tụ (gọi hội tụ tuyệt đối) * Lưu ý: Nếu a n 1 n phân kỳ, chưa kết luận a n 1 n phân kỳ Khi sử dụng tiêu chuẩn Cauchy D’Alembert, ý không thiếu dấu giá trị tuyệt đối CHUỖI ĐAN DẤU _ Định nghĩa: +∞ ∑(−1)𝑛 𝑎𝑛 𝑛=1 𝑎𝑛 ln dương ln âm _ Cách khảo sát: Tiêu chuẩn Cauchy Tiêu chuẩn D’Alembert Tiêu chuẩn Leinitz: Chuỗi đan dấu hội tụ thỏa điều kiện + lim 𝑎n = 𝑛→∞ + 𝑎𝑛 giảm (nếu 𝑎𝑛 dương) (chứng minh 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛 𝑎′ (𝑛) ≤ với 𝑛) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ Các lưu ý khảo sát chuỗi số: Do Cauchy Dalembert dùng cho chuỗi không xác định dấu nên dùng cho dạng chuỗi không âm chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Cauchy nên dùng mũ xuất n Tiêu chuẩn Dalembert nên dùng 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 bị triệt tiêu nghĩa an dạng tích số (gần tất trường hợp mà không dùng Cauchy) Chú ý sử dụng phép tương đương VCL, VCB khai triển Maclaurint cho hàm biến khảo sát Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ PHẦN KHẢO SÁT CHUỖI LŨY THỪA ∞ ∑ 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 𝑛=1 CÁCH KHẢO SÁT Ta khảo sát an hai tiêu chuẩn (1 2)2 𝑛 − Tiêu chuẩn Cauchy: 𝜌 = 𝐶 = 𝑙𝑖𝑚 √|𝑎𝑛 | 𝑎𝑛+1 − Tiêu chuẩn D′Alembert: 𝜌 = 𝐷 = 𝑙𝑖𝑚 | 𝑎𝑛 Bán kính hội tụ: 𝑅= | 𝜌 Xét điểm biên : 𝑥 − 𝑥0 = 𝑅 (𝑥 = 𝑥0 + 𝑅) ⇒ Chuỗi trở thành : ∞ ∞ ∑(𝑥 − 𝑥0 )𝑛 = ∑ 𝑎𝑛 𝑅 𝑛 𝑛=1 𝑛=1 sau ta khảo sát PHẦN 𝑥 − 𝑥0 = −𝑅 (𝑥 = 𝑥0 − 𝑅) ⇒ Chuỗi trở thành : ∞ ∑ 𝑎𝑛 (−𝑅)𝑛 𝑛=1 sau ta khảo sát PHẦN Kết luận miền hội tụ: Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang [CTCT] - CHÚNG TA CÙNG TIẾN Fanpage : facebook.com/Chungtacungtien/ VÍ DỤ +∞ ∑ 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛=1 𝑎𝑛+1 𝑛+1 𝑎𝑛 = 𝑛 ⇒ 𝜌 = 𝑙𝑖𝑚 | | = 𝑙𝑖𝑚 | | =1 𝑎𝑛 𝑛 * Bán kính hội tụ: 𝑅 = 𝜌 = * Xét biên: ∞ ∞ + 𝑥 = , ta có ∑ 𝑛 1𝑛 = ∑ 𝑛 𝑛=1 𝑛=1 => Phân kì theo điều kiện cần chuỗi hội tụ ∞ + 𝑥 = −1 , ta có ∑ 𝑛 (−1)𝑛 𝑛=1 => Phân kì theo điều kiện cần chuỗi hội tụ *Kết luận: Miền hội tụ là: (-1; 1) Group : facebook.com/groups/chungtacungtien.hcmut/ Trang