Một số vấn đề về chuỗi số và chuỗi hàm

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CAO YẾN NHI MỘT SÔ VÂN ĐÊ VÊ CHUÔI SƠ VÀ CHI HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN Bình Đinh - Năm 2020 CAO YẾN NHI MỘT SÔ VÂN ĐÊ VÊ CHUÔI SÔ VÀ CHUÔI HÀM Chuyên ngành: Phương Pháp Toán sơ CẤP Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC TS NGUYỄN NGỌC QC NGƯỜI HƯỚNG DẪN THƯƠNG Muc luc Mở đầu Chuỗi số chuỗi hàm chủ đề trọng tâm giải tích tốn học Trong lý thuyết chuỗi số, chuỗi hàm người ta ln quan tâm đến hội tụ, phân kỳ chúng Trong trường hợp chuỗi hội tụ ta quan tâm đến việc tìm tổng chuỗi hội tụ Luận văn nhằm nghiên cứu trình bày cách có hệ thống các đinh lý hội tụ chuỗi số, chuỗi hàm ứng dụng quan trọng chúng Một số phương pháp đặc biệt để khảo sát hội tụ chuỗi số, chuỗi hàm tính tổng trường hợp chúng hội tụ quan tâm nghiên cứu Nội dung luận văn chia thành ba chương Chương nhắc lại số kiến thức dãy số, dãy hàm chuỗi hàm Chương trình bày đinh lý hội tụ chuỗi số chuỗi hàm, bao gồm điều kiện cần, điều kiện đủ để chuỗi số, chuỗi hàm hội tụ Một số phương pháp tìm tổng chuỗi hội tụ chúng tơi trình bày chi tiết chương Chương cuối dành cho việc giới thiệu số ứng dụng chuỗi Taylor việc tính giới hạn hàm số, tính gần tích phân tìm nghiệm gần phương trình vi phân Luân văn tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm muốn tìm hiểu sâu vấn đề chuỗi số chuỗi hàm Luận văn hoàn thành Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Ngọc Quốc Thương Nhân tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy Tôi biết ơn tất thầy Khoa Tốn Thống kê dạy dỗ, dìu dắt tơi suốt năm học Thạc sỹ Tôi xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn lớp Cao học Toán K21 (2018-2020) quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian qua Cuối xin bày tỏ lịng kính trọng, biết ơn bố, mẹ gia đình người thân tơi Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng thể trách khỏi thiếu sót Rất mong q thầy cơ, bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện Bịnh Định, tháng năm 2020 Học viên Cao Yến nhi Chương Đại cương vê chuôi sô chuôi hàm Chương dành cho việc nhắc lại số kiến thức dãy số, chuỗi số, dãy hàm chuỗi hàm Các chứng minh chi tiết tham khảo tài liệu [1] 1.1 Một sô khái niêm dãy sô dãy hàm 1.1.1Một sô khái niêm dãy sô Định nghĩa 1.1 Dãy số ánh xạ a : N R cho n a(n) := a Dãy số thường ký hiệu {a }, Pa q, a , a , , a , Trong luận văn ta dùng ký hiệu Pa q n n n n n Định nghĩa 1.2 Ta nói dãy số Pa q có giới hạn L P R với E > 0, tồn N = N:: P N cho với n > N ta có n |an - L| ă £ Ta ký hiệu lim a = L, a n n L n ^8 n^8 Nếu dãy số Pa q có giới hạn L P R ta nói dãy Pa q hội tụ, ngược lại ta nói dãy panq phân kỳ n n Định lý 1.3 (Đinh lý hội tụ đơn điệu, [1]) Cho dãy số pa q n Nếu Pa q tăng bi chặn Pa q hội tụ, ta có n n lim an = sup{an : n P Nu n^8 Nếu Pa q giảm bi chặn Pa q hội tụ, ta có n n lim an “ inf tan : n P Nu n^8 Định nghĩa 1.4 (Dãy Cauchy, [1]) Dãy số Pa q gọi dãy Cauchy (hay dãy bản) với E > 0, tồn N “ Np&q P N cho với m > n > N ta có n 1a m a 1ă n £• Định lý 1.5 ([1]) Dãy Pa q hội tụ Pa q dãy Cauchy n n 1.1.2Một số khái niệm dãy hàm Định nghĩa 1.6 (Hội tụ điểm, [1]) Dãy hàm tfn-Px'qU xác đinh A Ă R gọi hội tụ điểm đến hàm số f Pxq A với E > x P A, tồn N “ Np£, xq P N cho với n > N ta có |fnpxq - f pxq| ă £ Ký hiệu: f n.xỉ > f (x), X P A Định nghĩa 1.7 (Hội tụ đều, [1]) Dãy hàm {/nPxỴị xác đinh A Ă R gọi hội tụ đến hàm số f Pxq A với £ > 0, tồn N “ Np&q P N cho với n > N X P A ta có |f pxq - f pxq| ă n £ Ký hiệu: npxq f f (x), X P A Nhận xét 1.8 Từ hai đinh nghĩa trên, ta dễ dàng suy nhận xét quan trọng sau: Nếu dãy hàm tfn.px'qu hội tụ đến hàm số f Pxq A tf PxỴU hội tụ điểm đến hàm số f Pxq A n Định lý 1.9 ([1]) Dãy hàm tfn.px'qu xác đinh A Ă R hội tụ đến hàm số f Pxq A sup |f pxq — f pxq| n 0, n ^8 xPA Định lý 1.10 ([1]) Dãy hàm tfn.px'qu xác đinh A Ă R hội tụ đến hàm số f Pxq A với £ > 0, tồn N “ NPe) P N cho với m > n > N X P A ta có \fmpxq — fnpxq\ ă £■ Định lý 1.11 ([1]) Dãy hàm tỉnPxỴU xác đinh A Ă R hội tụ điểm đến hàm số f Pxq A với E > x P A, tồn N — N(e, x) P N cho với m > n > N ta có IfmPxq - fnPxq| ă £ Định lý 1.12 ([1]) Cho dãy hàm tfn.px'q} xác đinh A Ă R giả sử với n P N, hàm số fn.px'q liên tục điểm x P A Nếu dãy hàm tfn-Px'qU hội tụ đến hàm số f Pxq A hàm số f Pxq liên tục điểm x 0 Nhận xét 1.13 Từ đinh lý ta suy tfn-Px'qU liên tục A tfn-Px'qU hội tụ đến f Pxq A f Pxq liên tục A Mơt số khái niêm tính chất chuỗi số 1.2 1.2.1 Môt số khái niêm chuỗi số Định nghĩa 1.14 ([2]) Cho dãy số thực {a } Một tổng có dạng n ' a ' • • • ' a ' • • • n gọi chuỗi số Chuỗi số ký hiệu 1' 2' a a •••' n' a (1.1) • • • “ ^2 an n“i {a } — a , a , , Một chuỗi coi n • •> a , gọi chuỗi số a số hạng thứ n chuỗi n n xác đinh xem số hạng chuỗi biết Ví dụ 1.1 Xét dãy số {a } với a — n n — -— Khi ta nhận chuỗi số npn ' iq hàm số n, a — f (n) n 11 an “ ũ '23 + "' + n“1 npn ' iq Định nghĩa 1.15 Xét chuỗi số (1.1) Ta đặt 51 “ a1, 52 — ' a2, Sn — ' a2 ' • • • ' an Khi ta nhận dãy số {Sn} dãy gọi dãy tong riêng thứ n chuỗi số (1.1) Định nghĩa 1.16 ([2]) Xét chuỗi số (1.1) gọi tS U dãy tổng riêng thứ n chuỗi số n • Nếu dãy số tS U hội tụ số thực S ta nói chuỗi số (1.1) hổi tụ có tổng S, ta viết n an “ S n“1 • Nếu dãy số tS U phân kỳ ta nói chuỗi số (1.1) phân kỳ (hay khơng hội tụ) n 11 Ví dụ 1.2 ([2]) Xét chuỗi số >, , VL Jy , Ta tính S “ -—-, • n n(n' 1) n' 1’ n“1 lim S “ Vậy chuỗi cho hội tụ có tổng n n^8 1.2.2 Một số tính chất chuỗi số 88 Tính chất 1.1 Nếu chuỗi số ^2 un hội tụ có tổng S, chuỗi số ^2 hội tụ có tổng n“1 n“1 S1 chuỗi (u ' v ) hội tụ có tổng S ' S1 n n n“1 Chứng minh Gọi S S' tổng riêng thứ n chuỗi số ^2 u n n n n“1 n“1 v Khi lim S “ S lim S' “ S Suy lim pS ' S' ) “ S ' S' n^8 n n n n n n^8 n^8 Ta có điều phải chứng minh 88 Tính chất 1.2 Nếu chuỗi số ^2 un hội tụ có tổng S chuỗi số ^2 kun hội n“1 n“1 tụ có tổng kS Chứng minh Gọi S tổng riêng thứ n chuỗi số ^2 u n“1 n n Ta có lim kSn “ k lim Sn “ kS n^8 n^8 Ta có điều phải chứng minh Tính chất 1.3 Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi số không thay đổi ta ngắt bỏ khỏi chuỗi số số hữu hạn số hạng Chứng minh Nếu bớt từ n=m'1 n“1 ^2 un m số hạng đầu tiên, ta chuỗi số ^2 u Gọi S S'k tổng riêng thứ n thứ k chuỗi số un n n“ 10 u n n=m'1 Suy S'k “ Sm'k - Sm + Nếu chuỗi số ^2 u hội tụ n n“ S' Sk mk S m ' k > S - Sm k > 8 Suy chuỗi số ^2 u hội tụ n n=m'1 + Nếu chuỗi số ^2 u phân kỳ Suy S ' khơng có giới hạn k >8 n“ S hữu hạn Do Sk khơng có giới hạn k ^8 n mk m Suy chuỗi số ^2 u phân kỳ n n=m'1 Chứng minh Gọi S S' tổng riêng thứ n chuỗi số n u n n n“1 Khi n“1 lim Sn “ S lim S “ S n n^8 n^8 Suy lim ps ' Snq “ S ' S' n n^8 Ta có điều phải chứng minh Ví dụ 1.3 Xét hội tụ chuỗi số > , ——- “in ' n“ Bài giải Chuỗi suy từ chuỗi điều hòa cách ngắt bỏ số hạng dầu tiên Mà chuỗi điều hòa phân kỳ nên chuỗi / —-—ncũng phân kỳ ' “1 1.3 Một số khái niêm tính chất chuỗi hàm 1.3.1 Một số khái niêm chuỗi hàm Định nghĩa 1.17 ([2]) Cho dãy hàm tun.px'qu xác đinh D Ă R Khi tổng có dạng u pxq “ u px'q' u pxq' ■ ■ ■' u pxq' ■ ■ ■ n n (1.2) n“1 gọi chuỗi hàm xác đinh D Khi cố đinh x “ x P D ta nhận chuỗi số UnPxoq “ UiPxoq ' U2Pxoq ' -' UnPxoq n“1 (1.3) ■X >0 x Lời giải Xét khai triển Maclaurin hàm số y “ sin x, ta có 35 sin x “ x — — ' — ' ■ ■ ■ 3! 5! Do Ví dụ 3.2 Tính giới hạn x xe L “ lim ■x >" cos x — x x cos x “ — T ' -7T ' ■ ■ ■ 2! 4! —- Lời giải Xét khai triển Maclaurin hàm số y “ e y “ cos x, ta có x Do L “ lim 1-0 X2( 1'1 ' 2- '•••) - x '1 - ế' ế '••• ) - Ví dụ 3.3 Tính giới hạn L “ lim ( 1-0 \ - -12 ) sin x X/ Lời giải X2) 22 x - sin x x-0 x x sin x 22 x ' sin x lim —: x - sin x x - sin x x- x “ lim “ lim - -x- x x- x L “ lim lim 2 2 2 Xét khai triển Maclaurin với y “ sinX, ta có Do X — Px — 16' opx qq L = lim p pr qq X3 i-2 “ 6 X ' Px ' O(X)) lim —• -x- X 3.2 Xấp xỉ tích phân Nhiều tích phân bất đinh không biểu diễn dạng hàm số sơ cấp ta khơng thể tính xác tích phân xác đinh tương ứng Trong số trường hợp, ta biểu diễn hàm số dấu tích phân dạng chuỗi luỹ thừa ta tính gần giá tri cuả tích phân Ví dụ 3.4 ([2]) Tính gần e dX với độ xác 10 Lời giải Vì ngun hàm hàm số e khơng phải hàm số sơ cấp nên dùng công thức Newton Leibniz để tính tích phân Nhưng hàm số khai triển thành chuỗi lũy thừa R Từ công thức khai triển Maclaurin hàm e ta suy x X X X 2n e- “ - X! ' X!-••• + p-iq , '••• x n 64 f1{4 eT f1{4 x dx = n“ x2n V(-1)" X~dx n! f 1/4 (-1)" n! = 2" n“ (-1)" n! = n“ ( =ẫ { -1)" ' 1)4 + n! (2n n“ x2"+1 2n ' 2n Do Kết ta nhận chuỗi đan dấu chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz 2!5.4 ă 10- 10240 Để ý số hạng thứ ba chuỗi thoả mãn Do để tính gần tích phân với độ xác 10 ta cần lấy hai số hạng chuỗi, cụ thể 1!3.4 e- dx « x2 dx Ví dụ 3.5 ([2]) Tính gần 1'x 192 3 « 0, 2448 với độ xác 0,001 Lời giải Vì x > nên x > 8, khơng thể áp dụng cơng thức ( ) để khai triển ■4443- = (1 ' x )- thành chuỗi lũy thừa, công thức x ă Ta có 3 1_11 1 ' x x 1'A Vì Ả < , ta khai triển x 1 1'x 3 x = n“0 x3 thành chuỗi lũy thừa x3 Ta / \x3 \ ' x3/ ' — '••• x x 11 ( x& ' x -••• + (-!)“ (-1)" 3n ' x 3n Do f'8 dx _ y J 1+X (-1) n“0 (3n + 2)x ' = n y (-1) (3n + 2)2 ' n 3n 3n n“0 Vì chuỗi vế phải chuỗi đan dấu thỏa mãn điều kiện đinh lý leibniz nên ta tính gần tổng k số hạng đầu sai số phạm phải nhỏ (3fc 3fe+5 Sai số nhỏ hươn 0, 001 k > Do +5 - dx ,1 1+X '2 Q,1 sin x dx dx — Ví dụQ3.6 x ([2]) Tính gần Q — 0,118 160 ’ Q,1 x2 Q,1 0,1 0,1 x2k sin dx' ' x X! (-1) J dX -I _ dx với độ xác (2k0,+00001 1)! ' x 0, 00001 (0,1) ' 0, 001 “ 0, +( ) (2k + 1)(2k + 1)! '■■■ 3.3! ' 5.5! Lời giải Sử dụng công thức khai triển Maclaurin cho hàm y — sinx, ta n 2k k sin x “ x- I '••• x3 >“(2fc+-1)! x2k'1 +••• — Ệ (-1) + (-1 k“Q ™2kx '1 k (2k + 1)! Từ đó, ta có x2k sin x x X “1 1! ' +(-1)n n (2k + 1)! +••• —£(-1) k“0 k x2k ' , (2k + 1)! Do Vì0,1 > 0, 00001; ggQ - 0, 000055 > 0, 00001 °- ™ - "'O;? ă 0, 00001 Do 1 sin x ——dx « 0,1 - 0, 000055 - 0, 09994 x Ví dụ 3.7 Tính xấp xỉ ýẽ với độ xác 0, 0001 Lời giải Vì ? — e 4, ta khai triển hàm e lân cận điểm X — Ta có x x x x n e — + X + X- + ••• + X + Rn(x), -8 ă X ă +8 1! 2! n! x X P R _ f pn'1h' Trong R (X) — -— 4*/ x ' (n ' 1)! _ có e n1 -————X ' , £ nằm x Lấy x (n ' 1)! n1 n 4, ta ă 34 — ?3 ă eă ? Do (n ' 1)!4 ' |Rn( )| ă 2.4 (n ' 1)! n1 n ă 0,0001 2.4 (n ' 1)! Vậy cần tìm n cho n Thử trực tiếp ta thấy với n — 4, ta có 111 R )|ă 21« - 44 ă I0,00002 ă 0,0001 I 2! 4373! - 1, 28402 1! 3.3 ứng dụng phương trình vi phân Chuỗi luỹ thừa sử dụng để giải phương trình vi phân, chẳng hạn trường hợp nghiệm khơng viết dạng hàm số sơ cấp Ta nhắc lại khai triển Taylor hàm số y(x) lân cận điểm x sau y1(x0) y2(x0) yp q(x0) (x - Xo) ' (x - Xo) ' -' V (x - Xo) ' 1! 2! n! y(x) - y(xo) ' n n Ví dụ 3.8 ([2]) Tìm nghiệm y — y(x) toán Xy2 - y - (X - 1) , y(1) - 1, y1(1) - Lời giải Giả sử nghiệm toán viết dạng chuỗi Taylor tâm x , y(x) — y(xo) ' y (X ) (x - Xo) ' y 2X ) (x - Xo) ' • • • ' y 1! 2! o o (x - Xo) ' • • • n n! Hai hệ số khai triển ta tìm nhờ vào điều kiện ban đầu Khi đó, X — ta có o y(X) — y(1)' - 1)' 2.X - 1) ' • • •' - 1) Ta tính yp1q “ 1, y1p1q “ 0, y2p1q “ (3.1) y2 ' xy" - y “ 2(x ' 1) Lấy vi phân phương trình cho ta Thay x “ vào (3.1), sử dụng y(1) “ 1, y1(1) “ 0, y2(1) “ 1, ta y2(1) ' 1.y"(1) — y1(1)“ suy y3p1) “ -1 Lấy vi phân phương trình trước lần nữa, thay x “ ta 2y3p1) ' 1yp qp1) - y2(1) “ yp q “ Vậy (x — 1) 2! y(x) “1' (x — 1) 5(x — 1) ' 4 Khi đó, ta có yp1) “ 1, y1p1) “ 0, y2p1) “ 1, y3p1) “ -1, yp qp1) “ Ví dụ 3.9 ([2]) Tìm năm số hạng nghiệm chuỗi toán y1 “ x ' y , y(0) “ 2 Lời giải Giả sử nghiệm chuỗi toán viết dạng chuỗi Maclaurin / y o y(x) y(0) “ ' , y1(0) x 1Px' , y2po) x2 , y"po) x3 , , yp qpo) xn x x 2! ' 3— ' ■ ■ ■' n—x n , ' ■ ■■ Ba đạo hàm tìm cách lấy vi phân phương trình vi phân y2 “ 2x ' 2yy1 y" “ 2'2y ' 2yy2 yp q “ 6yy2'2yy" Tính giá tri đạo hàm x “ sử dụng điều kiện ban đầu ypo) “ phương trình vi phân cho y1 “ x ' y , ta 2 y1(0)“ ' (2)’ “ y2(0) “ 2.0'2.1.1 “ 244 y"(0) “2'-ỵ.'4ị “ 19 ,(0)_ 1'1'19 “ y() 52 Thay giá tri vào chuỗi Maclaurin, ta nghiệm xấp xỉ sau 1 19 19 “ 2'4x' 8x' 48x' 48x '••• yP xq □ Kết luận Luận văn đạt số kết sau • Trình bày cách chi tiết có hệ thống kết lý thuyết chuỗi số chuỗi hàm, đặc biệt đinh lý hội tụ chuỗi số chuỗi hàm Đưa số phương pháp để tính tổng chuỗi trường hợp hội tụ Giới thiệu số ứng dụng quan chuỗi Taylor • Tài liêu tham khảo [1] J S Petrovic, Advanced Calculus: Theory and Practice, Taylor & Francis (2014) [2] E Grigorieva, Methods of Solving Sequence and Series Problems, Birkhauser (2016) [3] J Stewart, Calculus, Cengage Learning (2016) (Đinh lý 2.7), chuỗi J n“1 a N'k > N N • a c c N'k Bây phân kỳ ^2 a n“1 Trường hợp giới hạn K tồn thỏa mãn K > K ă lại xem tập □ n Định lý 2.14 (Tiêu chuẩn Raabe, [1]) Cho ta u dãy số dương thật đặt n R n “ n( „ — 1) a n'1 Giả sử tồn r > N P N cho K > r với n > N Khi chuỗi (2.1) hội tụ Mặt khác, R < với n > N chuỗi (2.1) phân kỳ Đặc biệt, R R, n n n chuỗi ^2 a hội tụ R > phân kỳ R ă n n“1 3x x • Nếu |x| ă chuỗi hàm hội tụ đến S = lim S = n n >8 1-x (1 - x ) 2 • Nếu x = ta tính n(1 + 3n - 2) 2=2 1.3 1.3.5 n(3n - 1) ... , a , , Một chuỗi coi n • •> a , gọi chuỗi số a số hạng thứ n chuỗi n n xác đinh xem số hạng chuỗi biết Ví dụ 1.1 Xét dãy số {a } với a — n n — -— Khi ta nhận chuỗi số npn ' iq hàm số n, a... tiên ta phát biểu đinh nghĩa chuỗi số dương chuỗi số dương thật Định nghĩa 2.5 Chuỗi số ^2 a gọi n n“1 • chuỗi số dương a > với n P n N; • chuỗi số dương thật (hay chuỗi số dương nghiêm ngặt) a >... chuôi sô chuôi hàm Chương dành cho việc nhắc lại số kiến thức dãy số, chuỗi số, dãy hàm chuỗi hàm Các chứng minh chi tiết tham khảo tài liệu [1] 1.1 Một sô khái niêm dãy sô dãy hàm 1.1. 1Một sô khái