Đồng thời nhận biết được số hạng tổng quát của chuỗi số để phân loại được các đặc tính của chuỗi số trong các bài tiếp theo: chuỗi số dương, chuỗi số đan dấu hay chuỗi số có dấu bất kỳ đ[r]
(1)Chuỗi số Bài soạn Chuỗi số A Mục đích, yêu cầu Mục đích: Trang bị cho sinh viên các kiến thức chuỗi: chuỗi phân kỳ, chuỗi hội tụ, các tính chất Yêu cầu: Sinh viên cần nắm vững các khái niệm: hội tụ, phân kỳ chuỗi số Luôn ghi nhớ điều kiện cần hội tụ để nhận biết khả phân kỳ chuỗi số B Nội dung bài giảng Khái niệm Giả sử {an } là dãy số Tổng vô hạn a1 + a2 + · · · + an + · · · = ∞ ∑ an gọi là chuỗi số n=1 an gọi là số hạng tổng quát chuỗi Sn = a1 + a2 + · · · + an gọi là tổng riêng thứ n chuỗi Nếu tồn lim Sn = S(|S| < +∞) thì S gọi là tổng chuỗi n→∞ n=1 Khi đó chuỗi số gọi là hội tụ Ngược lại, ta nói chuỗi phân kỳ ∞ ∑ q n (q = ̸ 1) Ví dụ a) n=0 Ta có Sn = + q + · · · + q n = Nếu |q| < thì lim Sn = n→∞ − q n+1 1−q (Chuỗi hội tụ) 1−q Nếu |q| > thì @ lim Sn (Chuỗi phân kỳ) n→∞ b) ∞ ∑ (Chuỗi điều hòa) n=1 n 1 1 Ta có + + + + · · · + + · · · (4 ) n( ) 1 1 1 = 1+ + + + + + + + ··· (3 4) (5 8) 1 1 1 + + + + > 1+ + + + ··· 4 8 8 1 1 =1 + + + + · · · + 2n n+1 + · · · 1 1 = + + + + ··· + + ··· 2 2 = + lim n = +∞ n→∞ Vậy @ lim Sn (Chuỗi phân kỳ) n→∞ ∞ ∑ an (2) Chuỗi số c) ∞ ∑ 1 = + + + ··· + + ··· 2 n n=1 n 1 Sn = + + + · · · + 2 n {Sn } là dãy tăng 1 Mặt khác < ∀n > n (n − 1)n 1 1 =⇒ Sn < + + + ··· + =2− <2 1.2 2.3 (n − 1).n n =⇒ {Sn } tăng và bị chặn trên =⇒ ∃ lim Sn < +∞(Chuỗi hội tụ) n→∞ Tính chất các chuỗi hội tụ a) Nếu chuỗi ∞ ∑ an , n=1 ∞ ∑ bn hội tụ thì chuỗi n=1 ∞ ∑ c.an (α là số ) và n=1 ∞ ∑ (an ± bn ) n=1 hội tụ ∞ ∞ ∑ ∑ an c.an = c n=1 ∞ ∑ n=1 (an ± bn ) = ∞ ∑ an ± n=1 n=1 b) Nếu chuỗi ∞ ∑ ∞ ∑ n=1 bn n=1 ∞ ∑ an hội tụ, n=1 c) Nếu chuỗi ∞ ∑ bn phân kỳ thì ∞ ∑ (an ± bn ) phân kỳ n=1 n=1 an phân kỳ, ∞ ∑ bn phân kỳ thì không có kết luận cho chuỗi n=1 n=1 Tuy nhiên un ≥ 0, ≥ thì chuỗi ∞ ∑ (an + bn ) phân kỳ n=1 Ví dụ ( Xét sự)hội tụ và tính tổng chuỗi ∞ ∑ 1 + n n n=0 ∞ ∑ Ta có chuỗi hội tụ n n=0 ∞ ∑ hội tụ n n=0 ( ) ∞ ∑ 1 Do đó + n hội tụ và n ) n=0 ( ∞ ∞ ∞ ∑ ∑ ∑ 1 + = + = n n n n 1− n=0 n=0 n=0 3 + 1− = 11 Phần dư chuỗi hội tụ Giả sử ∞ ∑ an hội tụ, có tổng = S n=1 rn = S − Sn gọi là phần dư thứ n chuỗi Ta có lim rn = n→∞ Nhận xét ∞ ∑ (an ± bn ) (3) Chuỗi số a) Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi không thay đổi ta thêm bớt số hữu hạn các số hạng chuỗi b) Tính hội tụ hay phân kỳ chuỗi không đổi ta thay đổi vị trí số hữu hạn phần tử Điều kiện để chuỗi hội tụ ∞ ∑ a) Điều kiện cần: Nếu an hội tụ thì lim an = n→∞ n=1 Chứng minh Ta có an = Sn − Sn−1 ∀n > Vì lim Sn = lim Sn−1 = S n→∞ n→∞ Nên lim an = n→∞ Chú ý + Điều ngược lại nói chung không đúng ∞ ∑ Ví dụ xét chuỗi điều hòa phân kỳ, có lim an = lim = n→∞ n→∞ n n=1 n + Ta thường dùng mệnh đề tương đương với mệnh đề trên: Nếu lim an ̸= n→∞ ∞ ∑ an phân kỳ @ lim an thì chuỗi n→∞ n=1 Ví dụ Xét hội tụ các chuỗi sau 1) 2) 3) ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ n=1 ∞ ∑ (−1)n phân kỳ vì an = (−1)n q n , |q| ≥ phân kỳ vì q n cos n n=1 Ta có lim an = lim cos n = n→∞ n→∞ b) Điều kiện cần và đủ(Tiêu chuẩn Cauchy) ∞ ∑ Chuỗi an hội tụ ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 , ∀p ∈ N ta có n=1 |an+1 + · · · + an+p | < ε Chứng minh Xét {Sn }, Sn = a1 + a2 + · · · + an Theo tiêu chuẩn Cauchy dãy số, dãy Sn hội tụ ⇔ ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n ≥, ∀p ∈ N ta có |Sn+p − Sn | < ε Điều phải chứng minh (4) Chuỗi số Ví dụ Xét ∞ ∑ n=1 n Ta có |S2n − Sn | = 1 1 +···+ > +···+ = = ε0 Chuỗi phân kỳ theo n+1 2n 2n 2n tiêu chuẩn Cauchy C Bài tập luyện tập Bài Tìm tổng các chuỗi sau đây( có ) a) ∞ ∑ n=2 n2 −n b) ∞ 2n − 3n ∑ 5n n=1 c) ∞ ∑ + n 3n n=1 Bài Xét hội tụ các chuỗi sau: a) b) ∞ n+1 ∑ n=1 2n − ∞ ∑ cos n n=0 c) ∞ ∑ n=1 d) √ √ n+1− n ∞ ∑ sin n n=1 n Củng cố Trong phần đầu tiên này cần nắm vững các khái niệm: hội tụ, phân kỳ chuỗi số Điều kiện cần hội tụ để nhận biết khả phân kỳ chuỗi số Đồng thời nhận biết số hạng tổng quát chuỗi số để phân loại các đặc tính chuỗi số các bài tiếp theo: chuỗi số dương, chuỗi số đan dấu hay chuỗi số có dấu để từ đó sử dụng tiêu chuẩn thích hợp để kết luận hội tụ nó (5)