Chương 7: CHUỖI SỐ – CHUỖI LUỸ ppsx

Ch ơng 7: chuỗi số chuỗi luỹ thừa 7.1. chuỗi số 7.1.1. Định nghĩa chuỗi số. Định nghĩa 7.1. Dãy số là một tập hợp gồm vô hạn các số thực đợc sắp xếp theo một quy luật nào đó. Thông thờng, ngời ta ký hiệu dãy số bởi: {u n } = u 1 , u 2 , u 3 , , u n , trong đó u k đợc gọi là số hạng thứ k của dãy số (k = ,+1 ), u n đợc gọi là số hạng tổng quát của dãy số. Ví dụ 7.1. (i) Tập hợp: {1, 3, 5, 7, 9} không phải là dãy số vì nó chỉ có 5 số hạng. (ii) Tập hợp: {1, 3, 5, 7, 9, } là dãy số vì nó có vô hạn số thực và đợc sắp xếp theo quy luật số đứng sau bằng số đứng ngay trớc nó cộng với 2. Dãy số này đợc viết gọn nh sau: {2n + 1}. Định nghĩa 7.2. Cho dãy số {u n }. Tổng tất cả các số hạng của dãy số trên (ký hiệu là n n u + = 1 ) đợc gọi là một chuỗi số. Vậy: n n u + = 1 = u 1 + u 2 + u 3 + + u n + 7.1.2. Các loại chuỗi số. Chuỗi số dơng là một chuỗi mà tất cả các số hạng của nó đều dơng. Chuỗi số âm là một chuỗi mà tất cả các số hạng của nó đều âm. Chuỗi số đan dấu là một chuỗi mà hai số hạng bất kỳ đứng cạnh nhau thì có dấu ngợc nhau. 1 Một chuỗi số không phải là chuỗi số dơng, không phải là chuỗi số âm, không phải là chuỗi số đan dấu thì đợc gọi là chuỗi số bất kỳ. Ví dụ 7.2. (i) n n + = 1 2 , ( ) n n + = 1 3 1 là các chuỗi số dơng. (ii) ( ) n n + + = 2 1 1 1 , ( ) n n + = 1 1 2 là các chuỗi số âm. (iii) ( ) n n + = 1 1 , ( ) n n n + + = 1 2 1 1 là các chuỗi số đan dấu. (iiii) ( ) n n cosn + + = 2 1 1 1 , n sinn + = 1 là các chuỗi số bất kỳ. 7.1.3. Sự hội tụ của chuỗi số. Cho chuỗi số n n u + = 1 = u 1 + u 2 + u 3 + + u n + Ta thành lập dãy các tổng riêng nh sau: S 1 = u 1 , S 2 = u 1 + u 2 , S 3 = u 1 + u 2 + u 3 , , S n = u 1 + u 2 + u 3 + + u n , Định nghĩa 7.3. Nếu chuỗi số n n u + = 1 có n n lim S + tồn tại, hữu hạn. Thì chuỗi n n u + = 1 đợc gọi là hội tụ. Khi đó, n n u + = 1 = n n lim S + =I, I đợc gọi là tổng của chuỗi số. Trong trờng hợp ngợc lại, chuỗi n n u + = 1 đợc gọi là phân kỳ. Nhận xét 7.1. Chuỗi n n u + = 1 phân kỳ khi n n lim S + không tồn tại hoặc tồn tại nhng là số vô hạn. 2 Ví dụ 7.3. (i) Chuỗi n n + = 1 1 2 hội tụ và có tổng = 1 vì: S n = n n + + + = 1 1 1 1 1 2 4 2 2 n n n n lim S lim + + = = ữ 1 1 1 2 . (ii) Chuỗi n n + = 1 phân kỳ vì: S n = ( ) n n n + + + + = 1 1 2 2 ( ) n n n n n lim S lim + + + = = + 1 2 . (iii) Chuỗi ( ) n n + = 1 1 phân kỳ vì: S n = ( ) n khi n k khi n k = + + + + = = 1 2 1 1 1 1 1 0 2 (k nguyên, dơng). n n lim S + không tồn tại. Tính chất 7.1. (i) Nếu n n u + = 1 và n n v + = 1 là các chuỗi hội tụ thì ( ) n n n u v + = 1 cũng hội tụ. (ii) Nếu nhân tất cả các số hạng của một chuỗi số với một số khác không thì không làm thay đổi sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số đó. (iii) Nếu thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng của chuỗi số thì không làm thay đổi sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số đó. Định lý 7.1 (Tiêu chuẩn Cauchy để một chuỗi số hội tụ). Điều kiện cần và đủ để chuỗi số n n u + = 1 hội tụ là: ( >0),(N > 0: m,n > N ) S m S n < . 3 Hệ quả 7.1.1. Điều kiện cần để chuỗi số n n u + = 1 hội tụ là n n lim u + = 0 . Chứng minh. Theo định lý 7.1, vì chuỗi số n n u + = 1 hội tụ nên: ( >0),(N > 0: m = n 1,n > N ) S m S n < . ( >0),(N > 0: n 1 > N ) u n < . n n lim u + = 0 . (đpcm) Nhận xét 7.2. Nếu một chuỗi số không thoả mãn điều kiện n n lim u + = 0 (nghĩa là giới hạn trên không tồn tại hoặc tồn tại nhng là số khác 0) thì chuỗi đó phân kỳ. Tuy nhiên, hệ quả 7.1.1 chỉ là điều kiện cần nên một chuỗi số thoả mãn điều kiện n n lim u + = 0 , thì cha kết luận đợc chuỗi số đó hội tụ hay phân kỳ. Ví dụ 7.4. (i) Chuỗi n n n + = + 1 1 2 1 phân kỳ vì: n n n n lim u lim n + + + = = 1 1 0 2 1 2 . (ii) Chuỗi ( ) n n + = 1 1 phân kỳ vì: n n lim u + không tồn tại. Chú ý 7.1. Chúng ta công nhận các kết quả sau: (i) Chuỗi số n n q + = 1 (q là hằng số) đợc gọi là chuỗi số nhân. Chuỗi này hội tụ khi q< 1 và phân kỳ khi q 1. (ii) Chuỗi số s n n + = 1 1 (s là hằng số) đợc gọi là chuỗi Dirichlet. Chuỗi này hội tụ khi s > 1 và phân kỳ khi s 1. Nhận xét 7.3. Đối với chuỗi số Dirichlet và chuỗi số nhân chúng ta chỉ cần nhìn vào s hoặc q là có thể kết luận đợc chuỗi đó hội tụ hay phân kỳ. Chẳng hạn: 4 (i) n n + = 1 2 là chuỗi số phân kỳ vì nó là chuỗi số nhân có q = 2 > 1. (ii) n n + = 1 1 3 là chuỗi số hội tụ vì nó là chuỗi số nhân có q = 1 3 < 1. (iii) n n + = 3 1 1 là chuỗi số phân kỳ vì nó là chuỗi số Dirichlet có s = 1 3 < 1. (iiii) n n + = 2 1 1 là chuỗi số hội tụ vì nó là chuỗi số Dirichlet có s = 2 > 1. 7.2. Sự hội tụ của chuỗi số dơng Nhắc lại: Chuỗi số n n u + = 1 là chuỗi số dơng nếu u n > 0 (n =1, 2, 3, ). Trong phần này chúng ta đa ra các điều kiện đủ để một chuỗi số dơng hội tụ. 7.2.1. Dấu hiệu so sánh 1. Định lý 7.2. Cho hai chuỗi số dơng n n u + = 1 , n n v + = 1 ; tồn tại số c > 0 và tồn tại số N nguyên dơng sao cho: u n c.v n (n > N). Khi đó, (i) Nếu chuỗi số n n v + = 1 hội tụ thì chuỗi số n n u + = 1 hội tụ. (ii) Nếu chuỗi số n n u + = 1 phân kỳ thì chuỗi số n n v + = 1 phân kỳ. (Kết quả trên vẫn đúng cho chuỗi số không âm). Nhận xét 7.4. Để áp dụng đợc dấu hiệu so sánh 1 xét sự hội tụ của một chuỗi số ta phải tiến hành qua các bớc nh sau: B ớc 1: Kiểm tra tính dơng của chuỗi số đã cho. 5 B ớc 2: Đa ra chuỗi số thứ hai n n v + = 1 thoả mãn các điều kiện: là chuỗi số dơng ; đã biết hội tụ hay phân kỳ rồi; so sánh đợc với chuỗi số đã cho. Để đa ra chuỗi số thứ hai ta phải dựa vào chuỗi số đã cho và chuỗi số nhân (hoặc chuỗi số Dirichlet). Ví dụ 7.5. Xét sự hội tụ của các chuỗi: a) n n + = + 2 1 1 3 1 , b) n n n + = 1 5 3 2 . Giải. a) n n + = + 2 1 1 3 1 . Ta có u n = n + 2 1 3 1 > 0 (n =1, 2, 3, ) vậy chuỗi đã cho là chuỗi dơng. Chuỗi số n n v + = 1 = n n + = 2 1 1 là chuỗi dơng và là chuỗi Dirichlet hội tụ vì s = 2 > 1. Mặt khác: u n = n + 2 1 3 1 < n = 2 1 1 3 3 v n (n =1, 2, 3, ). Theo dấu hiệu so sánh 1, chuỗi đã cho hội tụ. b) n n n + = 1 5 3 2 . Ta có u n = n n 5 3 2 >0 (n=1,2, ) vậy chuỗi đã cho là chuỗi dơng. Chuỗi số n n v + = 1 = n n + = ữ 1 5 3 là chuỗi dơng và là chuỗi nhân phân kỳ vì q > 1. Mặt khác: u n = n n n > = ữ 5 5 3 2 3 v n (n =1, 2, 3, ). Theo dấu hiệu so sánh 1, chuỗi đã cho phân kỳ. Nhận xét 7.5. Nếu trong ví dụ 7.5, ở phần a) mẫu số 3n 2 + 1 đợc thay bởi 3n 2 k hoặc ở phần b) mẫu số 3 n 2 đợc thay bởi 3 n + k (với k là hằng số d- ơng). Thì chúng ta không thể áp dụng dấu hiệu so sánh 1 đợc. Để khắc phục, sau đây chúng ta đa ra dấu hiệu so sánh 2. 7.2.2. Dấu hiệu so sánh 2. 6 Định lý 7.3. Cho hai chuỗi số dơng n n u + = 1 , n n v + = 1 có n n n u lim v + = k 0, hữu hạn. Thì hai chuỗi số trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Chứng minh. Từ giả thiết của định lý ta suy ra k > 0. Theo định nghĩa giới hạn ta có: n n n u lim v + = k ( > 0), (N > 0: n > N ) k < n n u v < k + (7.1) Vì (7.1) đúng với mọi > 0 nên cũng đúng với 0 = k 2 > 0. Nghĩa là tồn tại N 0 > 0 sao cho với mọi n > N 0 thì: k 2 v n = (k k 2 )v n < u n < (k + k 2 )v n = k3 2 v n . (7.2) (i) Nếu n n u + = 1 hội tụ n n N u + = 0 hội tụ. Từ (7.2) ta có: k 2 v n < u n ( n > N 0 ). áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có n n N v + = 0 hội tụ n n v + = 1 hội tụ. (ii) Nếu n n u + = 1 phân kỳ n n N u + = 0 phân kỳ. Từ (7.2) ta có: u n < k3 2 v n ( n >N 0 ). áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có n n N v + = 0 phân kỳ n n v + = 1 phân kỳ. (iii) Nếu n n v + = 1 hội tụ n n N v + = 0 hội tụ. Từ (7.2) ta có: u n < k3 2 v n ( n >N 0 ). 7 áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có n n N u + = 0 hội tụ n n u + = 1 hội tụ. (iiii) Nếu n n v + = 1 phân kỳ n n N v + = 0 phân kỳ. Từ (7.2) ta có: k 2 v n < u n (n > N 0 ). áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có n n N u + = 0 phân kỳ n n u + = 1 phân kỳ. Từ (i) đến (iiii) (đpcm) Nhận xét 7.6. Để áp dụng đợc dấu hiệu so sánh 2 xét sự hội tụ của chuỗi số chúng ta cũng phải chải qua các bớc nh trong nhận xét 7.4. Ví dụ 7.6. Xét sự hội tụ của các chuỗi: a) n n + = 2 1 1 3 2 , b) n n n + = + 1 5 3 2 . Giải. a) n n + = 2 1 1 3 2 . Ta có u n = n 2 1 3 2 > 0 (n =1, 2, 3, ) vậy chuỗi đã cho là chuỗi dơng. Chuỗi số n n v + = 1 = n n + = 2 1 1 là chuỗi dơng và là chuỗi Dirichlet hội tụ vì s = 2 > 1. Mặt khác: n n n n u n lim lim v n + + = 2 2 3 2 = 1 3 0, hữu hạn. Theo dấu hiệu so sánh 2, chuỗi đã cho hội tụ. b) n n n + = + 1 5 3 2 . Ta có u n = n n + 5 3 2 > 0 (n =1, 2, 3, ) vậy chuỗi đã cho là chuỗi dơng. Chuỗi số n n v + = 1 = n n + = ữ 1 5 3 là chuỗi dơng và là chuỗi nhân phân kỳ vì 8 q > 1. Mặt khác: ( ) n n n n n n n n u lim lim v + + = + 5 3 3 2 5 = 1 0, hữu hạn. Theo dấu hiệu so sánh 2, chuỗi đã cho phân kỳ. Chú ý 7.2. Trong dấu hiệu so sánh 2, ta mới chứng minh đợc cho trờng hợp n n n u lim v + = k 0, hữu hạn. Nếu k = 0 hoặc k = + thì dấu hiệu so sánh 2 còn đúng nữa không ? Sau đây chúng ta xét cụ thể cho từng trờng hợp. (i) Nếu k = 0 n n n u lim v + = k ( > 0), (N > 0: n > N ) < n n u v < (7.3) Vì (7.3) đúng với mọi > 0 nên cũng đúng với 0 = 2 > 0. Nghĩa là tồn tại N 0 > 0 sao cho với mọi n > N 0 thì: 2v n < u n < 2v n . (7.4) Nếu n n v + = 1 hội tụ n n N v + = 0 hội tụ. Từ (7.4) ta có: u n < 2v n ( n >N 0 ). áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có n n N u + = 0 hội tụ n n u + = 1 hội tụ. Nếu n n u + = 1 phân kỳ n n N u + = 0 phân kỳ. Từ (7.4) ta có: u n < 2v n ( n >N 0 ). áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có n n N v + = 0 phân kỳ n n v + = 1 phân kỳ. Nh vậy, nếu k = 0. Thì dấu hiệu so sánh 2 không đúng nữa mà chỉ có thể kết luận nh sau: 9 Nếu k = 0 thì từ chuỗi n n v + = 1 hội tụ n n u + = 1 hội tụ. Nếu k = 0 thì từ chuỗi n n u + = 1 phân kỳ n n v + = 1 phân kỳ. (ii) Nếu k = + n n n u lim v + = + (M > 0), (N > 0: n > N ) n n u v > M (7.5) Vì (7.5) đúng với mọi M > 0 nên cũng đúng với M 0 = 20 > 0. Nghĩa là tồn tại N 0 > 0 sao cho với mọi n > N 0 thì: u n > 20v n . (7.6) Nếu n n v + = 1 phân kỳ n n N v + = 0 phân kỳ. Từ (7.6) ta có: u n > 20v n ( n >N 0 ). áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có n n N u + = 0 phân kỳ n n u + = 1 phân kỳ. Nếu n n u + = 1 hội tụ n n N u + = 0 hội tụ. Từ (7.6) ta có: u n < 20v n ( n > N 0 ). áp dụng dấu hiệu so sánh 1 ta có n n N v + = 0 hội tụ n n v + = 1 hội tụ. Nh vậy, nếu k = +. Thì dấu hiệu so sánh 2 không đúng nữa mà chỉ có thể kết luận nh sau: Nếu n n u + = 1 hội tụ n n v + = 1 hội tụ. Nếu n n v + = 1 phân kỳ n n u + = 1 phân kỳ. Nhận xét 7.7. Muốn áp dụng các dấu hiệu so sánh1 và dấu hiệu so sánh 2 10 [...]... chuỗi số bất kỳ thì chuỗi un chuỗi số trị tuyệt đối của chuỗi số đợc gọi là + un n =1 Nếu chuỗi + un hội tụ còn chuỗi n =1 + un phân kỳ thì chuỗi n =1 + un đợc n =1 gọi là chuỗi bán hội tụ + n =1 Nếu cả hai chuỗi + n =1 un và un đều hội tụ thì chuỗi + un đợc gọi là n =1 chuỗi hội tụ tuyệt đối Ví dụ 7.13 Dễ dàng kiểm tra đợc các kết quả sau: Chuỗi số + n =1 ( 1) n n là chuỗi bán hội tụ; Chuỗi số. .. 11 t Nên chuỗi đã cho phân kỳ 7.3 Sự hội tụ của chuỗi số đan dấu 7.3.1 Định nghĩa chuỗi số đan dấu Định nghĩa 7.4 Chuỗi số đan dấu là một chuỗi số có một trong các dạng sau: + ( 1) un hoặc n n =1 + ( 1) n =1 n +1 un , trong đó un > 0 (n = 1, 2, 3, ) Ví dụ 7.9 (i) Các chuỗi số sau đây là các chuỗi số đan dấu: + n =1 (ii) Chuỗi số + ( 1) n ( 1) n n , + n =1 ( 1) 2 n +1 n +2 1 không phải là chuỗi đan... các chuỗi số (i) + ( 1) n n n =1 , (ii) Giải (i) Chuỗi số đã cho là chuỗi số đan dấu với u n = + ( 1) n n n2 + 16 n =1 1 Nhân tất cả các n + số hạng của chuỗi số đã cho với (1) ta đợc chuỗi số mới: ( 1) n +1 và ta n n =1 có: u1 = 1 > u2 = 1 1 1 > u3 = > ; lim un = lim = 0 n + n + n 2 3 Theo định lý Leibnitz, chuỗi số + n =1 ( 1) n +1 n hội tụ và có tổng 1 Theo tính chất về sự hội tụ của chuỗi số. .. của chuỗi đã cho là r = 1 Hay chuỗi đã cho hội tụ khi | x + 2| < 1 và phân kỳ khi | x+ 2| > 1 Tại x + 2 = 1, ta có chuỗi số: + 2n 13 Đây không phải là chuỗi số 3 n =1 n + 2 + 2n 13 dơng, nhng 3 là chuỗi số dơng hội tụ (so sánh với n=7 n + 2 + + 1 n2 ) Nên n=7 2n 13 là chuỗi số hội tụ Vậy chuỗi luỹ thừa đã cho hội tụ tại x + 2 = 3 n =1 n + 2 1 27 Tại x + 2 = 1, ta có chuỗi số: + ( 1) n =1 chuỗi. .. Hay chuỗi luỹ thừa đã cho phân kỳ khi x < 3 29 Với x = 3 ta có chuỗi số + ( 2n 1) nlim un = nlim ( 2n 1) = + + + n =1 chuỗi phân kỳ, hay chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại x = 3 Với x = 3 ta có chuỗi số nlim un = nlim ( 1) + + n + n ( 1) ( 2n 1) n =1 ( 2n 1) không tồn tại chuỗi phân kỳ, hay chuỗi luỹ thừa phân kỳ tại x = 3 MHT của chuỗi luỹ thừa đã cho là (3;3) 7.6.3 Đạo hàm và tích phân từng số. .. ln x khai triển đợc thành chuỗi luỹ thừa tại x = 1 và f(x) = ln x = (x1) (x1)2 + 1 1 ( x 1) 3 ( x 1) 4 + 2! 3! Câu hỏi ôn tập chơng 7 Câu 1: Định nghĩa chuỗi số; Định nghĩa tổng của chuỗi số Câu 2: Định nghĩa sự hội tụ của chuỗi số Nêu các tính chất về sự hội tụ của chuỗi số; chứng minh tính chất thứ 3 về sự hội tụ của chuỗi số tụ của chuỗi + + n =1 Câu 3: Cho hai chuỗi số n =1 un ( A ) , vn (... đây đợc không? tại sao? a) Chuỗi số âm b) Chuỗi số không âm bn = 1 Thì có thể khẳng n + a n + Câu 7: Cho chuỗi số dơng an hội tụ và lim n =1 định chuỗi + bn cũng hội tụ hay không? tại sao? n =1 Câu 8: Cho hai chuỗi số + un ( A ) , n =1 + vn ( B ) là các chuỗi số hội tụ, đồng n =1 thời un tn vn ( n = 1, 2 , ) Chứng minh rằng chuỗi số + tn (C) cũng hội n =1 tụ Nếu các chuỗi (A) và (B) cùng phân... dụ minh hoạ Câu 11: Cho chuỗi số bất kỳ + un Nêu mối liên hệ giữa sự hội tụ của n =1 chuỗi số + un và sự hội tụ của chuỗi số n =1 + un Lấy ví dụ minh hoạ n =1 Câu 12: Nêu các định nghĩa về: chuỗi hàm; chuỗi luỹ thừa; điểm tụ và miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa Câu 13: Phát biểu và chứng minh định lý Abel về sự hội tụ của chuỗi luỹ + thừa Từ đó hãy chứng tỏ rằng nếu chuỗi luỹ thừa an x n phân kỳ... chuỗi số đan dấu vì số hạng thứ 6 bằng + nhng chuỗi ( 1) n=7 chuỗi + ( 1) n =1 n n n 2 n 13 Đây không phải là n3 + 2 1 1 và số hạng thứ 7 bằng , 218 345 2n 13 là chuỗi số đan dấu hội tụ (theo Leibniz) Vậy n3 + 2 2 n 13 hội tụ hay chuỗi luỹ thừa đã cho hội tụ tại x + 2 = 1 n3 + 2 Vậy miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa đã cho là: [3; 1] Nhận xét 7.14 Cho chuỗi luỹ thừa + an xn n=7 Tại x = 0 chuỗi. .. ( x 2) n 3n + 1 là chuỗi luỹ thừa với an = 1 (n =1, 2, 3, ) 3n + 1 Nhận xét 7.12 (i) Chuỗi luỹ thừa dạng (1) luôn hội tụ tại x = 0, chuỗi luỹ thừa dạng (2) luôn hội tụ tại x = x0 (ii) Chuỗi luỹ thừa dạng (2) luôn đa đợc về dạng (1) bằng cách đặt y = x x0 Vì vậy để xét sự hội tụ của chuỗi luỹ thừa chúng ta chỉ cần xét sự hội tụ của chuỗi luỹ thừa dạng (1) 7.6 Sự hội tụ của chuỗi luỹ thừa 7.6.1 Định . Ch ơng 7: chuỗi số chuỗi luỹ thừa 7.1. chuỗi số 7.1.1. Định nghĩa chuỗi số. Định nghĩa 7.1. Dãy số là một tập hợp gồm vô hạn các số thực đợc sắp xếp theo một quy luật. nhau. 1 Một chuỗi số không phải là chuỗi số dơng, không phải là chuỗi số âm, không phải là chuỗi số đan dấu thì đợc gọi là chuỗi số bất kỳ. Ví dụ 7.2. (i) n n + = 1 2 , ( ) n n + = 1 3 1 là các chuỗi. Leibnitz. 7.4. Chuỗi số bất kỳ 7.4.1. Chuỗi số trị tuyệt đối. Định nghĩa 7.5. Cho n n u + = 1 là chuỗi số bất kỳ thì chuỗi n n u + = 1 đợc gọi là chuỗi số trị tuyệt đối của chuỗi số n n u + = 1 . Nếu