CHUỖI SỐ DƯƠNG potx

∑ ∞ =1n n u nu n ∀> ,0 1.Định nghĩa: với II. CHUỖI SỐ DƯƠNG II. CHUỖI SỐ DƯƠNG )(xf ∗ ∈+∞ Nkk ),,[ 2. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên a) Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm số ∑ ∞ =1 )( n nf ∫ +∞ ⇔ k dxxf )( Khi đó hội tụ hội tụ Chuỗi số dương là chuỗi Chuỗi ∑ ∞ =1 1 n n α VD1: Xét chuỗi 0< α ∞→ n u ∗ Nếu thì nên chuỗi phân kỳ. 0= α 1= n u thì nên chuỗi phân kỳ. ∗ Nếu 0> α α x xf 1 )( = ∗ Nếu khi đó xét hàm a) Tiêu chuẩn tích phân: (tt) phân kỳ nếu      ∑ ∞ =1 1 n n α Vậy chuỗi 1> α 1≤ α hội tụ nếu VD 1(tt) phân kỳ nếu Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên Mà      ∫ ∞+ dx x 1 1 α 1> α 1≤ α hội tụ nếu ),1[ +∞ Vậy tích phân ∫ ∞+ 2 ln xx dx phân kỳ. Theo tiêu chuẩn tích phân ∑ ∞ =2 ln 1 n nn phân kỳ. ∑ ∞ =2 ln 1 n nn xx xf ln. 1 )( = VD2: Xét chuỗi Xét hàm Hàm này liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên Mà ( ) ∞+=== ∞+ ∞+∞+ ∫∫ 2 22 |lnln ln )(ln ln x x xd xx dx ),2[ +∞ ∑ ∞ =1n n v ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n v Nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi Hoặc nếu chuỗi phân kỳ thì chuỗi phân kỳ. Khi đó: hội tụ ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n v b)Tiêu chuẩn so sánh 1: và thoả điều kiện ∃N: 0< u n ≤ v n, ∀n ≥ N Cho hai chuỗi số dương ∑ ∞ = + 1 5 2 n n n n n n n n       ≤ + < 5 2 5 2 0 ∑ ∞ =       1 5 2 n n )1 5 2 ( <=q VD1: Cho chuỗi số Ta có: Mà chuỗi hội tụ ∑ ∞ = + 1 5 2 n n n n Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi hội tụ b)Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt) ∑ ∞ =2 ln n n n 3;0 1 ln ≥∀>>= n nn n u n ∑ ∞ =2 2 1 1 n n VD2: Cho chuỗi số Ta có: Mà chuỗi phân kỳ (VD1 trong phần tiêu chuẩn Nên theo tiêu chuẩn so sánh 1 chuỗi ∑ ∞ =2 ln n n n phân kỳ. tích phân) b)Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt) ∑∑ ∞ = ∞ = 11 , n n n n vu k v u n n n = ∞→ lim ∑ ∞ =1n n v ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n v ∑ ∞ =1n n u ∑ ∞ =1n n v c) Tiêu chuẩn so sánh 2: Giả sử tồn tại hội tụ thì chuỗi • k = +∝ nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. • k = 0 nếu chuỗi • 0 < k < +∝ hai chuỗi hội tụ. hội tụ. Cho hai chuỗi số dương ∑ ∞ = + ++ 1 4 2 1 1 n n nn 24 2 1 ~ 1 1 nn nn + ++ ∞→n ∑ ∞ =1 2 1 n n ∑ ∞ = + ++ 1 4 2 1 1 n n nn VD1: Xét chuỗi số Ta có: khi Mà chuỗi Nên chuỗi có cùng tính chất là hội tụ. hội tụ. c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∑ ∞ = −−+ 1 4 3 11 n n nn 4 5 4 3 4 3 2 ~ )11( 2 11 nnnnn nn u n −++ = −−+ = ∞→n ∑ ∞ =1 4 5 1 n n ∑ ∞ = −−+ 1 4 3 11 n n nn VD2: Ta có khi Mà chuỗi Nên chuỗi có cùng tính chất hội tụ c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) Xét chuỗi số hội tụ. [...]... vn tụ n =1 n này ∞ 1 ⋅ ln(n + 1) cũng hội tụ Nên ∑ n n −1 n =1 chuỗi c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ VD5: Xét chuỗi số Ta có ∑ n =1 3 1 n arctg 2 n 2 1 ~ 3 n2 ⋅ 1 = 1 un = n arctg 2 4 2 n n n3 3 2 ∞ Mà chuỗi 1 ∑ n43 n =1 hội tụ ∞ Nên chuỗi ∑ n =1 3 n arctg 12 n 2 cũng hội tụ khi n →∞ d) Tiêu chuẩn D’Alembert: ∞ ∑ un n =1 Cho chuỗi số dương Giả sử tồn tại giới hạn ∗ Nếu D1 ∀n ≥ N un phân kỳ n 3 n! VD1: Xét chuỗi số ∑ n n =1 n un +1 3 Ta có → 3 >1 = e u n (1 + 1 ) n n ∞ n 3 n ! phân kỳ Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∑ n n =1 n d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) ∞ n 2 2 + 5n VD2: Xét chuỗi số ∑ n!+ ln n n =1 n 2 + 5n vn = 2 un = ~ n! n!+ ln n Vn +1 2 = →0 Vn n ∞ n Ta có Mà 2 Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∞ chuỗi ∑ un n =1 cũng hội tụ khi ∑ vn n =1 n... được n un >1, ∀n ≥ N thì ta kết luận chuỗi phân kỳ ∞ VD1: Xét chuỗi số n 3 ∑ (ln n)n n =2 n u = 3 →0 Ta có: n ln n ∞ Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy n 3 ∑ (ln n)n n =2 hội tụ e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt) VD2: Xét chuỗi số Ta có: n n2 n n 2 ∑ (n +1)n2 n =1 un = ∞ 2 → 2 1 thì ∑ un phân kỳ ∗Nếu c = . với II. CHUỖI SỐ DƯƠNG II. CHUỖI SỐ DƯƠNG )(xf ∗ ∈+∞ Nkk ),,[ 2. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên a) Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm số ∑ ∞ =1 )( n nf ∫ +∞ ⇔ k dxxf. số ∑ ∞ =1 )( n nf ∫ +∞ ⇔ k dxxf )( Khi đó hội tụ hội tụ Chuỗi số dương là chuỗi Chuỗi ∑ ∞ =1 1 n n α VD1: Xét chuỗi 0< α ∞→ n u ∗ Nếu thì nên chuỗi phân kỳ. 0= α 1= n u thì nên chuỗi phân kỳ. ∗ Nếu 0> α α x xf 1 )(. hội tụ thì chuỗi • k = +∝ nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi và cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. • k = 0 nếu chuỗi • 0 < k < +∝ hai chuỗi hội tụ. hội tụ. Cho hai chuỗi số dương ∑ ∞ = + ++ 1 4 2 1 1 n n nn 24 2 1 ~ 1 1 nn nn + ++ ∞→n ∑ ∞ =1 2 1 n n ∑ ∞ = + ++ 1 4 2 1 1 n n nn VD1: