Toán cao cấp A1 Chuỗi số dương

bài tập về chuỗi số dươngbài tập chuỗi số dươngbài tập xét sự hội tụ của chuỗi số dươngtiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dươngcác dạng bài tập về chuỗi số dươngbai tap chuoi so duong toan a1điều kiện hội tụ của chuỗi số dươngnhắc lại chuỗi số là chuỗi số dương nếu un gt 0 n 1 2 3hệ số tương quan hai chuỗi theo từng cấp điểm tăng cùng với điểm số tăng với cách trả lời có điểm số cao nhất hệ số này nên là một số dươngbài 2 chuỗi số dương

1.Định nghĩa: với

II CHUỖI SỐ DƯƠNG

2. Các tiêu chuẩn xét sự hội tụ của chuỗi số dương

liên tục, không âm và đơn điệu giảm trên

a) Tiêu chuẩn tích phân

VD1: Xét chuỗi

f ( ) = 1

phân kỳ nếu Vậy chuỗi

1

Vậy tích phân phân kỳ.

| ln

2 [ +∞

Nếu chuỗi hội tụ thì chuỗi

Khi đó:

hội tụ

b)Tiêu chuẩn so sánh 1:

và

thoả điều kiện ∃ N: 0< un ≤ vn, ∀ n ≥ N

Cho hai chuỗi số dương

n ≤     +

<

5

2 5

2 0

2 ( q = <

VD2: Cho chuỗi số

Ta có:

Mà chuỗi phân kỳ (VD1 trong phần tiêu chuẩn

k v

2 4

2

1

~ 1

1

n n

54

34

) 1 1

(

2 1

1

n n

n n

1 1 ln(

2 1

1 ln(

1

∑ ∞ = n n n

n

2 1

1

1

~

1 arctg

3 2

n n

n n

d) Tiêu chuẩn D’Alembert:

Giả sử tồn tại giới hạn

∗ Nếu D> 1 thì

Cho chuỗi số dương

Tuy nhiên nếu ta chứng minh được

d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)

3

n

n n

n n

3

n

n n

n u

V

n n

!

2

n

v n = n n → ∞

VD3: Xét chuỗi số

Ta có

d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt)

u u

n

n

u u

e) Tiêu chuẩn Cauchy:

giả sử tồn tại

∗Nếu c < 1 thì

∗Nếu c = 1 thì chưa có kết luận

Cho chuỗi số dương

VD1: Xét chuỗi số

Ta có:

e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)

Tuy nhiên nếu ta chứng minh được

thì ta kết luận chuỗi phân kỳ

u

n

n > 1 , ∀ ≥

VD2: Xét chuỗi số

Ta có:

e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)

∑ ∞ = 1 + 2

2

) 1 (

2

.

n n

n n

1

2 )

1 ( 2 1 → <

VD3: Xét chuỗi số

Ta có:

Tuy nhiên

e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt)

1 1

2 3

2 n n + + >

∑ n ∞ = 1 u n