bài tập về chuỗi số dươngbài tập chuỗi số dươngbài tập xét sự hội tụ của chuỗi số dươngtiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dươngcác dạng bài tập về chuỗi số dươngbai tap chuoi so duong toan a1điều kiện hội tụ của chuỗi số dươngnhắc lại chuỗi số là chuỗi số dương nếu un gt 0 n 1 2 3hệ số tương quan hai chuỗi theo từng cấp điểm tăng cùng với điểm số tăng với cách trả lời có điểm số cao nhất hệ số này nên là một số dươngbài 2 chuỗi số dương
II CHUỖI SỐ DƯƠNG ∞ 1.Định nghĩa: ∑ un Chuỗi số dương chuỗi với n =1 un > 0, ∀n Các tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi số dương a) Tiêu chuẩn tích phân f (x) Cho hàm số liên tục, không âm đơn điệu giảm [ k ,+∞), k∈N ∗ ∞ Khi Chuỗi f (n) ∑ n =1 hội tụ ⇔ +∞ ∫ k f ( x) dx hội tụ a) Tiêu chuẩn tích phân: (tt) ∞ VD1: Xét chuỗi ∑ α n =1 n ∗ Nếu α0 un → ∞ nên chuỗi phân kỳ un =1 nên chuỗi phân kỳ xét hàm f ( x) = 1α x VD 1(tt) Hàm liên tục, không âm đơn điệu giảm +∞ Mà ∫ dx α x ∞ Vậy chuỗi ∑ α n =1 n hội tụ α >1 α ≤1 phân kỳ hội tụ phân kỳ α >1 α ≤1 [1,+∞) ∞ ∑ VD2: Xét chuỗi n=2 Xét hàm f (x) = n ln n x ln x [2,+∞) Hàm liên tục, không âm đơn điệu giảm +∞ Mà ∫2 dx = x ln x +∞ ∫2 +∞ Vậy tích phân ∫ +∞ d (ln x) = ln( ln x) | = + ∞ ln x dx x ln x Theo tiêu chuẩn tích phân phân kỳ ∞ ∑ n =2 n ln n phân kỳ b) Tiêu chuẩn so sánh 1: ∞ ∑ un Cho hai chuỗi số dương ∞ ∑ n =1 thoả điều kiện ∃N: n =1 0< u ≤ v ∀n ≥ N n n, Khi đó: ∞ Nếu chuỗi ∑ n =1 Hoặc chuỗi ∞ hội tụ chuỗi ∑u n =1 ∞ ∑u n =1 n hội tụ ∞ n phân kỳ chuỗi ∑v n =1 n phân kỳ b) Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt) ∞ VD1: Cho chuỗi số n ∑ 5n + n n =1 n n Ta có: 2 < n ≤ + n 5 ∞ Mà chuỗi n ∑ n =1 hội tụ (q = > ; ∀n ≥ n n Ta có: ∞ Mà chuỗi 1 ∑ n =2 n phân kỳ (VD1 phần tiêu chuẩn tích phân) ∞ Nên theo tiêu chuẩn so sánh chuỗi ln n ∑ n =2 n phân kỳ c) Tiêu chuẩn so sánh 2: ∞ un , ∑ ∑ n =1 n =1 Cho hai chuỗi số dương Giả sử tồn ∞ un lim = k n→∞ • k = chuỗi ∑ n =1 • k = +∝ chuỗi • < k < +∝ hai chuỗi ∞ ∞ un ∑ n =1 hội tụ chuỗi ∞ ∞ un ∑ n =1 ∞ un ∑ n =1 hội tụ phân kỳ hội tụ hội tụ chuỗi ∞ ∑ n =1 ∑ n =1 hội tụ c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ n + n +1 ∑ n +1 n =1 VD1: Xét chuỗi số Ta có: n + n +1 ~ n +1 n n →∞ ∞ Mà chuỗi Nên chuỗi ∑ n =1 n ∞ hội tụ n + n +1 ∑ n +1 n =1 có tính chất hội tụ c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ n + − n − VD2: Xét chuỗi số ∑ n n =1 n + 1− n −1 2 u = = ~ Ta có 3 n 4 n n ( n + + n − 1) n n → ∞ ∞ Mà chuỗi Nên chuỗi ∑ n n =1 ∞ ∑ n =1 hội tụ n + 1− n −1 n4 có tính chất hội tụ c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ ∑ n n n n =1 VD3: Xét chuỗi số Ta có Lú c 1 un = n = n n n Xét un lim = lim n1 = n→∞ n →∞ n ∞ Mà chuỗi Nên chuỗi ∑ n n =1 ∞ phân kỳ ∑ nn n n =1 phân kỳ c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ n + ⋅ ln( ) VD4: Xét chuỗi số ∑ n −1 n =1 n T 2 u = ⋅ ln( + ) ~ ⋅ n → ∞ n a có n −1 n n n −1 Xét = 13 n2 ∞ u Lú n = lim mà chuỗi ∑ c hội tụ n→∞ n n =1 ∞ Nên ⋅ ln(n + 1) hội tụ ∑ chuỗi n −1 n =1 n c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ ∑ n =1 VD5: Xét chuỗi số n arctg n 1 un = n arctg ~ n ⋅ = n n n3 T a có Mà chuỗi Nên chuỗi ∞ ∑ n =1 n3 ∞ ∑ n =1 hội tụ n arctg 12 n hội tụ n →∞ d) Tiêu chuẩn D’Alembert: ∞ un ∑ n =1 Cho chuỗi số dương Giả sử tồn giới hạn ∗ Nếu D1 ∞ un ∑ n =1 un +1 lim = D n →∞ u n hội tụ ∞ un ∑ n =1 phân kỳ ∗ Nếu D=1 chưa có kết luận d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) un+1 >1 ∀n ≥ N un Tuy nhiên ta chứng minh ∞ lúc ta kết luận un ∑ n =1 ∞ phân kỳ n n ! VD1: Xét chuỗi số ∑ n n n =1 un +1 3 Ta có → >1 = n e u n ( + 1n ) Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∞ n n! ∑ n n =1 n phân kỳ d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) ∞ n + 5n ∑ n ! + ln n n =1 VD2: Xét chuỗi số + 5n un = n!+ ln n Vn +1 = →0 Vn n n Ta có Mà 2 Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∞ chuỗi un ∑ n =1 hội tụ n ~ = n! n →∞ ∞ ∑ n =1 hội tụ nên d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) ∞ n e n ! VD3: Xét chuỗi số ∑ n n =1 n un+1 e = →1 Ta có n un (1 + 1) n ( Tuy nhiên ta có ∞ Vậy chuỗi ) n 1+ n < e nên n e n! ∑ n n =1 n phân kỳ un+1 >1 un e) Tiêu chuẩn Cauchy: ∞ un ∑ n =1 Cho chuỗi số dương giả sử tồn lim n un = c n→∞ ∗ Nếu c < ∗ Nếu c > ∞ un ∑ n =1 hội tụ ∞ un ∑ n =1 phân kỳ ∗ Nếu c = chưa có kết luận e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt) n Tuy nhiên ta chứng minh un >1, ∀n ≥ N ta kết luận chuỗi phân kỳ ∞ VD1: Xét chuỗi số Ta có: n n ∑ n n =2 (ln n) un = → ln n ∞ Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy n ∑ n n =2 (ln n) hội tụ e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt) Ta có: n n n ∑ n2 n =1 ( n + 1) ∞ VD2: Xét chuỗi số n2 un = → 1 2n +1 ∞ Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy ∑u n =1 n phân kỳ [...]... hội tụ n→∞ vn n n =1 ∞ Nên 1 ⋅ ln(n + 1) cũng hội tụ ∑ chuỗi n −1 n =1 n c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ ∑ n =1 VD5: Xét chuỗi số 3 1 n arctg 2 n 2 3 2 1 1 1 un = n arctg 2 ~ n ⋅ 2 = 4 n n n3 3 T a có Mà chuỗi Nên chuỗi 2 ∞ 1 4 ∑ n =1 n3 ∞ ∑ n =1 3 hội tụ n arctg 12 n 2 cũng hội tụ khi n →∞ d) Tiêu chuẩn D’Alembert: ∞ un ∑ n =1 Cho chuỗi số dương Giả sử tồn tại giới hạn ∗ Nếu D1 thì... sánh 2: (tt) ∞ ∑ n n n n =1 VD3: Xét chuỗi số Ta có Lú c này 1 1 1 un = n vn = n n n Xét un lim = lim n1 = 1 n→∞ vn n →∞ n ∞ Mà chuỗi Nên chuỗi 1 ∑ n n =1 ∞ phân kỳ 1 ∑ nn n n =1 cũng phân kỳ c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ 1 n + 1 ⋅ ln( ) VD4: Xét chuỗi số ∑ n −1 n =1 n T 1 2 1 2 u = ⋅ ln( 1 + ) ~ ⋅ khi n → ∞ n a có n −1 n n n −1 Xét vn = 13 n2 ∞ u Lú 1 n = 2 lim mà chuỗi 3 ∑ c này 2 hội tụ n→∞ vn n... ta kết luận un ∑ n =1 ∞ phân kỳ n 3 n ! VD1: Xét chuỗi số ∑ n n n =1 un +1 3 3 Ta có → >1 = n e u n ( 1 + 1n ) Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∞ n 3 n! ∑ n n =1 n phân kỳ d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) ∞ n 2 + 5n ∑ n ! + ln n n =1 VD2: Xét chuỗi số 2 + 5n un = n!+ ln n Vn +1 2 = →0 Vn n n Ta có Mà 2 2 Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∞ chuỗi un ∑ n =1 cũng hội tụ n ~ vn = 2 n! khi n →∞... thì ta kết luận chuỗi phân kỳ ∞ VD1: Xét chuỗi số Ta có: n n 3 ∑ n n =2 (ln n) un = 3 → 0 ln n ∞ Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy n 3 ∑ n n =2 (ln n) hội tụ e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt) Ta có: n n n 2 ∑ n2 n =1 ( n + 1) ∞ VD2: Xét chuỗi số n2 un = 2 → 2 1 un e) Tiêu chuẩn Cauchy: ∞ un ∑ n =1 Cho chuỗi số dương giả sử tồn tại lim n un = c n→∞ ∗ Nếu c < 1 thì ∗ Nếu c > 1 thì ∞ un ∑ n =1 hội tụ ∞ un ∑ n =1 phân kỳ