Chuoi co dau bat ky

III CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI a.Định lý ∞ Cho chuỗi số un ∑ n =1 , ∞ Nếu chuỗi hội tụ ∞ un ∑ n =1 hội tụ ∞ ∞ un ∑ n =1 un ∈ R ≤ un ∑ n =1 un ∑ n =1 b Định nghĩa ∗ Nếu chuỗi ∞ ∞ un ∑ n =1 hội tụ chuỗi gọi hội tụ tuyệt đối ∗ Nếu chuỗi ∞ un ∑ n =1 ∞ un ∑ n =1 un ∑ n =1 ∞ un ∑ n =1 hội tụ mà phân kỳ chuỗi gọi bán hội tụ Chú ý: ∞ Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert Cauchy mà biết chuỗi hội tụ hay phân kỳ lúc n ∞ chuỗi un ∑ n =1 u ∑ n =1 hội tụ hay phân kỳ I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt) ∞ VD1: Xét chuỗi sin n ∑ n =1 n Ta có: sin n ≤ 2 n n ∞ Mà chuỗi ∑ n =1 n ∞ Vậy chuỗi ∞ hội tụ nên sin n ∑ n =1 n sin n ∑ n =1 n hội tụ tuyệt đối hội tụ I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt) ∞ n (−1) ∑ n n =1 n n un = (−1) ⋅ n VD2: Xét chuỗi Đặt n Ta có: un +1  n  = 3⋅   →3 un  n +1 Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∞ phân kỳ nên chuỗi un ∑ n =1 phân kỳ ∞ un ∑ n =1 I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt) ∞ VD3: Xét chuỗi n 2n −1  (−1)   ∑  3n +  n =1 n n n −   Đặt un = (−1) ⋅    3n +  2n −1 Ta có: n u =  n  3n +  →   n un ∑ n =1 Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi ∞ hội tụ nên chuỗi un ∑ n =1 ∞ hội tụ I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt) ∞ 1 (−1) tg sin ∑ n n n =1 VD4: Xét chuỗi Đặt n un = (−1) n un ~ ⋅ n Ta có: 1 ⋅ tg ⋅ sin n n = n n2 ∞ ∞ Mà ∑ n n =1 hội tụ nên un ∑ n =1 ∞ Vậy ∑ un n =1 hội tụ tuyệt đối hội tụ II CHUỖI ĐAN DẤU a Định nghĩa Chuỗi có dạng n +1 ± (u1 − u2 + u3 − u4 + + (−1) un + ) với un > b Tiêu chuẩn Leibnitz Xét chuỗi đan dấu gọi chuỗi đan dấu ∞ (−1) ∑ n =1 ∗ Nếu dãy un đơn điệu giảm n un , un > lim un = n→∞ đan dấu hội tụ ∗ Chuỗi đan dấu thoả mãn tiêu chuẩn Leibnitz gọi chuỗi Leibnitz chuỗi II CHUỖI ĐAN DẤU (tt) ∞ VD1: Xét chuỗi ( − ) ⋅ ∑ n ln n n=2 n Nhận xét Đây chuỗi đan dấu với un = n ln n lim un = đơn điệu giảm n→∞ Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz ∞ dương (−1) ∑ n =1 hội tụ gọi chuỗi Leibnitz n un II CHUỖI ĐAN DẤU (tt) ∞ VD2: Xét chuỗi n (−1) ⋅ ∑ n + n +1 n =1 n Nhận xét: Đây chuỗi đan dấu x f (x) = Xét hàm x + x +1 − x +1 f ′( x) = Ta có: < ; ∀x > ( x + x +1) n u = Vậy dãy số dương giảm n n + n +1 ∞ n hội tụ ( − ) ⋅ u u →0 nên chuỗi đan dấu ∑ n n n =1