Chuỗi số dương trong toán học

Tên học: CHUỖI SỐ DƯƠNG A Mục đích - Trang bị cho học sinh số khái niệm chuỗi số dương: định nghĩa, tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dương tập áp dụng - Rèn kỹ vận dụng khai thác kiến thức học vào giải vấn đề Rèn luyện tư logic ngôn ngữ xác, phát triển lực suy đoán B Yêu cầu - Sinh viên hiểu khái niệm chuỗi số dương, nắm tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dương - Sinh viên biết vận dụng tốt kiến thức học vào giải tập ứng dụng I Ổn định lớp (1 phút) - Số học sinh vắng: ………………… - Nội dung nhắc nhở: kiểm tra công tác chuẩn bị tài liệu phục vụ cho giảng công tác tổ chức lớp II Kiểm tra cũ III Giảng Tên: …………………………… - Đồ dùng dạy học: giáo trình, giáo án, phấn bảng - Nội dung, phương pháp: TT Nội dung giảng dạy Thời gian (phút) 1 Khái niệm chuỗi số dương 15 2 Tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dương 24 2.1 Tiêu chuẩn so sánh Giảng giải, phát vấn 2.2 Tiêu chuẩn so sánh 2.3 Tiêu chuẩn Đalămbe 2.4 Tiêu chuẩn Côsi 2.5 Dấu hiệu tích phân Côsi IV Tổng kết (1 phút) V Câu hỏi tập (1 phút) Phương pháp thực VI Tự đánh giá giáo viên về: chất lượng, nội dung, phương pháp, thời gian thực giảng ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… VII Tài liệu tham khảo 1) Bài giảng toán cao cấp (Bộ môn Toán Đại học Điện Lực) 2) Toán cao cấp – Nguyễn Đình Chí chủ biên 3) S.M.Nikolsky A course of Mathematical analysis Hà Nội, tháng năm 2016 Trưởng khoa Người thực TS.NGUYỄN MINH KHOA Phan Thị Tuyết CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ §2: CHUỖI SỐ DƯƠNG Định nghĩa ∞ Chuỗi số ∑u n =1 (1) gọi chuỗi số dương un > ∀n , với un số hạng tổng quát n thứ n chuỗi 2n + , chuỗi số dương +5 ∞ Ví dụ 1: ∑ − cos 3n n =1 Đặt S n = u1 + u2 + + un gọi tổng riêng thứ n chuỗi, { Sn } dãy đơn điệu tăng có hai trường hợp xảy n = S (hữu hạn) (1) hội tụ có tổng S TH1: Nếu tồn limS n →∞ n ( limSn = ∞ ) chuỗi (1) phân kỳ TH2: Nếu không tồn limS n→∞ n→∞ ∞ Ví dụ 2: Xét hội tụ chuỗi điều hòa ∑n n =1 Giải Ta có un = 1 > ∀n Đặt S n = + + + n n Ta chứng minh: > ln(k + 1) − ln(k ) ∀k > (2) k Ta có lim(1 + ) n = e Vì dãy n →∞ n n    1 + ÷  dãy đơn điệu tăng nên suy  n   k 1  1  + ÷ < e ⇔ k ln(1 + ) < ⇔ > ln(k + 1) − ln(k ) Vậy (2) chứng minh k k  k Áp dụng công thức (2) ta có: > ln(2) − ln(1) > ln(3) − ln(2) > ln(n + 1) − ln(n) n n →∞ S n = ∞ Vậy chuỗi cho phân kỳ ⇒ S n > ln(n + 1) − ln(1) = ln(n + 1)  → ∞ ⇒ lim n →∞ ∞ ∑n Chú ý: Chuỗi điều hòa n =1 hội tụ s>1 s phân kỳ s ≤ S n dài phức tạp, để xét tính hội tụ Trong số trường hợp việc tính lim n →∞ chuỗi số dương ta có số tiêu chuẩn sau Tiêu chuẩn hội tụ chuỗi số dương 2.1 Tiêu chuẩn so sánh ∞ Cho hai chuỗi số dương ∑ un n =1 ∞ a) Nếu ∑ hội tụ n =1 b) Nếu n =1 ∑v Giả sử un ≤ ∀n ≥ n0 ∈ N Khi n n =1 ∞ ∑u n =1 ∞ ∑u ∞ n hội tụ ∞ n phân kỳ ∑v phân kỳ n n =1 ∞ ∑n Ví dụ Xét hội tụ chuỗi n=2 ln n + n2 + ln n > ∀n Ta chứng minh: x > ln x ∀x > n + n2 + x −1 > ∀x > , suy y hàm số đơn điệu tăng Đặt y = x − ln x , y ' = − = x x y ( x) > y (1) ∀x > ⇒ x − ln x > Theo điều vừa chứng minh ∀n ≥ ta có n > ln(n) Vậy ln n n < un = < < 2 n +n +2 n +n +2 n ∞ mà ∑ hội tụ, chuỗi cho hội tụ n =1 n Ta có un = 2.2 Tiêu chuẩn so sánh ∞ Cho hai chuỗi số dương ∑ un n =1 un = k, n →∞ v n lim ∞ ∑v n =1 n Nếu tồn giới hạn hữu hạn 0 n0 , ta có un +1 = d nên tồn số un un +1 < d +ε un Cũng xem n0 = Khi un = un un −1 u2 u1 ≤ (d + ε ) n −1.u1 un −1 un − u1 n −1 Vì d +ε < , nên chuỗi có số hạng tổng quát (d + ε ) u1 hội tụ, theo tiêu chuẩn so ∞ sánh chuỗi ∑u n =1 n hội tụ un +1 > un +1 > un , số hạng tổng un Nếu d >1, từ số hạng trở quát không dần tới n → ∞ Vậy chuỗi số phân kỳ Chú ý: Trong trường hợp d=1 ta chưa có kết luận hội tụ hay phân kỳ chuỗi ∞ Chuỗi ∞ ∑n n =1 ∑ n ví dụ cho trường hợp chuỗi số dương phân kỳ thỏa mãn d=1, chuỗi n =1 ví dụ cho trường hợp chuỗi số dương hội tụ thỏa mãn d=1 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi ∞ n =1 Ta có un = nn >0 3n n ! nn ∑ n! n ∀n n u ( n + 1) n +1 3n n ! 1 1 e lim n +1 = lim n +1 = lim  + ÷ = < n n →∞ u n →∞ n →∞ (n + 1)! n  n n Vậy chuỗi cho hội tụ 2.4 Tiêu chuẩn Côsi ∞ Cho chuỗi số dương ∑u n =1 n n u =C Giả sử tồn lim Khi đó, n n →∞ a) C1, chuỗi phân kỳ; c) C=1, chưa có kết luận hội tụ chuỗi n2 ∞ Ví dụ Xét hội tụ chuỗi ∑ 1 − ÷ n n =1  n2 Ta có un = 1 − ÷ > ∀n  n −1 −n n     1 n lim un = lim 1 − ÷ = lim 1 +  = < Vậy chuỗi cho hội tụ ÷ n →∞ n →∞ e  n  n→∞  (−n)   2.5 Dấu hiệu tích phân Côsi Giả sử hàm số f(x) liên tục, dương, giảm khoảng [1,+∞) dần tới x → +∞ +∞ Khi tích phân suy rộng ∫ f ( x)dx chuỗi ∞ ∑u n =1 n , un = f (n) , hội tụ phân kỳ ∞ Ví dụ Xét hội tụ chuỗi n=2 Xét hàm số f ( x) = , x ln x ∑ n ln n x ∈ [2,+∞) Ta thấy f(x) hàm số liên tục, dương, giảm khoảng x ∈ [2, +∞) dần tới x → +∞ Xét tích phân suy rộng ∞ ∫ y f ( x)dx = lim ∫ y →∞ y  dx d (ln x ) −1 y  = lim = = lim  − = (hữu hạn) ÷ 2 ∫ x ln x y →∞ ln x ln x y →∞  ln ln y  ln Vậy tích phân suy rộng hội tụ Suy chuỗi cho hội tụ Bài tập Xét hội tụ chuỗi số dương sau ∞ 1) ∑ (ln n) n=2 2) ∞ n ( n !) ∑3 n =1 ( n +1)2 n2 ∞ 1  3) ∑ n 1 + ÷ n +1  n =1  ∞ (n + 1) 4) ∑ n =1 ∞ n n 3n 5) ∑ 6) ∑ sin n =1 n(n + 1) π ∞ n n =1 ∞ 7) ∑n n =1 8) n n n ∞ 1  ∑  arctan ÷ n n =1  n  2n −  9) ∑  ÷ n =1  3n + n  ∞ 2n + n 10) ∑ n n =1 + 3n + ∞ ... of Mathematical analysis Hà Nội, tháng năm 2016 Trưởng khoa Người thực TS.NGUYỄN MINH KHOA Phan Thị Tuyết CHƯƠNG V: CHUỖI SỐ §2: CHUỖI SỐ DƯƠNG Định nghĩa ∞ Chuỗi số ∑u n =1 (1) gọi chuỗi số... { Sn } dãy đơn điệu tăng có hai trường hợp xảy n = S (hữu hạn) (1) hội tụ có tổng S TH1: Nếu tồn limS n →∞ n ( limSn = ∞ ) chuỗi (1) phân kỳ TH2: Nếu không tồn limS n→∞ n→∞ ∞ Ví dụ 2: Xét hội...  k Áp dụng công thức (2) ta có: > ln(2) − ln(1) > ln(3) − ln(2) > ln(n + 1) − ln(n) n n →∞ S n = ∞ Vậy chuỗi cho phân kỳ ⇒ S n > ln(n + 1) − ln(1) = ln(n + 1)  → ∞ ⇒ lim n →∞ ∞ ∑n Chú ý: