Áp dụng mô hình toán học để giải bài toán quy hoạch cụ thể

Chươngư4 áp dụng mô hình toán học để giải toán qui hoạch 4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.2 Qui hoạch tuyến tính 4.3 Qui hoạch phi tuyến 4.1 KHI NiM V BI TON QUI HOCH Bi toỏn qui hoch tng quỏt Phõn loi bi toỏn qui hoch 4.1 KHI NiM V BI TON QUI HOCH 1.Bi toỏn qui hoch tng quỏt Xỏc nh giỏ tr cỏc bin: X = {x1, x2, , xn} Sao cho hm f(X) /max (j=1,2,n) ng thi tha cỏc iu kin: gi(X) (;=;) bi (i = 1,2,,m); x X R n ( j = 1, 2, , n) j c gi l mt bi toỏn qui hoch Hm f(X) gi l hm mc tiờu Cỏc hm gi(X); (i = 1,2,,m) c gi l cỏc rng buc 4.1 KHI NiM V BI TON QUI HOCH Tp hp D = {x j X;g i (X)(; =; )b i } (i = 1m; j = 1n) gi l rng buc Mi im X = {x1, x2, , xn} D gi l phng ỏn (PA) Mt PA cú X* D t cc i hay cc tiu ca hm mc tiờu * f (X ) f (X), X D i vi bi toỏn C th: f (X* ) f (X), X D i vi bi toỏn max c gi l li gii ti u Khi ú giỏ tr f(X*) c gi l giỏ tr ti u húa ca bi toỏn qui hoch 4.1 KHI NiM V BI TON QUI HOCH Phõn loi bi toỏn qui hoch 1, Mt bi toỏn qui hoch c gi l bi toỏn qui hoch tuyn tớnh nu hm mc tiờu f(X) v tt c cỏc hm rng buc gi(X); i = 1,2,,m l tuyn tớnh: n f (X) = c j x j min(max) j=1 n g i (X) = a ij x j (; =; )b i , i = ữ m j=1 Trong ú: cj, aij, bi l cỏc hng s 4.1 KHI NiM V BI TON QUI HOCH 2, L bi toỏn qui hoch tham s nu cỏc h s biu thc hm mc tiờu v cỏc rng buc ph thuc tham s 3, L bi toỏn qui hoch ng nu i tng xột l cỏc quỏ trỡnh cú nhiu giai on núi chung hay cỏc quỏ trỡnh phỏt trin theo thi gian núi riờng 4, L bi toỏn qui hoch phi tuyn nu nh hoc f(X) hoc cú ớt nht cỏc hm gi(X) l phi tuyn 5, L bi toỏn qui hoch ri rc nu rng buc D l ri rc 6, L bi toỏn qui hoch a mc tiờu nu trờn cựng rng buc ta xột ng thi cỏc hm mc tiờu khỏc 4.2 QUI HOCH TUYN TNH Vớ d v bi toỏn QHTT Dng tng quỏt QHTT Bi toỏn ti S dng ExcelSolver gii bi toỏn QH 4.2 QUI HOCH TUYN TNH Vớ d v bi toỏn QHTT Một nhà máy điện dùng loại than để sản xuất điện Biết lợng điện yêu cầu hàng năm nhà máy A[MWh] Suất tiêu hao than loại than thứ i qi [kg/MWh](i=1,2,3,4) Giá thành sản xuất điện loại than i ci [đ/MWh](i=1,2,3,4) Lợng than loại i cung cấp hàng năm để sản xuất điện không đợc vợt Qi ; Tổng lợng than loại cung cấp hàng năm để sản xuất điện không đợc vợt Q Cần xác định lợng điện đợc sản xuất hàng năm từ loại than để đạt cực tiểu chi phí sản xuất điện 4.2 QUI HOCH TUYN TNH Lời giải Gọi lợng điện đợc sản xuất hàng năm từ loại than thứ i xi[MWh]; i=1,2,3,4, toán đợc trình bày nh sau : Xác định X={ x1, x2, x3, x4 } cho: f(X) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 Với ràng buộc: x1 + x + x + x = A q1x1 + q2x2 + q3x3 + q4x4 Q q1x1 Q1 q2x2 Q2 q3x3 Q3 q4x4 Q4 xi (i=1,2,3,4) 4.2 QUI HOCH TUYN TNH Dng tng quỏt Tỡm X = {xj} j = 1ữn tha ng thi cỏc iu kin n sau: f (X) = c j x j min(max) 1, j=1 n 2, g i (X) = a ij x j (; =; )b i i =1ữ m j=1 Trong ú: f(X) l hm mc tiờu; Xj l cỏc n; Cj, aij, bi l nhng hng s t 10 4.2 QUI HOCH TUYN TNH Bi toỏn ti c phỏt biu di dng toỏn hc nh sau: Xỏc nh cỏc giỏ tr xij : i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n cho: vi cỏc rng buc: m n i =1 j=1 f (X) = cij x j n x = a ;i = ữ m v : xi ij ij j=1 m (i = 1,2, , m ; j = 1,2, , n ) x ij = b j ; j = ữ n i =1 - Ngoi trng hp n gin thng gi thit l tng dung lng hng phỏt i cõn bng vi tng dung lng ni nhn, ngha l: m n a = b i =1 i j=1 j 14 4.2 QUI HOCH TUYN TNH Ta xột vớ d: Cú hai ni phỏt A1, A2 vi cỏc lng hng tng ng a1 = 200; a2 = 300 v ni nhn vi nhu cu tng ng b1 = 150; b2 = 250; b3 = 100 Cc phớ ti cij c ghi gúc phi phớa trờn tng ngn bng sau: 15 4.2 QUI HOCH TUYN TNH Ni phỏt Ni nhn B1 A1 A2 bi B2 B3 100 2 200 300 100 150 150 150 250 100 500 Li gii : x12 = 100 ; x13 =100 ; x21 = 150 ; x22 = 150 Khi ú: F(X) = 100.3 + 100.2 + 150.2 + 150.4 = 400 16 4.2 QUI HOCH TUYN TNH Excel solver gii bi toỏn QH f (X1, X X 6) = 1.2 X1 X + X +1.5 X + X - X Min Cỏc RB: X1 + 2X + X + X - X = X1 + 4X2 - 4X3 + X X1 + 2X + X + 2X = 10 X1, X 2, X , , X 17 Giao din ExcelSolver 18 Cỏc bc tớnh: B1) Np s liu, tớnh hm f v cỏc RB * A4:F4 ghi chỳ tờn cỏc bin x1,,x6; A5:F5 ghi giỏ tr cỏc bin ( bc u gỏn tựy chn) * Hng ghi chỳ h s hmt A8:F8 ghi giỏ tr cỏc h s bin hmt * Hng 10 ghi chỳ h s cỏc RB A11:F13 ghi giỏ tr cỏc h s hm mc tiờu * H4 ghi chỳ hm f H5 tớnh giỏ tr hm =SUMPRODUCT($A$5:$F$5,A8:F8) * H10:I10 ghi chỳ VT,VP I11:I13 ghi giỏ tr cỏc RB H11:H13 tớnh giỏ tr VT cỏc RB theo s liu ó np, s dng hm =SUMPRODUCT($A$5:$F$5,A11:F11) cho H11 v kộo rờ cho H12, H13 19 Cỏc bc tớnh: B2) 20 4.3 QUI HOCH PHI TUYN Ch cn hoc f(X) hoc cú ớt nht cỏc hm rng buc gi(X) l phi tuyn thỡ bi toỏn qui hoch tng quỏt s l bi toỏn qui hoch phi tuyn gii bi toỏn qui hoch phi tuyn ngi ta thng ỏp dng mt cỏc phng phỏp l tuyn tớnh húa, a v bi toỏn qui hoch phi tuyn khụng rng buc, gii trc tip, qui hoch ng, 21 Phng phỏp tuyn tớnh húa Xỏc nh giỏ tr cỏc bin: X = {x1, x2,, xn} cho hm f(xj) max (min); j = 1, 2,, n ng thi tha cỏc iu kin: hi(X) = (i = 1,2,,m1) gi(X) (i = 1,2,,m2) n Trong ú, trng xhp tng cỏc hm f(x), hi(x), gi(x) X Rquỏt j u hmcỏc phihm tuyn Khailtrin trờn theo chui Taylor v ch ly n hm bc nht: f (X) = f (X ( k ) ) + f '(X ( k ) )(x i x i( k ) ) (k) ' (k) (k) h (X) = h (X ) + h (X )(x x )=0 i xi i i i g (X) = g (X ( k ) ) + g ' (X ( k ) )(x x ( k ) ) xi i i i i 22 Phng phỏp tuyn tớnh húa Cỏc bc lp ca phng phỏp Bc 1: Chn nghim ban u X(0) + Tớnh cỏc giỏ tr f(X(0)), h(X(0)), g(X(0)) + Ly cỏc o hm f(X), h(X), g(X) theo cỏc bin v tớnh giỏ tr ca chỳng theo X(0), f(X(0)), h(X(0)), g(X(0)) + Lp bi toỏn qui hoch tuyn tớnh Bc 2: Gii bi toỏn qui hoch tuyn tớnh c X khỏc ban u + Chn vecto tựy ý + So sỏnh gia cỏc thnh phn th i ca hai vecto X(0) v X va tớnh c - Nu x i(1) > x i(0) thỡ xỏc nh c x (1) = x (0) + (1) i i (1) (0) (1) - Nu x i < x i thỡ xỏc nh c x i = x i(0) (1) Trong ú: (1) l di bc lp th (0 < (1) < 1) nhng bc lp khỏc ta cú: iu kin ti u l no thỡ coi nh bi toỏn hi t theo tiờu chun ó 23 a v qui hoch phi tuyn khụng rng buc 1) Phng phỏp Lagrange v nh lý Kuhn-Tucker Phng phỏp Lagrange l phng phỏp kinh in gii bi toỏn qui hoch phi tuyn cỏc rng buc cú dng ng thc v bt ng thc, xỏc nh cc tr cú iu kin (cc tr vng) ca hm nhiu bin v hm ú liờn tc cựng vi o hm riờng bc nht ca nú A, Bi toỏn Lagrange dng chớnh tc Trc ht ta xột bi toỏn dng chớnh tc: Xỏc nh X = {x1, x2,, xn} cho: F(x1, x2,, xn) Vi cỏc rng buc: hi(X) = (i = 1, 2,, m) 24 a v qui hoch phi tuyn khụng rng buc i ngu Lagrange õy l bi toỏn sau: Xỏc nh X = {x1, x2,, xn} cho: L(x1, x2,, xn; 1, 2,,m) = f(x1, x2,, xn)+ m h (x , x , , x i =1 i i n )min Trong ú L l hm Lagrange cũn l nhõn t Lagrange H phng trỡnh Lagrange c thnh lp trờn c s ly o hm riờng ca hm L theo xj v i v cho chỳng bngm0 nh sau: h (X) L f (X) = + i i =0 ( j = 1, , n ) x j x j x j i =1 L = h i (x1 , x , , x n ) = ( i = 1, , m ) j X* = {x1* , x *2 , , x *n } f{x1* , x *2 , , x *n } Nu im hm (x * , x * , , x * , t tr*thỡ tn ti * * cc * ={1* , *2 , , *m } , , , ) n m vecto cho im l li gii ca h xỏc nh cc i hoc cc tiu phi kho sỏt giỏ tr o 25 a v qui hoch phi tuyn khụng rng buc B, Bi toỏn Lagrange dng m rng i vi bi toỏn Lagrange m rng tc l h rng buc cú tn ti c cỏc bt phng trỡnh thỡ ngi ta thng dựng phng phỏp da trờn nh lớ Kuhn-Tucker (nh lớ v im yờn nga) gi l phng phỏp Lagrange m rng Gi thit cn xỏc nh X = {x1, x2,, xn} cho: f{x1, x2,, xn} v tha cỏc rng buc: hi{x1, x2,, xn} = 0; i = 1, 2,, m1 gi{x1, x2,, xn} 0; i = m+1, m+2,, m xj (j = 1, 2,, n) Chỳ ý: trng hp cn lm max hm f(X) ta nhõn f(X) vi -1 thnh f(X) hoc cú gi(X) ta nhõn gi(X) vi -1 cú rng buc gi(X) 26 a v qui hoch phi tuyn khụng rng buc Bi toỏn Lagrange dng mm rng, hm Lagrange cú dng: L(X, ) = f(x1, x2,, xn)+ i h i (x1 , x , , x n ) + i =1 m g (x , x , , x i i = m1 +1 i n ) Vỡ gi(X) khụng ng nht bng nờn khụng th ly o hm L(X, ) v cho bng nh trc õy Gi thit f(X) v gi(X), i = 1, 2,, m liờn tc, kh vi v to thnh hp li thỡ ta cú th s dng nh lớ Kuhn-Tucker gii bi toỏn ny Ni dung ca nú cú th hiu nh sau: im L trờn mt cong L(X,) l theo X v max theo nh lớ: Vecto X* ch l li gii ti u ca bi toỏn tn ti vecto * m cho: Giỏ tr ca im L(X*, *) < L(X, *) v > L(X*, ) L(X*, ) L(X*, *) L(X, *) L(X*, *) l im yờn nga ca hm L(X,) 27 hết chơng IV 28 [...]...4.2 QUI HOCH TUYN TNH 3 Bi toỏn vn ti Bản chất của bài toán vận tải là tìm phơng án tối u để vận tải hàng hóa từ một số nơi phát đến một số nơi nhận Chỉ tiêu tối u ở đây thờng là cực tiểu chi phí tổng về vận tải Bài toán có thể mô tả nh sau: có m địa điểm phát , với các lợng hàng hoá tơng ứng a1, a2, ., am và n địa điểm nhận, với nhu cầu... cực tiểu, khi biết giá thành cớc phí đơn vị Cij vận tải trên đoạn đờng từ nơi phát i đến nơi nhận j Ký hiệu xij là số lợng hàng cần vận tải từ nơi phát i đến nơi nhận j, khi đó điều kiện của bài toán vận tải đợc mô tả trong bảng 11 4.2 QUI HOCH TUYN TNH a1 X11 X12 b1 Xmn Xm1 Xm2 b2 am X1n bn Mụ t bi toỏn 12 Nơi phát Nơi nhận B1 A1 B2 c11 X11 c12 c21 X21 Bn X12 A2 Dung lợng ai c1n a1 c2n a2 ... } cho: f(X) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 Với ràng buộc: x1 + x + x + x = A q1x1 + q2x2 + q3x3 + q4x4 Q q1x1 Q1 q2x2 Q2 q3x3 Q3 q4x4 Q4 xi (i=1,2,3 ,4) 4. 2 QUI HOCH TUYN TNH Dng tng quỏt Tỡm... 100.2 + 150.2 + 150 .4 = 40 0 16 4. 2 QUI HOCH TUYN TNH Excel solver gii bi toỏn QH f (X1, X X 6) = 1.2 X1 X + X +1.5 X + X - X Min Cỏc RB: X1 + 2X + X + X - X = X1 + 4X2 - 4X3 + X X1 + 2X +... phí sản xuất điện 4. 2 QUI HOCH TUYN TNH Lời giải Gọi lợng điện đợc sản xuất hàng năm từ loại than thứ i xi[MWh]; i=1,2,3 ,4, toán đợc trình bày nh sau : Xác định X={ x1, x2, x3, x4 } cho: f(X) =