áp dụng các mô hình toán học để giải bài toán quy hoạch

Chương áp dụng mô hình toán học để giải toán qui hoạch 4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.2 Qui hoạch tuyến tính 4.3 Bài toán vận tải 4.4 Qui hoạch số nguyên 4.5 Qui hoạch phi tuyến 4.5 Phương pháp qui hoạch động 4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.1.1 Bài toán qui hoạch tổng quát Bi toỏn qui hoch tng quỏt c phỏt biu nh sau: Xỏc nh giỏ tr cỏc bin: X = {x1, x2, , xn} Sao cho hm f(X) (max) ng thi tha cỏc iu kin gi(X) (;=;) bi (i = 1,2,,m) x j X R n ( j = 1, 2, , n) c gi l mt bi toỏn qui hoch 4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.1.1 Bài toán qui hoạch tổng quát Hm f(X) gi l hm mc tiờu Cỏc hm gi(X); (i = 1,2,,m) c gi l cỏc rng buc Tp hp D = {x j X;g i (X)(; =; )b i } (i = 1m; j = 1n) gi l rng buc Mi im gi l phng ỏn (PA) Mt PA cú t cc i hay cc tiu ca hm mc tiờu C th: i vi bi toỏn f (X* ) f (X), X D i vi bi toỏn max f (X* ) f (X), X D c gi l li gii ti u Khi ú giỏ tr f(X*) c gi l giỏ tr ti u húa ca bi toỏn qui hoch 4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.1.2 Phân loại toán qui hoạch 1, Mt bi toỏn qui hoch c gi l bi toỏn qui hoch tuyn tớnh nu hm mc tiờu f(X) v tt c cỏc hm rng buc gi(X); i = 1,2,,m l tuyn tớnh: n f (X) = c j x j min(max) j=1 n g i (X) = a ij x j (; =; )b i , i = ữ m j=1 Trong ú: cj, aij, bi l cỏc hng s 4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.1.2 Phân loại toán qui hoạch 2, L bi toỏn qui hoch tham s nu cỏc h s biu thc hm mc tiờu v cỏc rng buc ph thuc tham s 3, L bi toỏn qui hoch ng nu i tng xột l cỏc quỏ trỡnh cú nhiu giai on núi chung hay cỏc quỏ trỡnh phỏt trin theo thi gian núi riờng 4, L bi toỏn qui hoch phi tuyn nu nh hoc f(X) hoc cú ớt nht cỏc hm gi(X) l phi tuyn 5, L bi toỏn qui hoch ri rc nu rng buc D l ri rc 6, L bi toỏn qui hoch a mc tiờu nu trờn cựng rng buc ta xột ng thi cỏc hm mc tiờu khỏc 4.2 Qui hoch tuyn tớnh 4.2.1 t bi toỏn Một nhà máy điện dùng loại than để sản xuất điện Biết lượng điện yêu cầu hàng năm nhà máy A[MWh] Suất tiêu hao than loại than thứ i q i [kg/MWh](i=1,2,3,4) Giá thành sản xuất điện loại than i ci [đ/MWh](i=1,2,3,4) Lượng than loại i cung cấp hàng năm để sản xuất điện không vượt Qi ; Tổng lư ợng than loại cung cấp hàng năm để sản xuất điện không vượt Q Cần xác định lượng điện đư ợc sản xuất hàng năm từ loại than để đạt cực tiểu chi phí sản xuất điện 4.2 Qui hoch tuyn tớnh 4.2.1 t bi toỏn Lời giải Gọi lượng điện sản xuất hàng năm từ loại than thứ i xi[MWh]; i=1,2,3,4, toán trình bày sau : Xác định X={x1, x2, x3, x4 } cho: f(X) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 Với ràng buộc: x1 + x + x3 + x4 = A q1x1 + q2x2 + q3x3 + q4x4 Q q1x1 Q1 q2x2 Q2 q3x3 Q3 q4x4 Q4 4.2 Qui hoch tuyn tớnh 4.2.2 Cỏc dng bi toỏn qui hoch tuyn tớnh 4.2.2.1 Dng tng quỏt Bi toỏn cú dng tng quỏt l bi toỏn nh sau: Tỡm X = {xj} j = 1ữn tha ng thi cỏc iu kin sau: 1, n f (X) = c j x j min(max) j=1 2, g (X) = n a x (; =; )b ij j i i i =1ữ m j=1 Trong ú: f(X) l hm mc tiờu; Xj l cỏc n; Cj, aij, bi l nhng hng s t 4.2 Qui hoch tuyn tớnh 4.2.2 Cỏc dng bi toỏn qui hoch tuyn tớnh 4.2.2.2 Dng chớnh tc Bi toỏn cú dng chớnh tc l bi toỏn nh sau: Tỡm X = {xj} j = 1ữn tha ng thi cỏc iu kin sau: 1, n f (X) = c j x j min(max) j=1 2, n g i (X) = a ij x j ( =)b i i =1ữ m j=1 3, xj 0; bi Dng chớnh tc cht ch hn dng tng quỏt: iu kin (2) bt buc phi l cỏc phng trỡnh; iu kin (3) bt buc du ca xj v bi l khụng õm 4.2 Qui hoch tuyn tớnh 4.2.2 Cỏc dng bi toỏn qui hoch tuyn tớnh 4.2.2.2 Dng chớnh tc * Người ta đưa dạng tổng quát dạng tắc gặp trường hợp sau : n a x ij j j=1 bi thêm vào vế trái phương trình lượng ẩn xn+i > 0, ta có: n a x ij j=1 n j bi a ij x j + (x n +i ) = bi j=1 10 4.5 Qui hoch phi tuyn 4.5.3 a v qui hoch phi tuyn khụng rng buc 4.5.3.1 Phng phỏp Lagrange v nh lý Kuhn-Tucker A, Bi toỏn Lagrange dng chớnh tc Phng phỏp Lagrange l phng phỏp kinh in gii bi toỏn qui hoch phi tuyn cỏc rng buc cú dng ng thc v bt ng thc, xỏc nh cc tr cú iu kin (cc tr vng) ca hm nhiu bin v hm ú liờn tc cựng vi o hm riờng bc nht ca nú Trc ht ta xột bi toỏn dng chớnh tc: Xỏc nh X = {x1, x2,, xn} cho: F(x1, x2,, xn) Vi cỏc rng buc hi(X) = (i = 1, 2,, m) 60 4.5 Qui hoch phi tuyn 4.5.3 a v qui hoch phi tuyn khụng rng buc i ngu Lagrange õy l bi toỏn sau: Xỏc nh X = {x1, x2,, xn} cho: L(x1, x2,, xn; 1, 2,,m) = f(x1, x2,, xn)+ m h (x , x , , x i =1 i i n )min Trong ú L l hm Lagrange cũn l nhõn t Lagrange H phng trỡnh Lagrange c thnh lp trờn c s ly o hm riờng ca hm L theo xj v i v cho chỳng bngm0 nh sau: h (X) L f (X) = + i i =0 ( j = 1, , n ) x j x j x j i =1 L = h i (x1 , x , , x n ) = ( i = 1, , m ) j X* = {x1* , x *2 , , x *n } f{x1* , x *2 , , x *n } Nu im hm (x * , x * , , x * , t tr*thỡ tn ti * * cc * ={1* , *2 , , *m } , , , ) n m vecto cho im l li gii ca h xỏc nh cc i hoc cc tiu phi kho sỏt giỏ tr o 61 4.5 Qui hoch phi tuyn 4.5.3 a v qui hoch phi tuyn khụng rng buc 4.5.3.1 Phng phỏp Lagrange v nh lý Kuhn-Tucker B, Bi toỏn Lagrange dng m rng i vi bi toỏn Lagrange m rng tc l h rng buc cú tn ti c cỏc bt phng trỡnh thỡ ngi ta thng dựng phng phỏp da trờn nh lớ Kuhn-Tucker (nh lớ v im yờn nga) gi l phng phỏp Lagrange m rng Gi thit cn xỏc nh X = {x1, x2,, xn} cho: f{x1, x2,, xn} v tha cỏc rng buc: hi{x1, x2,, xn} = 0; i = 1, 2,, m1 gi{x1, x2,, xn} 0; i = m+1, m+2,, m xj (j = 1, 2,, n) Chỳ ý: trng hp cn lm max hm f(X) ta nhõn f(X) vi -1 thnh f(X) hoc cú gi(X) ta nhõn gi(X) 62 4.5.3 a v qui hoch phi tuyn khụng rng buc 4.5.3.1 Phng phỏp Lagrange v nh lý Kuhn-Tucker B, Bi toỏn Lagrange dng m rng Hm Lagrange cú dng: m L(X, ) = f(x1, x2,, xn)+ i h i (x1 , x , , x n ) + i =1 m g (x , x , , x i i = m1 +1 i n ) Vỡ gi(X) khụng ng nht bng nờn khụng th ly o hm L(X, ) v cho bng nh trc õy Gi thit f(X) v gi(X), i = 1, 2,, m liờn tc, kh vi v to thnh hp li thỡ ta cú th s dng nh lớ Kuhn-Tucker gii bi toỏn ny Ni dung ca nú cú th hiu nh sau: im L trờn mt cong L(X,) l theo X v max theo nh lớ: Vecto X* ch l li gii ti u ca bi toỏn tn ti vecto * m cho: Giỏ tr ca im L(X*, *) < L(X, *) v > L(X*, ) L(X*, ) L(X*, *) L(X, *) 63 L(X*, *) l im yờn nga ca hm L(X,) 4.5.3 a v qui hoch phi tuyn khụng rng buc 4.5.3.2 Phng phỏp hm pht Phng phỏp hm pht cng l mt phng phỏp nhm a bi toỏn v dng bi toỏn qui hoch khụng rng buc (a cỏc rng buc vo hm mc tiờu) nh ngha hm pht: Nu cú X nm U (X U) ng thi cú U0 bao c U m: 0, X U Lim P(X ) = k +, X (U U) Khỏi nim v hm pht (k) Thỡ P(X(k)) c gi l hm pht cũn k l bc lp th k Nh vy vi s bc lp k ln m X nm U thỡ pht ớt (P0), cũn nu X nm ngoi U thỡ pht nhiu (P ) 64 4.5.3 a v qui hoch phi tuyn khụng rng buc 4.5.3.3 Phng phỏp Newton bc Sau ó dựng phng phỏp hm pht a bi toỏn qui hoch phi tuyn cú rng buc v bi toỏn qui hoch phi tuyn khụng rng buc ta cú th ỏp dng phng phỏp Newton bc gii tip bi toỏn ny Cn gii bi toỏn tỡm cc tr ca hm phi tuyn f(X) nh sau: Xỏc nh X = {x1, x2,, xn} cho: f{x1, x2,, xn} (max) Hm f(X) cú th tớnh gn ỳng bng cỏch khai trin Taylo xung quanh im X(k) v ch ly n bc nh sau: f (X) = f (X ( k ) ) + f '(X ( k ) )(X X ( k ) ) + 0,5f ''(X ( k ) )(X X ( k ) ) 65 4.5.3 a v qui hoch phi tuyn khụng rng buc 4.5.3.3 Phng phỏp Newton bc tỡm cc tr hm f(X) ta ly o hm ca nú v cho bng nh sau: f '(X) = f '(X ( k ) ) + 2.0,5.f ''(X ( k ) ).(X X ( k ) ) = f '(X ( k ) ) + f ''(X ( k ) ).X = ( k +1) (k) ( k +1) (k) X = X X = X + X v thay Trong ú: suy X X = f ''(X ( k ) ) f '(X ( k ) ) v ta cú: X(k+1) = X(k) H-1.f(X(k)) Vi H = f(X(k)) gi l ma trn Hess Nh vy theo phng phỏp Newton bc ta thc hin phộp lp: ( k +1) (k) (k) (k) (k) X = X H (X ).f '(X ) Trong ú: l di bc lp 66 S phng phỏp hm pht v phng phỏp Newton bc 4.6 Qui hoch ng 4.6.1 Khỏi nim v phng phỏp qui hoch ng nh ngha: + L mt phng phỏp toỏn hc kinh in xỏc nh li gii ti u theo nhiu bc + Mi bc cn cú mt quyt nh v quyt nh ca bc trc s cú nh hng trc tip n bc sau Phng phỏp gii: + To mt dóy cỏc quyt nh hoc mt sỏch lc cho c quỏ trỡnh + Sỏch lc tha tt c cỏc mc tiờu v cỏc rng buc gi l sỏch lc ti u Thng bi toỏn qui hoch ng ly mc tiờu l ti u húa vic phõn phi s dng ti nguyờn (tin, mỏy múc, nhõn cụng, nhiờn liu) cho c quỏ trỡnh nhiu giai on hiu qu s dng tng cng l ln nht 68 4.6 Qui hoch ng 4.6.1 Khỏi nim v phng phỏp qui hoch ng Vi bi toỏn phỏt trin ngun in s phng ỏn chp nhn c thng rt ln ú l t hp cỏc giỏ tr cụng sut t, s lng cỏc t mỏy, t hp cỏc loi nhiờn liu v nh mỏy, cỏc iu kin khai thỏc ngun thu nng Do ú bc u tiờn trc thc hin thit k la chn, cn loi tr bt cỏc phng ỏn cú th coi l khụng kh thc xỏc nh tr s ca hm mc tiờu cn thc hin cỏc tớnh toỏn khỏc nhau: + Xỏc nh phng thc hnh tng lai ca HT, t ú xỏc nh chi phớ nhiờn liu, tn tht in nng, tin cy cung cp in v thit hi kinh t thiu ht in nng + Xỏc nh tng u t phi phỏt trin cụng sut t thờm qua cỏc nm + Xột n lói sut u t 69 4.6 Qui hoch ng 4.6.1 Khỏi nim v phng phỏp qui hoch ng Vớ d: Phõn phi Hot ng Vn ban u X K nh mỏy n nm li nhun max Gi xj(i) l ngun ban u cho nh mỏy i nm j, ta cn cú: k (k) x j = X j ; j = 1, 2, , n i =1 Xj l ngun tng cũn li t vo nm j cho k nh mỏy Gi W l tng li nhun ca k nh mỏy sau n nm hot ng Bi toỏn l: Xỏc nh X = {xj(i)}; ni = 1, 2,, k; j = 1, 2,, n cho: W(X, n) = Wj (X j ) max j=1 V tha iu kin: k (i ) x j = X j ; j = 1, 2, , n i =1 (i ) j x 70 4.6 Qui hoch ng 4.6.2 Thnh lp phng trỡnh phim hm Bellman Phng trỡnh phim hm Bellman l ni dung chớnh ca phng phỏp qui hoch ng Ta dựng bi toỏn phõn phi ngun din gii cỏch thnh lp phng trỡnh Gi thit: Vn ban u X1 u t nh mỏy Nm 1: X1 = x1 + (X1 x1) W1 = g(x1) + h(X1 x1) Sn xut Vn cũn A, B n nm x1 gim cũn x2 = ax1 X2 X2 x2 = b (X1 x1) u t vo nm Do cú mõu thun cỏc giỏ tr g, h, a, b (thng nu g > h thỡ a < b) nờn cn tỡm s phõn b ti u X1 tng nm cho tng li nhun n nm l max 71 4.6 Qui hoch ng 4.6.2 Thnh lp phng trỡnh phim hm Bellman Gi thit g(xi) v h(Xi xi) khụng ph thuc thi gian, ch ph thuc vo ngun ban u xi v (Xi xi) Gi fn(X1): giỏ tr max ca li nhun ca nh mỏy sau n nm hat ng vi s ban u X1 f1(X1) = giỏ tr max ca li nhun0 nh x mỏy X n =1 f1(X1) = max{g(x1) + h(X1 x1)}, 1 Xỏc nh f1(X1)? Cho x1 chy t n x1 -> tớnh g(x1), h(X1 x1) -> tớnh f1(X1) Nu ch xột nm v nu g(x1) > h(X1x1) thỡ hu ht s t vo sn xut A Mc dự nh vy thỡ X1 s ht nhanh hn, 72 4.6 Qui hoch ng 4.6.2 Thnh lp phng trỡnh phim hm Bellman Nu xột n = 2: ú cũn X2 = ax1 + b(X1 x1) f1(X2) = f1{(ax1) + b(X1 x1)} -> max, x X1 f1(X2) : Li nhun max ca nm cui ca quỏ trỡnh n = x2 = ax1 ; X2 x2 = b(X1 x1) Vy f2(X1) = max{g(x1) + h(X1 x1)+ f1(X2)} = max{g(x1) + h(X1 x1)+ max{g(x2) + h(X2 x2)} Tng quỏt cho n nm: fn(X1) = max{g(x1) + h(X1 x1)+ fn-1(X2)} fn-1(X2) = max{g(x2) + h(X2 x2)+ fn-2(X3)} x n Xn hết chương IV 74 [...]... 4.3.1 Lập bài toán vận tải 4.3.2 Xác định phương án cơ bản ban đầu 4.3.3 Hoàn thiện lời giải bằng phương pháp thế vị 4.3.4 Sơ đồ khối giải bài toán vận tải 4.3.5 Một số chú ý 29 4.3 Bi toỏn vn ti 4.3.1 Lp bi toỏn vn ti Bản chất của bài toán vận tải là tìm phương án tối ưu để vận tải hàng hóa từ một số nơi phát đến một số nơi nhận Chỉ tiêu tối ưu ở đây thường là cực tiểu chi phí tổng về vận tải Bài toán. .. án ban đầu, cần tìm phương pháp để hoàn thiện lời giải dẫn với phương án ứng với giá trị min f(x) Sau đây sử dụng một trong những phương pháp thường dùng là phương pháp thế vị (còn gọi là phương pháp phân phối cải biên) Nội dung phương pháp thế vị gồm những bước sau: 1.Xác định giá trị thế vị 2.Chỉ tiêu tối ưu theo phương pháp thế vị 3 Nguyên tắc vòng kín hoàn thiện lời giải 36 ... đây thấy rằng nếu sau bước1 mà có 3 và 4 đều âm thì F1(X) là giá trị min, quá trình dừng lại và lời giải đó là lời giải tối ưu Nếu chỉ cần một trong hai giá trị 3 hoặc 4 là dương thì phải tiếp tục chuyển sang bước 2 Để dễ hình dung các bước tiến hành, ta có thể tóm tắt các bước của thuật toán vào bảng đơn hình Vấn đề: đưa ẩn nào vào và loại ẩn nào ra? ẩn đưa vào là ẩn ứng với > 0 Trường hợp có nhiều... 4x4 = 96 + 5x3 - 32x4 min Lời giải bước 1 : x1 = 12 ; x2 = 18 ; x3 = 0 ; x4 = 0 F1(X) = 96 Rõ ràng giá trị F1(x) = 96 chưa phải là giá trị nhỏ nhất vì có thể tăng giá trị của x4 để giảm f(X) Từ đây thấy rằng dấu của các hệ số của các ẩn không cơ bản trong biểu thức f(X) đóng vai trò quan trọng trong việc phán xét về lời giải ở bước đó 19 4.2.3 Phng phỏp n hỡnh Một cách tổng quát, sau bước 1 ta có... 2 4 0 3 0 1 0 4 2 1 3 0 0 3 0 0 4 1 Cột 1,4,6 tạo nên ma trận đơn vị cấp 3 nên bài toán ở dạng chuẩn tắc Các ẩn tạo nên ma trận cấp 3 là x1, x4, x6 và ta gọi chúng là các ẩn cơ bản Nếu có một phương án sao cho các ẩn không cơ bản đều bằng 0 tức là nếu gọi xi = bi(i=1,2, ,m) là m ẩn cơ bản và xi = 0 (i=m+1, ,n) là các ẩn không cơ bản thì ta sẽ có một PA cơ bản là PA như sau : Xcb = {b1, b2, b3, ,... }thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : f(X) = 5x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 min x1 - 2x3 + 6x4 = 12 x2 + 4x3 + 3x4 = 18 xj 0 ; j = 1,2,3,4 Giải: Từ các điều kiện ràng buộc ta thấy có hai ẩn cơ bản là x1 và x2 Nếu cho các ẩn không cơ bản x3 và x4 nhận giá trị 0 thì ta có : x1 =12 ; x2 = 18 và thay vào biểu thức trên sẽ được giá trị F(X) = 96 18 4.2.3 Phng phỏp n hỡnh Vớ d (tip theo) Từ các biểu thức trên... thể mô tả như sau: có m địa điểm phát , với các lượng hàng hoá tương ứng a1, a2, ., am và n địa điểm nhận, với nhu cầu tương ứng b1, b2, , bn Cần xác định phương án vận tải sao cho tổng chi phí là cực tiểu, khi biết giá thành cước phí đơn vị Cij vận tải trên đoạn đường từ nơi phát i đến nơi nhận j Ký hiệu xij là số lượng hàng cần vận tải từ nơi phát i đến nơi nhận j, khi đó điều kiện của bài toán. .. phng trỡnh rng buc kiu m x n phi cú cha ma trn n v cp m 14 4.2 Qui hoch tuyn tớnh 4.2.2 Cỏc dng bi toỏn qui hoch tuyn tớnh 4.2.2.3 Dng chun tc Ví dụ : Xét bài toán sau có phải dạng chuẩn không ? Cho f(X) = 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 - 5x5 min 1) 2) 3) Với các điều kiện ràng buộc như sau : x1 + 2x2 + 4x3 - 3x5 = 152 4x2 + 2x3 + x4 + 3x5 3x2 = 60 + 4x5 + x6 = 36 Với xj 0 (j=1 6) 15 4.2 Qui hoch tuyn tớnh 4.2.2... thể đưa dạng tổng quát về dạng chính tắc nếu gặp các trường hợp sau đây : n 2, a x ij j j=1 bi bt vo v trỏi ca phng trỡnh mt lng n xn+1 > 0, ta cú: n a x ij j=1 n j bi a ij x j (x n +i ) = bi j=1 11 4.2 Qui hoch tuyn tớnh 4.2.2 Cỏc dng bi toỏn qui hoch tuyn tớnh 4.2.2.2 Dng chớnh tc * Người ta có thể đưa dạng tổng quát về dạng chính tắc nếu gặp các trường hợp sau đây : 3, Trng hp xj 0 thỡ t tj... biết giá thành cước phí đơn vị Cij vận tải trên đoạn đường từ nơi phát i đến nơi nhận j Ký hiệu xij là số lượng hàng cần vận tải từ nơi phát i đến nơi nhận j, khi đó điều kiện của bài toán vận tải được mô tả trong bảng 30 4.3 Bi toỏn vn ti 4.3.1 Lp bi toỏn vn ti a1 X11 X12 b1 Xmn Xm1 Xm2 b2 am X1n bn Mụ t bi toỏn 31 Nơi phát Nơi nhận B1 A1 B2 c11 X11 A2 c12 X21 Bn X12 c21 Dung lượng ai c1n