Áp dụng các mô hình toán học để giải bài toán qui hoạch

Chương Áp dụng mơ hình tốn học để giải toán qui hoạch    4.1  Khái  niệm  về  bài  toán  qui  hoạch    4.2    Qui  hoạch  tuyến  :nh    4.3  Bài  toán  vận  tải      4.4  Qui  hoạch  số  nguyên        4.5  Qui  hoạch  phi  tuyến      4.5  Qui  hoạch  động     4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.1.1 Bài toán qui hoạch tổng quát Xác  định  tập  giá  trị  các  biến:  X  =  {x1,  x2,  …  ,  xn}     Hàm  mục  >êu:  f(X)  →  min  (max)  thỏa  mãn  điều  kiện:         Hàm  ràng  buộc:  gi(X)  (≤;=;≥)  bi  (i  =  1,2,…,m)     Tập  hợp        D        =      {x        j    ∈      X;g              i  (X)(                ≤    ;    =    ;    ≥    )b        i  }      (i  =  1…m;  j  =  1…n)   miền  ràng  buộc   4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.1.1 Phân loại toán qui hoạch Một  bài  toán  qui  hoạch  được  gọi  là  bài  toán  qui  hoạch   tuyến  Znh  nếu  hàm  mục  >êu  f(X)  và  tất  cả  các  hàm   ràng  buộc  gi(X)  là  tuyến  Znh   n f (X) = ∑ c j x j → min(max) j=1 n g i (X) = ∑ a ij x j (≤; =; ≥)b i j=1 cj, aij, bi số 4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.1.1 Qui hoạch tuyến tính •  •  •  •  •  •  Nhà máy điện dùng loại than để sản xuất điện Yêu cầu điện hàng năm nhà máy A[MWh] Suất tiêu hao loại than thứ i: qi [kg/MWh] Giá thành sản xuất loại than i: ci [đ/MWh] Lượng than loại i không vượt Qi Tổng lượng than khơng vượt q QΣ Tối thiểu hóa chi phí sản xuất điện năng?     4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.1.1 Qui hoạch tuyến tính Lời giải: Điện sản xuất hàng năm loại than: xi [MWh] Xác định X={x1, x2, x3, x4 } cho: f(X) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 → Hạn chế: x1 + x2 + x3 + x4 = A q1x1 + q2x2 + q3x3 + q4x4 ≤ QΣ q1x1 ≤ Q1 q2x2 ≤ Q2 q3x3 ≤ Q3 q4x4 ≤ Q4 xi ≥ (i=1,2,3,4)     4.2 Qui hoạch tuyến tính 4.2.2 Các dạng tốn qui hoạch tuyến tính 4.2.2.1 Dạng tổng quát Tổng quát: Tìm X = {xj} j = 1÷n thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: n 1, f (X) = ∑ c jx j → min(max) j=1 n 2, g i (X) = ∑ a ij x j (≤; =; ≥)b i i =1÷ m j=1 f(X): hàm mục tiêu g(X): hàm ràng buộc Cj, aij, bi: số tự     4.2 Qui hoạch tuyến tính 4.2.2 Các dạng tốn qui hoạch tuyến tính 4.2.2.2 Dạng tắc: Phát biểu: Tìm X = {xj}, j = 1÷n thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: 1, n f (X) = ∑ c j x j → min(max) j=1 n 2, g i (X) = ∑ a ij x j ( =)b i i =1÷ m j=1 3, xj ≥ 0; bi ≥     4.2 Qui hoạch tuyến tính 4.2.2 Các dạng tốn qui hoạch tuyến tính 4.2.2.2 Dạng tắc:   Có thể chuyển dạng tổng qt tắc gặp trường hợp: n ∑a x ij j=1 j ≤ bi Thêm vào vế trái phương trình xn+i > 0, ta có: n ∑a x ij j=1 n j ≤ bi → ∑ a ij x j + (x n +i ) = b i j=1     4.2 Qui hoạch tuyến tính 4.2.2 Các dạng tốn qui hoạch tuyến tính 4.2.2.2 Dạng tắc:   Có thể chuyển dạng tổng qt tắc gặp trường hợp: 2, n ∑a x ij j ≥ bi bớt vế trái phương trình xn+1 > 0, ta có: j=1 n ∑a x ij j=1 n j ≥ bi → ∑ a ij x j − (x n +i ) = b i j=1     4.2 Qui hoạch tuyến tính 4.2.2 Các dạng tốn qui hoạch tuyến tính 4.2.2.2 Dạng tắc:   Có thể chuyển dạng tổng qt tắc gặp trường hợp: 3, xj ≤ 0, xét tj = - xj ≥ 4, Không biết dấu xj, đặt: xj = xj1 – xj2 đó: xj1 ≥ 0; xj2 ≥ Khi tốn dạng tổng qt trở thành tốn dạng tắc 10     4.3 Qui hoạch phi tuyến 4.3.3 Phương pháp đưa phi tuyến không ràng buộc 4.3.3.1 Phương pháp Lagrange định lý Kuhn-Tucker A, Bài tốn Lagrange dạng tắc Phương pháp Lagrange phương pháp kinh điển giải toán qui hoạch phi tuyến ràng buộc có dạng đẳng thức bất đẳng thức, để xác định cực trị có điều kiện (cực trị vướng) hàm nhiều biến hàm liên tục với đạo hàm riêng bậc Trước hết ta xét tốn dạng tắc: Xác định X = {x1, x2,…, xn} cho: F(x1, x2,…, xn) → Với ràng buộc hi(X) = (i = 1, 2,…, m) 31 4.3 Qui hoạch phi tuyến 4.3.3 Phương pháp đưa phi tuyến không ràng buộc   Đối   ngẫu Lagrange toán sau: Xác định X = {x1, x2,…, xn} cho: m L(x1, x2,…, xn; λ1, λ2,…,λm) = f(x1, x2,…, xn)+ ∑ λi h i (x1 , x , , x n )→min i =1 Trong L hàm Lagrange λ nhân tử Lagrange Hệ phương trình Lagrange thành lập sở lấy đạo hàm riêng hàm L theo xj λi cho chúng sau: ∂L ∂f (X) m ∂h i (X) = + ∑ λi =0 ( j = 1, , n ) ∂x j ∂x j ∂x j i =1 ∂L = h i (x1 , x , , x n ) = (i = 1, , m ) ∂λ j * * * * * * * Nếu điểm X = {x1 , x , , x n } hàm f{x1 , x , , x n } đạt cực trị tồn * * * * * * * * * * vecto λ ={λ1 , λ , , λ m } cho điểm (x1 , x , , x n , λ1 , λ , , λ m ) lời giải hệ Để xác định cực đại cực tiểu phải khảo sát giá trị đạo 32 hàm bậc L(X) f(X)     4.3 Qui hoạch phi tuyến 4.3.3 Phương pháp đưa phi tuyến không ràng buộc 4.5.3.1 Phương pháp Lagrange định lý Kuhn-Tucker B, Bài toán Lagrange dạng mở rộng Đối với toán Lagrange mở rộng tức hệ ràng buộc có tồn bất phương trình người ta thường dùng phương pháp dựa định lí Kuhn-Tucker (định lí điểm yên ngựa) gọi phương pháp Lagrange mở rộng Giả thiết cần xác định X = {x1, x2,…, xn} cho: f{x1, x2,…, xn} → thỏa mãn ràng buộc: hi{x1, x2,…, xn} = 0; i = 1, 2,…, m1 gi{x1, x2,…, xn} ≥ 0; i = m+1, m+2,…, m xj ≥ (j = 1, 2,…, n) Chú ý: trường hợp cần làm max hàm f(X) ta nhân f(X) với -1 để thành –f(X) → có gi(X) ≤ ta nhân gi(X) 33 với -1 để có ràng buộc g (X) ≥     4.3 Qui hoạch phi tuyến 4.3.3 Phương pháp đưa phi tuyến khơng ràng buộc B, Bài tốn Lagrange dạng mở rộng Hàm Lagrange có dạng: m L(X, λ) = f(x1, x2,…, xn)+∑ λ i h i (x1 , x , , x n ) + i =1 m ∑ λ g (x , x , , x i i = m1 +1 i n ) → Vì gi(X) khơng đồng nên lấy đạo hàm L(X, λ) cho trước Giả thiết f(X) gi(X), i = 1, 2,…, m liên tục, khả vi tạo thành tập hợp lồi ta sử dụng định lí Kuhn-Tucker để giải tốn Nội dung hiểu sau: Điểm L mặt cong L(X,λ) theo X max theo λ Định lí: Vecto X* lời giải tối ưu toán tồn vecto λ* mà cho: Giá trị điểm L(X*, λ*) < L(X, λ*) > L(X*, λ) L(X*, λ) ≤ L(X*, λ*) ≤ L(X, λ*) 34 L(X*, λ*) điểm yên ngựa hàm L(X,λ) 4.3 Qui hoạch phi tuyến 4.3.4 Phương pháp hàm phạt     Phương pháp hàm phạt phương pháp nhằm đưa toán dạng tốn qui hoạch khơng ràng buộc (đưa ràng buộc vào hàm mục tiêu) Định nghĩa hàm phạt: Nếu có tập X nằm miền U (X ∈ U) đồng thời có tập U0 bao tập U mà: 0, X ∈ U ⎧ Lim P(X ) = ⎨ k →∞ ⎩+∞, X ∈ (U − U) U0 U Khái niệm hàm phạt (k) Thì P(X(k)) gọi hàm phạt k bước lặp thứ k Như với số bước lặp k lớn mà X nằm miền U phạt (P→0), X nằm ngồi miền U phạt nhiều (P→∞) 35     4.4 Qui hoạch động 4.4.1 Khái niệm Định nghĩa: + Là phương pháp toán học kinh điển xác định lời giải tối ưu theo nhiều bước + Mỗi bước cần có định định bước trước có ảnh hưởng trực tiếp đến bước sau Phương pháp giải: + Tạo dãy định sách lược cho trình + Sách lược thỏa mãn tất mục tiêu ràng buộc gọi sách lược tối ưu Thường toán qui hoạch động lấy mục tiêu tối ưu hóa việc phân phối sử dụng tài nguyên (tiền, máy móc, nhân cơng, nhiên liệu…) cho q trình nhiều giai đoạn để hiệu sử dụng tổng cộng lớn 36     4.4 Qui hoạch động 4.4.1 Khái niệm Với toán phát triển nguồn điện số phương án chấp nhận thường lớn Đó tổ hợp giá trị công suất đặt, số lượng tổ máy, tổ hợp loại nhiên liệu nhà máy, điều kiện khai thác nguồn thuỷ Do bước trước thực thiết kế lựa chọn, cần loại trừ bớt phương án coi khơng khả thi Để xác định trị số hàm mục tiêu cần thực tính tốn khác nhau: + Xác định phương thức vận hành tương lai HTĐ, từ xác định chi phí nhiên liệu, tổn thất điện năng, độ tin cậy cung cấp điện thiệt hại kinh tế thiếu hụt điện năng… + Xác định tổng vốn đầu tư phải phát triển công suất đặt thêm qua năm + Xét đến lãi suất vốn đầu tư 37     4.4 Qui hoạch động 4.4.1 Khái niệm Ví dụ: Phân phối Hoạt động Vốn ban đầu X K nhà máy n năm lợi nhuận max Gọi xj(i) nguồn vốn ban đầu cho nhà máy i năm j, ta có: k (k) x ∑ j = X j ; j = 1, 2, , n i =1 Xj nguồn vốn tổng lại đặt vào năm j cho k nhà máy Gọi W tổng lợi nhuận k nhà máy sau n năm hoạt động Xác định X = {xj(i)}; i = 1, 2,…, k; j = 1, 2,…, n cho: n W(X, n) = ∑ Wj (X j ) → max j=1 Và thỏa mãn điều kiện: k (i ) x ∑ j = X j ; j = 1,2, ,n i=1 (i ) xj ≥ 38     4.4 Qui hoạch động 4.4.2 Phương trình phiếm hàm Bellman Phương trình phiếm hàm Bellman nội dung phương pháp qui hoạch động Ta dùng toán phân phối nguồn vốn để diễn giải cách thành lập phương trình Giả thiết: Đầu tư Vốn ban đầu X1 nhà máy Sản xuất A, B n năm x1 giảm x2 = ax1 Năm 1: X1 = x1 + (X1 – x1) Vốn X2 W1 = g(x1) + h(X1 – x1) X2 – x2 = b (X1 – x1) Đầu tư vào năm Do có mâu thuẫn giá trị g, h, a, b (thường g > h a < b) nên cần tìm phân bố tối ưu X1 năm cho tổng lợi nhuận n năm max 39     4.4 Qui hoạch động 4.4.2 Phương trình phiếm hàm Bellman Giả thiết g(xi) h(Xi – xi) không phụ thuộc thời gian, phụ thuộc vào nguồn vốn ban đầu xi (Xi – xi) Gọi fn(X1): giá trị max lợi nhuận nhà máy sau n năm họat động với số vốn ban đầu X1 f1(X1) = giá trị max lợi nhuận nhà máy n =1 f1(X1) = max{g(x1) + h(X1 – x1)}, ≤ x1 ≤ X1 Xác định f1(X1)? Cho x1 chạy từ đến x1, tính g(x1), h(X1–x1), f1(X1) Nếu xét năm g(x1) > h(X1–x1) hầu hết vốn đặt vào sản xuất A Mặc dù X1 hết nhanh hơn, ta không cần quan tâm đến vấn đề 40     4.4 Qui hoạch động 4.4.2 Phương trình phiếm hàm Bellman Nếu xét n = 2: vốn X2 = ax1 + b(X1 – x1) f1(X2) = f1{(ax1) + b(X1 – x1)} max, ≤ x ≤ X1 f1(X2) : Lợi nhuận max năm cuối trình n = x2 = ax1 ; X2 – x2 = b(X1 – x1) Vậy f2(X1) = max{g(x1) + h(X1 – x1)+ f1(X2)} = max{g(x1) + h(X1 – x1)+ max{g(x2) + h(X2 – x2)} Tổng quát cho n năm: fn(X1) = max{g(x1) + h(X1 – x1)+ fn-1(X2)} fn-1(X2) = max{g(x2) + h(X2 – x2)+ fn-2(X3)} …… f1(Xn) = max{g(xn) + h(Xn – xn)} ,0 ≤ x n ≤ X n •  Ví dụ: xác định sách lược tối ưu phân phối nguồn Pft cho n đối tượng P1, P2,… thời kì t = 1, ,n cho đạt cực tiểu chi phí nhiên liệu BΣ (khơng xét đến ảnh hưởng việc ngừng khởi động lại tổ máy, tức chưa xét đến ảnh hưởng chi phí mở máy •  Xác định cấu tối ưu nhà máy nhiệt điện gồm tổ máy có đặc tính tiêu hao nhiên liệu sau: PH    MW B1  (tấn/h) B2  (tấn/h) 20 15 20 22 16 40 25 17 60 30 19 80 35 21 100 40 24 B3  (tấn/h) 10 12 13 15 18 24 42 •  Bắt  đầu  từ  q  trình  ngược:  nếu  chỉ  xét  1  tổ  máy    chi  phí  nhiên  liệu  cực  >ểu  là  chi  phí  cho  trong   bảng   •  Nếu  xét  2  tổ  máy,  bài  tốn  tương  đương:      f2(Px)  =  min  {B2(P2)  +  B1(Px  –  P2)}      0  ≤  P2  ≤  100     Ta  có  bảng  các  giá  trị: 43 Khi  trên  đường  chéo  có  các  giá  trị  min  giống  nhau  thì  phải  ưu  >ên  cho   hướng  tăng  của  giá  trị  tối  ưu   Xét  giá  trị  chi  phí  nhiên  liệu  cho  mỗi  phụ  tải  tổng:  f2  =  f(Px  =  P1  +  P2) P1 20 40 60 80 100 P2 B2 B1 20 22 25 30 35 40 15 35 37 40 45 50 55 20 16 36 38 41 46 51 56 40 17 37 39 42 47 52 57 60 19 39 41 44 49 54 59 80 21 41 43 46 51 56 61 100 24 44 46 49 54 59 44 64 Xét  tổng  giá  trị  chi  phí  nhiên  liệu  f3  =  f3(Px)=  B3(P3)  +  f2(Px)  ứng  với    giá  trị  phụ  tải  tổng  Px  =  P12  +  P3 P12 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 P3 B3 f 35 36 37 39 41 43 46 49 54 59 64 10 45 46 47 49 51 53 56 59 64 69 74 20 12 47 48 49 51 53 55 58 61 66 71 76 40 13 48 49 50 52 54 56 59 62 67 72 77 60 15 50 51 52 54 56 58 61 64 69 74 79 80 18 53 54 55 57 59 61 64 67 72 77 82 10 24 59 60 61 63 65 67 70 73 78 83 45 88 ... 4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.1.1 Phân loại toán qui hoạch Một bài toán qui hoạch  được  gọi  là bài toán qui hoạch   tuyến  Znh  nếu  hàm  mục  >êu  f(X)  và  tất  cả các  hàm   ràng... quát thường toán qui hoạch phi tuyến Nếu f(X) có hàm ràng buộc gi(X) phi tuyến toán qui hoạch tổng quát toán qui hoạch phi tuyến Các phương pháp giải: tuyến tính hóa, đưa tốn qui hoạch phi tuyến... áp dụng với kích thước lớn Để đơn giản ta việc sử dụng TTĐH để giải toán QHTT dạng chuẩn 15     4.2 Qui hoạch tuyến tính 4.2.3 Phương pháp đơn hình a, Thuật tốn đơn hình chuẩn Ví dụ: Xác định