áp dụng các mô hình toán học để giải bài toán quy hoạch

Chương áp dụng mô hình toán học để giải toán qui hoạch 4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.2 Qui hoạch tuyến tính 4.3 Bài toán vận tải 4.4 Qui hoạch số nguyên 4.5 Qui hoạch phi tuyến 4.5 Phương pháp qui hoạch động 4.1 Khái niệm toán qui hoạch 4.1.1 Bài toán qui hoạch tổng quát 4.1.2 Phân loại toán qui hoạch 4.1.1 Bài toán qui hoạch tổng quát Bài toán qui hoạch tổng quát phát biểu sau: Xác định tập giá trị biến: X = {x1, x2, ,xn } cho hàm f(xj) (max); (j = 1,2, ,n), đồng thời thoả mãn điều kiện: gi(X) (;=;) bi ;(i = 1,2, ,m) xj X Rn; gọi toán quy hoạch Trong đó: + Hàm f(X) gọi hàm mục tiêu + Các hàm gi(X);(i=1,2, ,m)được gọi ràng buộc + Tập hợp D={x X; gi(X) (;=;) bi};i = m gọi miền ràng buộc + Mỗi điểm X={x1, x2 xn}D gọi phương án + Một phương án có : X* D đạt cực đại hay cực tiểu hàm mục tiêu Cụ thể:f(X*) f(X);XD (đối với toán min) f(X*) f(X); XD (đối với toán max) gọi lời giải tối ưu Khi giá trị f(X*) gọi giá4trị tối ưu hoá 4.1.2 Phân loại toán qui hoạch Quy hoạch tuyến tính hàm mục tiêu f(X) tất hàm ràng buộc gi(X); i=1,2, ,m tuyến tính: n f(X) = c j x j min(max) j =1 g i (X) = n a j =1 ij x j (; =; )bi ; i =1, m Cj, aij , bi số 2- Quy hoạch tham số hệ số biểu thức hàm mục tiêu ràng buộc phụ thuộc tham số 3- Quy hoạch động đối tượng xét trình có nhiều giai đoạn nói chung hay trình phát triển theo thời gian nói riêng 4- Quy hoạch phi tuyến f(X) có hàm g(X) phi tuyến 5- Quy hoạch rời rạc miền ràng buộc D tập rời rạc 6- Quy hoạch đa mục tiêu miền ràng buộc ta xét đồng thời hàm mục tiêu khác 4.2 Qui hoạch tuyến tính 4.2.1 Đặt toán 4.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính 4.2.3 Phương pháp đơn hình 4.2.1 Đặt toán Một nhà máy điện dùng loại than để sản xuất điện Biết lượng điện yêu cầu hàng năm nhà máy A[MWh] Suất tiêu hao than loại than thứ i qi [kg/MWh](i=1,2,3,4) Giá thành sản xuất điện loại than i c i [đ/MWh](i=1,2,3,4) Lư ợng than loại i cung cấp hàng năm để sản xuất điện không vượt Qi ; Tổng lượng than loại cung cấp hàng năm để sản xuất điện không vượt Q Cần xác định lượng điện sản xuất hàng năm từ loại than để đạt cực tiểu chi phí sản xuất điện Lời giải Nếu gọi lượng điện sản xuất hàng năm từ loại than thứ i xi[MWh]; i=1,2,3,4, toán trình bày sau : Xác định X={x1, x2, x3, x4 } cho: f(X) = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 Với ràng buộc: x1 + x2 + x3 + x4 = A q1x1 + q2x2 + q3x3 + q4x4 Q q1x1 Q1 q2x2 Q2 q3x3 Q3 q4x4 Q4 4.2.2 Các dạng toán qui hoạch tuyến tính - Dạng tổng quát j=1, ,n Bài toán có dạng tổng quát toán sau : Tìm X = {xj} thoả mãn đồng thời điều kiện sau : n 1) f(X) = c j x j min(max) j =1 n 2) g i ( X ) = aij x j (; =; )bi (i = 1, m) j =1 : f(X) hàm mục tiêu xj ẩn cj, aij ,bi số tự 10 4.3.3 Hoàn thiện lời giải phương pháp vị Nguyên tắc vòng kín hoàn thiện lời giải B1 A1 A2 bj j B2 200 - B3 + + 150 50 100 150 250 100 - +3 + + - i 200 300 500 40 4.3.3 Hoàn thiện lời giải phương pháp vị Nguyên tắc vòng kín hoàn thiện lời giải B1 A1 A2 150 B2 -4 100 150 i 200 -3 300 B3 100 bj 150 250 100 500 Vậyj phương1án tối ưu3 ,hàm mục 2tiêu f(x) có giá trị F3(X) = 1400 41 4.3.5 Sơ đồ khối số ý Trong thực tế nhiều toán điều kiện đẳng thức mà có : m n a > b i =1 hoặc: i m j= j n a < b i =1 i j= j Trong trường hợp dựa vào lượng vận tải x ij phụ ứng với cước phí phụ ứng với cước phí cij =0 để trở điều kiện cân dung lượng phát nhận 42 Thành lập toán vận tải Xác định (m+n-1)giá trị xij phương án ban đầu Xác định vị i : i= 1, 2, ,m ; j : j = 1, 2, ,n Xác định ij = (i + j)-cij ứng với ngăn xij = ij 0? Không có Tính F(X) In giá trị Dừng Chọn ngăn (AiBj); Có max ij Lập vòng kín + - ; Xác định xij xij ? Không Bài toán vô nghiệm 43 Lập phương án 4.4 Qui hoạch số nguyên 4.4.1 Thành lập phương trình ràng buộc 4.4.2 Giải toán có ràng buộc phụ 44 4.4 Qui hoạch số nguyên 4.4.1 Thành lập phương trình ràng buộc Thuật toán Gomory để giải toán qui hoạch tuyến tính cho giá trị lời giải tối ưu số nguyên Đó nội dung chủ yếu qui hoạch số nguyên Chú ý cần phận lời giải số nguyên ta có qui hoạch số nguyên phận Thực chất thuật toán Gomory bao gồm bước tổng quát sau 1) Xác định lời giải tối ưu toán (chẳng hạn dùng phương pháp đơn hình) chưa quan tâm tới điều kiện số nguyên lời giải Nếu cách ngẫu nhiên lời giải số nguyên trình kết thúc Nếu chưa đạt chuyển sang bước sau : 2) Xây dựng thêm ràng buộc phụ nhằm mục đích hạn chế tập giá trị cho phép lời giải, nhiên không làm giá trị lời giải số nguyên 3) Giải toán có thêm ràng buộc phụ kiểm tra điều kiện số nguyên lời giải để kết thúc trình, 45 phải lặp lại bước hai 4.4 Qui hoạch số nguyên 4.4.1 Thành lập phương trình ràng buộc Giả thiết toán QHTT giải thuật toán đơn hình, bước cuối xác định giá trị tối ưu m ẩn bản: x 1, x2, xm chưa số nguyên Khi hệ phương trình ràng buộc có dạng sau: a11 x1 + a12 x2 + + a1m xm + + a1k xk + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2 m xm + + a2 k xk + + a2 n xn = b2 am1 x1 + am x2 + + amm xm + + amk xk + + amn xn = bm hệ số x1, x2, xm hệ tạo thành ma trận đơn vị cấp m Điều kiện số nguyên lời giải chưa thoả mãn, thể chỗ giá trị b1 bm chưa số nguyên 46 4.4 Qui hoạch số nguyên 4.4.1 Thành lập phương trình ràng buộc Phương trình ràng buộc phụ theo qui tắc sau đây: a) Phân tích b:1 = n1 + r1 b2 = n2 + r2 bm = nm + rm ni phần nguyên (0,1,2 ) bi : i = 1,2, , m phải đảm bảo: ni bi ; i = 1, 2, , m ri phần lẻ bi ; i = 1, 2, , m, nghĩa là: ri < b) Sau xác định giá trị ni ri , i = 1, 2, m chọn phương trình ràng buộc ứng với ri cực tạo ràng buộc phụ 47 4.4 Qui hoạch số nguyên 4.4.1 Thành lập phương trình ràng buộc c) Phân tích hệ số ap1, ap2,, , apm , , apn thành a p1 = n p1 + rp1 a p = n p + rp a pn = n pn + rpn npj ; j = 1, 2, , n phần nguyên (âm, số dương) apj thoả mãn: npj apj rpj ; j =1, 2, , n phần lẻ apj , nghĩa là: rpj < d) Thành lập phương trình ràng buộc phụ với ẩn s1 thêm vào dạng : - rp1 x1 - rp2 x2 - - rpn xn + s1 = - rp 48 4.4 Qui hoạch số nguyên 4.4.1 Giải toán có hệ ràng buộc Như toán qui hoạch tuyến tính giải theo thuật toán đơn hình bước có (m + 1) ẩn x1 , x2, , xm s1 Bây cần chuyển sang bước tiếp theo, ẩn cần loại s1 cần xác định ẩn đưa vào bước a)Ghi giá trị âm hệ số -rpj hàng ứng với hàng s1 ứng với j b) Xác định tỷ số: j ; j = , , , n c) Lấy cực tiểu giá trịrtuyệt đối: pj d) Cột ứng với min: j j j = 1,2, , n ẩn rpjđó đưa vào hệ ẩn bước j = 1,2, , n e) Theo thuật toán đơn hình rpj Giải tiếp lời giải số nguyên 49 Ví dụ Xác định { x1, x2} giá trị nguyên, không âm, cho f(x) = -x1 - 2x2 và: - 3x1 + 4x2 4x1 + 3x2 12 Bước Hệ số ẩn ban 0 -2 -2 -1 Tên ẩn bn Phương án -1 x1 -2 x2 x3 x4 x3 x4 12 -3 4 0 F1(x) =1 =2 =0 =0 x2 xư4 3/2 15/2 -3/4 25/4 1/4 -3/4 F2(x) -3 =5/2 =0 =-1/2 =0 x2 x1 12/5 6/5 1 4/25 -3/25 3/25 4/25 50 Bư ớc Hệ số ẩn ban Tên ẩn ban Phư ơng án -1 x1 -2 x2 x3 x4 s1 -2 -1 x2 x1 s1 12/5 6/5 -2/5 1 0 4/25 -3/25 -4/25 3/25 4/25 -3/25 0 F1(x) -6 3/2 5/2 = -2/5 1/4 3/4 = x2 xư1 x3 =1/5 0 = = -1/4 4= -5/4 -2 -1 F2(x) =0 =0 1 0 -11/2 =0 =0 51 -3/4 -25/4 Bư Hệ số Tên ớc ẩn ẩn bản -2 -1 0 -2 -1 0 Phư ơng án -1 x1 -2 x2 x3 x4 s1 s2 3/2 5/2 -1/2 0 0 0 0 1/4 3/4 -1/4 -3/4 -25/4 -3/4 0 F3(x) -11/2 =0 0 =0 0 = 0 = -1/4 0 = -5/4 -4 =0 =0 =0 = = 5=-2 6=-1 x2 x1 x3 s2 x2 x1 x3 x4 1 F4(x) -5 52 hết chương IV 53 Cám ơn bạn ! 54 [...]... 24 25 4.2.3 Phương pháp đơn hình 4.2.3.2 Thuật toán đơn hình b Thuật toán đơn hình mở rộng Thuật toán đơn hình chuẩn ở trên chỉ áp dụng được đối với bài toán ở dạng chuẩn Để áp dụng thuật toán đơn hình cho bài toán ở dạng chính tắc bất kì, ta phải biến đổi hệ ràng buộc sao cho nó có dạng chuẩn, tức là có tồn tại ma trận đơn vị trong hệ ràng buộc Điều này có thể thực hiện được bằng cách thêm vào vế trái... pháp đơn hình Nếu bài toán QHTT có phương án tối ưu thì có ít nhất một đỉnh của D là phương án tối ưu D là đa diện lồi có 1 số hữu hạn đỉnh Như vậy tồn tại thuật toán hữu hạn 19 4.2.3 Phương pháp đơn hình 4.2.3.1 Thuật toán đơn hình a Thuật toán đơn hình chuẩn Thuật toán đơn hình là phương pháp hoàn thiện dần lời giải, nghĩa là từ một lời giải cơ bản, thuật toán này cho phép đi nhanh nhất đến lời giải. .. đồng thời thoả mãn cả hàm mục tiêu f(X) Thuật toán đơn hình càng phát huy được lợi thế của nó khi áp dụng cho những bài toán có kích thước lớn Để đơn giản ta bắt đầu từ việc sử dụng thuật toán đơn hình để giải bài toán QHTT dạng chuẩn và không cần thêm các ẩn phụ cũng như các ẩn giả 20 Thí dụ Xác định tập nghiệm X = { x1 , x2 , x3 , x4 }thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : f(X) = 5x1 + 2x2 + 3x3 +... 0; xj2 0 Bài toán dạng tổng quát sẽ trở thành bài toán dạng chính tắc 14 4.2.2 Các dạng bài toán qui hoạch tuyến tính 3 - Dạng chuẩn tắc Bài toán có dạng chuẩn tắc là bài toán như sau: Tìm X = { xj} , j =1, , n thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: n 1)f(X)= c x min(max) j=1 2)gi(X)= j j n m x i + a i ,m +h x m +h = b i ; ( i =1, m) 3) xj 0; bi 0 h =1 15 4.2.2 Các dạng bài toán qui hoạch tuyến... 0 Bài toán có lời giải tối ưu(nếu nó tồn tại) + Trường hợp 3 : Qua các bước ẩn giả không bị loại khỏi hệ ẩn cơ bản mà nhận giá trị dương, khi đó bài toán là vô nghiệm Chú ý: Trong những trường hợp có thể, nên biến đổi hệ ràng 27 buộc để bài toán trở nên đơn giản hơn 4.2.3 Phương pháp đơn hình c Phương pháp đơn hình cải biên Thuật toán đơn hình cải biên gồm các bước sau: Bước 0: Xây dựng bảng đơn hình. .. vào cơ sở thay cho Ar và biến đổi toàn bộ các cột theo công thức Quay lên bước 1 28 4.3 Bài toán vận tải 4.3.1 Lập bài toán vận tải 4.3.2 Xác định phương án cơ bản ban đầu 4.3.3 Hoàn thiện lời giải bằng phương pháp thế vị 4.3.4 Sơ đồ khối giải bài toán vận tải 4.3.5 Một số chú ý 29 4.3.1 Lập bài toán vận tải Bản chất của bài toán vận tải là tìm phương án tối ưu để vận tải hàng hóa từ một số nơi phát... lời giải đó là lời giải tối ưu Nếu chỉ cần một trong hai giá trị 3 hoặc 4 là dương thì phải tiếp tục chuyển sang bước 2 Để dễ hình dung các bước tiến hành, ta có thể tóm tắt các bước của thuật toán vào bảng đơn hình Đầu tiên ta điền các kết quả của bước 1 vào bảng đơn hình như sau : Hàng 1 của các cột CJ ghi các hệ số của xJ (ở đây j=1,2,3,4) của hàm mục tiêu f(X) Hàng 2 của các cột xJ ghi tên các. ..4.2.2 Các dạng bài toán qui hoạch tuyến tính 2 - Dạng chính tắc Tìm X = { xj } j=1, , n thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : n c j x j min(max) 1) f(X) = j=1 n a ij x j = b i 2) gi(X) = j=1 (i = 1, m) 3) xj 0 ; bi 0 trong đó cj, aij, bi là các hằng số tự do 11 4.2.2 Các dạng bài toán qui hoạch tuyến tính * Người ta có thể đưa dạng tổng quát về dạng chính tắc nếu gặp các trường hợp sau... nơi nhận j, khi đó điều kiện của bài toán vận tải được mô tả trong bảng 30 a1 X11 am Xmn Xm1 X12 X1n Xm2 b1 b2 Mô tả bài toán bn 31 Nơi phát Nơi nhận B1 A1 B2 c11 X11 A2 c12 X12 c21 X21 Bn Dung lượng ai c1n a1 c2n a2 X1n c22 X2n X22 m Am cm1 cm2 cmn 32 n a a= b i =1 i mj=1 j Bài toán vận tải được phát biểu dưới dạng toán học như sau: - Xác định các giá trị xij : i = 1, 2, , m ;... không âm, đồng thời lấy hệ số các ẩn giả trong hàm mục tiêu là M (M là một số dương lớn hơn bất kì một số nào cần so sánh) 26 4.2.3 Phương pháp đơn hình 4.2.3.2 Thuật toán đơn hình Khi bài toán QHTT dạng chuẩn có ẩn giả, cần phân biệt 3 trư ờng hợp sau + Trường hợp 1 Qua các bước mọi ẩn giả bị loại hết, như vậy sẽ tìm được lời giải tối ưu (nếu tồn tại) + Trường hợp 2 Qua các bước ẩn giả không bị loại