HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN THPT 2016 Chủ đề: Một mô hình đô thị lạ Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THAM KHẢO Tại thành phố Olympic, nhà có số nhà số nguyên dương, số nhà Tòa thị Nhà Olympic có số nhà đôi khác lấp đầy tập số nguyên dương Do chất cong đặc thù đường thành phố Olympic, người ta nhận thấy khoảng cách từ nhà n đến nhà m tính sau: m − n = 3k l, l số nguyên không chia hết cho k số nguyên không âm, d(m, n) = 3−k 1) Trong số nhà có số nhà dương, bé 100, tìm (kèm theo chứng minh) tất nhà gần tòa thị 2) Thử tìm dãy vô hạn số nhà (hn ) cho d(17, h1 ) > d(17, h2 ) > · · · > d(17, hn ) > · · · Tập tất nhà có khoảng cách đến tòa thị nhà n gọi lân cận nhà n ký hiệu N (n) Dưới dạng công thức: N (n) = {m ∈ N∗ d(m, 0) = d(n, 0)} Ta hình dung N (n) đường tròn bán kính d(n, 0), với tâm tòa thị 3) Giả sử nhà n có d(n, 0) = 1/27 Hãy xác định mười số nguyên dương m bé cho m ∈ N (n) 4) Chứng minh d(a, c) ≤ max{d(a, b), d(b, c)} với a, b c Có điều đáng tiếc thành phố Olympic trở nên đông đúc mà người ta xây dựng thêm: số nguyên không âm tương ứng với nhà (hoặc, với tòa thị chính, trường hợp số 0) Trong tình lại có 18 gia đình chuyển đến mong định cư thành phố Sau nhiều lần cân nhắc, không chấp nhận việc dùng số nhà âm, thành phố định theo phương án khác: ngày 17 tháng Tư, xe chuyên dụng đến chuyển gia đình từ nhà n sang nhà n + 18, với số nguyên dương n (và di chuyển tòa thị chính) Chẳng hạn, gia đình nhà 17 chuyển sang nhà 35 5) Tìm nhà có khoảng cách đến tòa thị bị thay đổi di chuyển 6) Xác định tất giá trị n cho N (n) bị xê dịch toàn (nghĩa là, khoảng cách đến tòa thị cư dân N (n) thay đổi sau di chuyển) 7) Một hôm, chủ nhà 23 nói “Tôi có cảm giác thể sống tâm “nhóm 2” (biệt danh đặt cho tập gồm nhà n = 3k + với k ∈ N): nhìn cửa sổ, nhận thấy “nhóm 2” gồm nhà cách khoảng không 1/3” Chủ nhà 32 khẳng định “tôi thấy thế” Hãy giải thích Để đối phó tốt với tình trạng nhập cư, Hội đồng thành phố Olympic định phát triển thành phố theo phương án đặc biệt: số nhà số hữu tỉ, cần phải đánh số cho nguyên tắc khoảng cách đảm bảo: khoảng cách hai nhà số x y d(x − y), tính sau Để xác định d(p/q), với p q số nguyên mà pq = 0, người ta viết p/q = 3k p /q , p lẫn q số nguyên không chia hết cho 3, k số nguyên (không thiết dương); đó, d(p/q) = 3−k 8) Một người nhập cư đến từ thành phố IMO có nguyện vọng sau: “Số nhà cũ 1 1 e = lim + + + ··· + n→∞ 0! 1! 2! n 1 1 Số nhà bạn toàn tổng riêng: Hn = + + + · · · + Tôi muốn số 0! 1! 2! n nhà cho khoảng cách từ với nhà Hn tiến dần tới n tiến vô cùng” Điều thực không, sao? HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN THPT 2016 Chủ đề: Đa thức Tchebyshev Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THAM KHẢO Mục tiêu toán tìm hiểu số tính chất đại số, giải tích tổ hợp đa thức Tchebysev Trong toàn đề bài, đa thức hiểu đa thức với hệ số thực Các đa thức Chebysev Các đa thức Chebysev (Tn (x))n≥0 định nghĩa sau: T0 (x) = 1, T1 (x) = x, với n ≥ 2, Tn (x) = 2xTn−1 (x) − Tn−2 (x) 1) Chứng minh với n ≥ t ∈ R Tn (cos t) = cos(nt) 2) Chứng minh |x| ≥ với n ≥ √ √ (x − x2 − 1)n + (x + x2 − 1)n Tn (x) = Mô tả tổ hợp đa thức Chebysev Cho dải ô vuông × n với n số nguyên dương cho trước Xét cách lát dải ô vuông ô vuông đơn vị × đôminô × Ta gán ô vuông × với trọng 2x (x biến) đôminô với trọng −1 3) Ta định nghĩa trọng cách lát tích tất trọng ô vuông đơn vị đôminô cách lát cho Gọi Un (x) tổng trọng tất cách lát dải × n Như vậy, U1 (x) = 2x, U2 (x) = 2x · 2x + (−1) = 4x2 − 1, Ta quy ước U0 (x) = Chứng minh với n ≥ 2, Un (x) = 2xUn−1 (x) − Un−2 (x) 4) Trọng cách lát dải × n với k đôminô ? Từ với n ≥ 0, n/2 (−1)k Un (x) = i=0 n−k (2x)n−2k k 5) Ta định nghĩa trọng điều chỉnh cách lát • tích tất trọng ô vuông đơn vị đôminô cách lát cho ô vuông dải × n không lát ô vuông đơn vị (do phủ đôminô); • tích tất trọng ô vuông đơn vị đôminô cách lát cho chia cho ô vuông dải × n lát ô vuông đơn vị Chứng minh với n ≥ 1, Tn (x) tổng trọng điều chỉnh tất cách lát dải × n 6) Chứng minh với m ≥ 1, n ≥ Tm+n (x) = Tm (x)Un (x) − Tm−1 (x)Un−1 (x) ...2 HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM KỲ THI OLYMPIC TOÁN THPT 2016 Chủ đề: Đa thức Tchebyshev Thời gian làm bài: 180 phút ĐỀ THAM KHẢO Mục tiêu toán tìm hiểu số tính chất đại số,... lát dải ô vuông ô vuông đơn vị × đôminô × Ta gán ô vuông × với trọng 2x (x biến) đôminô với trọng −1 3) Ta định nghĩa trọng cách lát tích tất trọng ô vuông đơn vị đôminô cách lát cho Gọi Un (x)... Trọng cách lát dải × n với k đôminô ? Từ với n ≥ 0, n/2 (−1)k Un (x) = i=0 n−k (2x)n−2k k 5) Ta định nghĩa trọng điều chỉnh cách lát • tích tất trọng ô vuông đơn vị đôminô cách lát cho ô vuông