đề thi học sinh giỏi toán lớp 11

S GD&ĐT HÀ TĨNHỞ TR NG THPT Đ C THƯỜ Ứ Ọ Đ THI CH N H C SINH GI I TOÁN 11Ề Ọ Ọ Ỏ NĂM H C 2008 - 2009Ọ Th i gian: 180 phút ờ (Không k th i gian giao đ )ể ờ ề Đ BÀIỀ Câu 1. (2,0 đi m)ể Gi i ph ng trình ả ươ 3 3 3 1 1 5x x x+ + − = Câu 2. (1,5 đi m)ể Ch ng minh r ng v i m i s th c x, y, z khác 0, ta có:ứ ằ ớ ọ ố ự 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x y z x + + ≥ + + Câu 3. (2,0 đi m)ể Cho dãy s (uố n ) xác đ nh b i: ị ở 1 1 11 10 1 9 n n u u u n, n N. + =   = + − ∀ ∈  Tìm công th c tính uứ n theo n. Câu 4. (2,0 đi m)ể T ng c a m nh ng s nguyên d ng liên ti p b ng 2008. Xácổ ủ ữ ố ươ ế ằ đ nh các s đó.ị ố Câu 5. (2,5 đi m)ể Cho hình lăng tr tam giác ABC. A’B’C’. G i I, J, K l n l t làụ ọ ầ ượ tâm c a các hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’.ủ a) Ch ng minh r ng (IJK) song song v i các m t đáy.ứ ằ ớ ặ b) Ch ng minh r ng các đ ng th ng AJ, CK, BI đ ng quy.ứ ằ ườ ẳ ồ _________________H tế _________________ ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐI MỂ Câu 1. (5 đi m)ể ( ) 2 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 1 1 5 2 3 1 1 1 5 5 1 5 4 5 0 0 2 5 2 x x x x x x x x x x x x x x ;x . Thö l¹i ta thÊy ph ¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm : x = 0; x = . + + − = ⇔ + − + + − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = = ± ± Câu 2: (4 đi m)ể Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 x x y y y y z z z z x x   + ≥       + ≥       ≥     C ng ba b t đ ng th c trên, ta đ c:ộ ấ ẳ ứ ượ 2 2 2 2 2 2 3 2   + + + ≥ + +     x y z x y z y z x y z x (1) Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ba s d ng, ta đ c:ụ ấ ẳ ứ ố ươ ượ 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 x y z x y z . . y z x y z x + + ≥ = (2) T (1) và (2) suy ra: ừ 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x y z x     + + ≥ + +         T đó ta có b t đ ng th c c n ch ng minh.ừ ấ ẳ ứ ầ ứ Câu 3: Ta có: 1 2 3 11 10 1 10 11 1 9 102 100 2 10 102 1 9 2 1003 1000 3 u u . u . . = = + = + − = = + = + − = = + D đoán uự n = 10 n + n (1) Ch ng minh:ứ Ta có: u 1 = 11 = 10 1 + 1 công th c (1) đúng v i n = 1.ứ ớ Gi s công th c (1) đúng v i n = k ta có: uả ử ứ ớ k = 10 k + k Ta có: u k + 1 = 10(10 k + k) + 1 - 9k = 10 k+1 + (k + 1). Công th c (1) đúng v i n = k + 1.ứ ớ V y uậ n = 10 n + n, n .∀ ∈¥ Câu 4. (4 đi m)ể Gi s t ng c a m s nguyên d ng liên ti p b t đ u t s k b ng 2008:ả ử ổ ủ ố ươ ế ắ ầ ừ ố ằ k + (k + 1) + (k + 2) + … + (k + m - 1) = 2008 A B M D I N C H ( ) ( ) 4 1 2008 2 2 1 4016 2 251 m m m k m k m . − ⇒ + = ⇒ + − = = N u m l ế ẻ ⇒ 2k + m - 1 ch n. Khi đó: m = 251, 2k + m - 1 = 2ẵ 4 (không x y ra)ả N u m ch n ế ẵ ⇒ 2k + m - 1 l . Ta có: ẻ 4 2 1 251 2 k m m + − =   =  16 118 m k =  ⇒  =  V y các s c n tìm là 118, 119,…133.ậ ố ầ Câu 5. (3 đi m)ể Trên tia BI, l y đi m H sao cho BH = a. Khi đó BH = AB = BC nên ta có:ấ ể ABM HBM (c.g.c) vµ CBN = HBN(c.g.c).∆ = ∆ ∆ ∆ Do đó: MH = AM và NH = CN. · · · · 0 0 90 90BHM BAM vµ BHN BCN .= = = = Suy ra M, H, N th ng hàng, BI vuông gócẳ v i Mn t i H và MN = AM + NC.ớ ạ V y ậ ( ) 1 1 2 2 BM N S BH.M N a AM NC .= = + Vì AM = 3MD nên 1 3 4 4 M D a;AM a.= = Đ t NC = x, áp d ng đ nh lý Pitago cho ặ ụ ị tam giác vuông MDN, ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 4 16 7 1 3 25 2 4 7 56 BM N M N M D DN AM NC M D DC NC a a a x a x x a Suy ra:S a a a . = + ⇔ + = + −   ⇔ + = + − ⇔ =       = + =     . ứ Câu 3: Ta có: 1 2 3 11 10 1 10 11 1 9 102 100 2 10 102 1 9 2 1003 1000 3 u u . u . . = = + = + − = = + = + − = = + D đoán uự n = 10 n + n (1) Ch ng minh:ứ Ta có: u 1 = 11 = 10 1 + 1 công. m ch n ế ẵ ⇒ 2k + m - 1 l . Ta có: ẻ 4 2 1 251 2 k m m + − =   =  16 118 m k =  ⇒  =  V y các s c n tìm là 118 , 119 ,…133.ậ ố ầ Câu 5. (3 đi m)ể Trên tia BI, l y đi m H sao cho BH = a. Khi. S GD&ĐT HÀ TĨNHỞ TR NG THPT Đ C THƯỜ Ứ Ọ Đ THI CH N H C SINH GI I TOÁN 11 Ọ Ọ Ỏ NĂM H C 2008 - 2009Ọ Th i gian: 180 phút ờ (Không k th i gian giao đ )ể ờ ề Đ BÀIỀ Câu