Một số vấn đề hay của toán học

GV Nguyễn Bá C Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng Một số vấn đề hay toán học Trong một lần tình cờ tôi đọc đợc bài viết này trên máy tính của một ngời bạn. Tôi thấy đây là một bài viết hay, tôi muốn chia sẻ với các bạn, mong rằng đây là một tài liệu bổ ích và phục vụ tốt cho quá trình giảng dạy cũng nh học tập của các bạn. Chúc thành công! Bn v mt dng phng trỡnh cha hai hm ngc nhau. Vớ d 1: Gii phng trỡnh: . t . Vy ta cú h phng trỡnh : . Tr hai phng trỡnh ca h: (Do ) Thay vo h ta cú: . Vy phng trỡnh cú ba nghim: . Bỡnh lun: Bi toỏn trờn l bi toỏn khỏ n gin v cú l nhiu bn khụng my khú khn gii bi toỏn ny. Tuy nhiờn t bi toỏn trờn ta cú th tng quỏt c dang phng trỡnh trờn nh sau: * Dng tng quỏt bi toỏn trờn: (I) gii phng trỡnh ny ta t ta cú h: . õy l h i xng loi II vi hai n t v y. * T dng trờn ta cho bng nhng biu thc c th v bin i i ta cú c nhng phng trỡnh m ta thng gi l cha hai hm ngc nhau. Do ú khi gp phng trỡnh cha hai hm ngc nhau ta tỡm cỏch bin i v dng trờn. Ta xột mt s vớ d sau: Vớ d 2: Gii phng trỡnh : Gii: iu kin : PT t . Ta cú h : Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840 1 GV NguyÔn B¸ C Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng * (thỏa dk ). * (thỏa đk ). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: . Ví dụ 3: Giải phương trình: Giải: ĐK: PT Đặt Ta có hệ phương trình: . Do nên Từ (2) ta có: thay vào (1) ta được: .Vậy phương trình đã cho có nghiệm: . Chú ý : Ở (II) nếu ta thay hằng số b bằng một biểu thức thì ta vẫn giải phương trình bằng cách làm tương tự như trên. Ví dụ 4: Giải phương trình : . Giải: Điều kiện : Phương trình Đặt và . Ta có : . * . * . Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840 2 GV NguyÔn B¸ C Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng Vậy phương trình có hai nghiệm: . Ví dụ 5: Giải phương trình : Ta thấy không là nghiệm của phương trình . Chia hai vế phương trình cho ta được: . Đặt , ta có: . Đặt , ta có hệ phương trình : Thử lại ta thấy ba nghiệm này thỏa phương trình Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm: . Những ví dụ trên ta đã thay b ở (II) bằng một biểu thức chứa x. Vậy nếu thay a bằng một biểu thức chứa x thì như thế nào ? ta còn giải quyết được theo cách trên nữa hay không?. Ta xét ví dụ sau. Ví dụ 6: Giải phương trình : . Giải: PT Đặt , Ta có hệ phương trình : * phương trình vô nghiệm. * hệ vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. MỘT SỐ LƯU Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong các kí thi chúng ta thường bắt gặp các phương trình lượng giác và những bài phương trình lượng giác này đã gây không ít khó khăn đối với nhiều em học học sinh, có lẽ lí do mà các em học sinh thường lo sợ khi giải các phương trình lượng giác là có nhiều công thức biến Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840 3 GV NguyÔn B¸ C Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng đổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào để biến đổi phương trình đã cho. Trong chuyên đề này tôi xin trao đổi một chút kinh nghiệm nho nhỏ với các em học sinh đang học lớp 11,12 và những em đang ngày đêm ôn tập để hướng tới kì thi ĐH năm tới. Trước hết thì các bạn cần nắm được những phương trình lượng giác thường gặp. Trong những phương trình này tôi xin bàn với các bạn một chút về phương trình đẳng cấp đối với sin và cos. Với lí do: về dạng này SGK chỉ trình bày cho chúng ta phương trình đẳng cấp bậc hai mà trong các kì thi ta vẫn thấy xuất hiện những phương trình đẳng cấp bậc ba hay cao hơn. Minh chứng là đề thi khối B – 2008 “Giải phương trình : (ĐH Khối B – 2008 ).” Trước hết ta nhớ lại khái niệm biểu thức gọi là đẳng cấp bậc k nếu . Từ đây ta có thể định nghĩa được phương trình đẳng cấp bậc k đối với phương trình chứa sin và cos là phương trình có dạng trong đó: Ví dụ: là phương trình đẳng cấp bậc bốn . Tuy nhiên ta xét phương trình : mới nhìn ta thấy đây không phải là phương trình đẳng cấp, những các bạn lưu ý là nên ta có thể viết lại phương trình đã cho như sau: , dễ thấy phương trình này là phương trình đẳng cấp bậc 3. Do vậy với phương trình lượng giác thì ta có thể định nghĩa lại khái niệm phương trình đẳng cấp như sau: “Là phương trình có dạng trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.” Cách giải: Chia hai vế phương trình cho (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình một hàm số là . Ví dụ: Giải các phương trình sau 1) Giải bài thi ĐH Khối B – 2008 nêu trên 2) 3) Những phương trình trên xin dành cho các bạn tự giải (vì đã có phương pháp giải). Bây giờ tôi xin đi vào cách phân tích để tìm lời giải cho loại phương trình mà chúng ta không ưa gì mấy mà ta thường gọi là phương trình lượng giác không mẫu mực. Không riêng gì phương trình lượng giác không mẫu mực mà đối với mọi phương trình đại số hay phương trình mũ, logarit để giải những phương trình này ta phải tìm cách biến đổi phương trình đã có cách giải và một trong những phương pháp ta thường dùng là biến đổi về phương trình tích và đưa về phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác. Ví dụ 1: Giải phương trình : (Trích đề thi ĐH Khối A – 2008 ) Với bài toán này có lẽ khó khăn mà chúng ta gặp phải là đó là sự xuất hiện hai cung và cung . Các bạn lưu ý là ta luốn tính được giá trị đúng các giá trị lượng giác của các cung Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840 4 GV Nguyễn Bá C Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng cú dng trong ú nờn iu u tiờn ta ngh ti l s dng cụng thc cng phỏ b hai cung ú Ta cú: Nờn phng trỡnh ó cho Nhn xột: * phỏ b hai cung m gõy khú khn cho chỳng ta ngoi cỏch ó nờu trờn ta cú th lm theo cỏch khỏc nh sau: . . * Ta thy sau khi phỏ b hai cung v cung thỡ trong phng trỡnh ch cũn li mt cung duy nht nờn ta d bin i hn. iu ny cng hon ton t nhiờn thụi phi khụng cỏc bn? Khi gii cỏc bi toỏn toỏn hc hay cỏc bi toỏn trong cuc sng c bit l bi toỏn so sỏnh thỡ iu chỳng ta cn lm l a v cựng mt n v hay l cựng mt dng. Chng hn tụi xin nờu vớ d n gin nhng vụ cựng thỳ v m tụi thng hi cỏc em hc sinh l 5 qu cam tr 3 qu cam cũn my qu ? v hc sinh ch ci v tr li ngay bng hai qu. Th tụi hi tip 5 qu cam tr 3 qu tỏo bng bao nhiờu? Lỳc ny trờn khuụn mt cỏc em khụng cũn nhng n ci na m thay vo ú l mt s tũ mũ v cui cựng thỡ cỏc em tr li l khụng tr c, d nhiờn cõu hi tip theo l vỡ sao? Cỏc em tr li l vỡ khụng cựng mt loi! Chc cỏc em hiu tụi mun núi iu gỡ ri ch ? Vy nguyờn tc th nht tụi xin a ra cho cỏc bn l: a v cựng mt cung. Bõy gi ta vn dng nguyờn tc ny vo gii nhng phng trỡnh lng giỏc cú mt trong cỏc thi ca nhng nm gn õy nhộ Vớ d 2: Gii phng trỡnh : ( H Khi D 2006 ). Li gii: Vn dng nguyờn tc trờn ta s chuyn hai cung v v cung p dng cụng thc nhõn ụi v nhõn ba ta cú: t . Ta cú: T õy cỏc bn tỡm c Chỳ ý : * Trong SGK khụng a ra cụng thc nhõn ba tuy nhiờn cỏc em cng nờn bit cụng thc ny nu trong lỳc khú khn cú th mang ra s dng vỡ chng minh nú khụng my khú khn * Cỏch gii trờn khụng phi l cỏch gii duy nht v cng khụng phi l cỏch gii hay nht nhng cỏch gii ú theo tụi nú t nhiờn v cỏc bn d tỡm ra li gii nht. Cỏch gii ngn gn v p nht i vi phng trỡnh trờn l ta bin i v phng trỡnh tớch nh sau PT \Leftrightarrow (cos3x-cosx)-(1-cos2x)=0 \Leftrightarrow-2sin2x.sinx-2sin^2x=0 [/tex] Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840 5 GV NguyÔn B¸ C Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng giải phương trình này ta được nghiệm như trên. Ví dụ 3: Giải phương trình : (Dự bị Khối B – 2003 ). Lời giải: Ta chuyển cung về cung Ta có: Nên phương trình đã cho Đặt . Ta có: . Từ đây ta tìm được các nghiệm Chú ý : Vì trong phương trình chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của cos, do đó ta có thể chuyển về cung 2x nhờ công thức hạ bậc và công thức nhân đôi . PT . Ví dụ 4: Giải phương trình : (ĐH Khối D – 2008 ). Lời giải: Trong phương trình chỉ chứa hai cung 2x và x, nên ta chuyển cung 2x về cung x. PT . Tuy nhiên không phải phương trình lượng giác nào ta cũng đưa về được cùng một cung. Chẳng hạn ta xét ví dụ sau: Ví dụ 5 : Giải phương trình : . Với phương trình này việc đưa về một cung gặp quá nhiều khó khăn, vì trong phương trình xuất hiện bốn cung 2x, 3x, 5x, 6x ! Tuy nhiên giữa các cung này cũng có mối quan hệ nhất định đó là quan hệ hiệu hai cung bằng nhau , hơn nữa hai vế của hai phương trình là tích của hai hàm số lượng giác nên ta nghĩ đến công thức biến đổi tích thành tổng. Thật vậy Phương trình Ví dụ 6 : Giải phương trình . Cũng tương tự như trên vì hai vế của phương trình là tổng của các hàm số lượng giác, hơn nữa ta nhận thấy mỗi vế của phương trình đều chứa ba cung x, 2x, 3x và ba cung này có quan hệ điều này gợi ta nhớ đến công thức biến đổi tổng thành tích. Phương trình Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840 6 GV NguyÔn B¸ C Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng Qua hai ví dụ trên tôi muốn đưa ra nguyên tắc thứ hai mà ta thường hay sử dụng là Biến đổi tích thành tổng và ngược lại Trong phương trình xuất hiện tích của các hàm số lượng giác sin và cos thì ta có thể biến đổi thành tổng (mục đích là tạo ra những đại lượng giống nhau để thực hiện các phép rút gọn). Nếu xuất hiện tổng thì ta biến đổi về tích (Mục đích làm xuất hiện thừa số chung ), đặc biệt là ta sẽ gép những cặp sao cho tổng hoặc hiệu hai cung bằng nhau. Ví dụ 7 : Giải phương trình (ĐH Khối B – 2002 ). Với phương trình này ta không thể chuyển về một cung, cũng không thể biến đổi tổng thành tích được! Nguyên nhâ mà ta không nghĩ tới đưa về một cung thì quá rõ, còn vì sao mà ta lại không sử dụng biến đổi tổng thành tích được là các hàm số xuất hiện ở hai vế của phương trình đều chứa lũy thừa bậc hai mà công thức biến đổi chỉ áp dụng cho các hàm số có lũy thừa bậc nhất thôi. Điều này dẫ tới ta tìm cách đưa bậc hai về bậc nhất và để thực hiện điều này ta liên tưởng đến công thức hạ bậc. Phương trình . Khi giải phương trình lượng giác ta phải sử dụng các công thức biến đổi lượng giác. Tuy nhiên những công thức này chỉ sử dụng khi hàm số lượng giác có số mũ bằng 1, do đó nếu trong phương trình có số mũ của các hàm số lượng giác là chẵn thì ta có thể hạ bậc để thuận tiện cho việc biến đổi . Vậy nguyên tắc thứ ba mà tôi muốn trao đổi với các bạn là nguyên tắc hạ bậc Ví dụ 8 : Giải phương trình ( ĐH Khối A – 2005 ). Phương trình . Nhận xét: * Ở (1) ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác . * Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt . Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng ( Vì công thức nhân ba chúng ta không được học). Ví dụ 9 : Giải phương trình (ĐH Khối B – 2004 ). Trước hết ta đặt điều kiện cho phương trình Đk: . Phương trình Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840 7 GV NguyÔn B¸ C Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng Chú ý : Nếu trong phương trình xuất hiện tan, cot và sin, cos thì ta thay tan, cot bởi sin và cos và lúc đó chúng ta dễ dàng tìm được lời giải hơn. Chú ý khi gặp phương trình chứa tan hay cot, ta nhớ đặt điệu kiện cho phương trình ! Ví dụ 10 : Giải phương trình (ĐH Khối D – 2003 ). Điều kiện : . Phương trình . Trên là một số nguyên tắc chung thường được sự dụng trong các phép biến đổi phương trình lượng giác. Mục đích của các phép biến đổi đó là nhằm : 1. Đưa phương trình ban đầu về phương trình lượng giác thường gặp (Thường là đưa về phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác). Ví dụ 1: Giải phương trình : (ĐH Công Đoàn – 2000). Giải: Điều kiện : Phương trình . Đây là phương trình đẳng cấp bậc ba nên ta chia hai vế của phương trình cho (do ), ta được phương trình : thỏa điều kiện . Nhận xét: Để giải phương trình này ngay từ đầu ta có thể chia hai về của phương trình cho hoặc sử dụng công thức và chuyển phương trình ban đầu về phương trình chỉ chứa hàm tan như trên. Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ĐH Khối B – 2003 ). Giải: Điều kiện: Phương trình (do ) . Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức: và . Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840 8 GV NguyÔn B¸ C Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng Ví dụ 3: Giải phương trình : (HVBCVT TPHCM – 2001 ). Giải: Ta có Nên phương trình . Chú ý : Ta cần lưu ý đến công thức . . Ví dụ 4: Giải phương trình: (ĐH Khối D – 2005 ). Giải: Ta có: . Nên phương trình . . 2. Đưa phương trình về phương trình dạng tích : Tức là ta biến đổi phương trình về dạng . Khi đó việc giải phương trình ban đầu được quy về giải hai phương trình : . Trong mục đích này, ta cần làm xuất hiện nhân tử chung. Một số lưu ý khi tìm nhân tử chung : * Các biểu thức ; ; ; nên chúng có thừa số chung là . * Các biểu thức có thừa số chung là . * có thừa số chung . Tương tự có thừa số chung . Ví dụ 1: Giải phương trình: (ĐH Khối B – 2005 ). Giải: Phương trình . . Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840 9 GV NguyÔn B¸ C Trªn bíc ®êng thµnh c«ng kh«ng cã dÊu ch©n cña kÎ lêi biÕng Nhận xét: Ngoài cách biến đổi trên, ta có thể biến đổi cách khác như sau Phương trình . Mặc dù hai cách biến đổi trên khác nhau nhưng chúng đều dựa trên nguyên tắc ”đưa về một cung”. Ví dụ 2: Giải phương trình: (Dự bị Khối D – 2003 ). Giải: Đk: . Phương trình . Ví dụ 3: Giải phương trình: . Giải: Đk: Phương trình . Ví dụ 4: Giải phương trình: . Giải: Phương trình ( Lưu ý : ). Nhận xét: Khi sử dụng công thức nhân đôi, ta cần lưu ý là có ba công thức để thay nên tuy từng phương trình mà chúng ta chọn công thức phù hợp. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ PHỤ Áp dụng cho BDT Côsi Ví dụ 1 : Cho x,y >= 0 thỏa mãn Tìm GTLN của biểu thức : Giải : Đặt Áp dụng BDT Côsi cho 6 số : Cộng vế theo vế : Mäi th¾c m¾c xin liªn hÖ: 0946.242.840 10 [...]... nghim duy nht t=1 t=1 hay 2x=y+1, thay vo (2) ta c: (Vỡ hm l hm liờn tc v ng bin, ng thi f(-1)=0) Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840 31 GV Nguyễn Bá C Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng Vy nghim ca h l:(x;y)=(0;-1) Vớ d 8: Gii h: Gii: Xột hm s Khi ú h cú dng : ta cú: nờn f(t) l hm ng bin Ta gi s (x,y,z) l no ca h v x=Max{x,y,z} khi ú, ta suy ra Vy , thay vo h ta c phng... cho : Vy : Xy ra Vớ d 4 : Tỡm GTLN ca hm s : Gii : Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840 11 GV Nguyễn Bá C Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng t (*) p dng BDT Cụsi : Ta cn xỏc nh a sao cho : (Do ) Tha món (3) Thay li vo (2) : Thay vo (*) : Vy GTLN ca hm s l 3 t c khi Vớ d 5 : (DH - B 2008) Cho x,y l cỏc s thc tha món : Tỡm GTLN v GTNN ca biu thc : Li gii : GS k l cc tr ca... không có dấu chân của kẻ lời biếng Cú 3 bc c bn trong phng phỏp ny : - t n ph v gỏn luụn iu kin cho n ph - a phng trỡnh ban u v phng trỡnh cú bin l n ph Tin hnh gii quyt phng trỡnh va to ra ny i chiu vi iu kin chn n ph thớch hp - Gii phng trỡnh cho bi n ph va tỡm c v kt lun nghim * Nhn xột : - Cỏi mu cht ca phng phỏp ny chớnh l bc u tiờn Lớ do l nú quyt nh n ton b li gii hay, d , ngn hay di ca bi toỏn...GV Nguyễn Bá C Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng Vy ta cn xỏc nh a,b tha h : T (2) : thay vo (1) : Thay vo (4) : Vớ d 2 : Tỡm GTNN ca hm s : vi Gii : t p dng BDT Cụsi : Ta xỏc nh a sao cho : (vỡ ) Vy : ; Xy ra Vớ d 3 : Tỡm GTLN ca hm s : Gii : t p dng BDT Cụsi : Ta cn... chớnh l S ng dng o hm trong cỏc bi toỏn tham s CHA THAM S Khi gii cỏc bi toỏn v phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh ta thng hay gp cỏc bi toỏn liờn quan n tham s Cú l õy l dng toỏn m nhiu hc sinh lỳng tỳng nht Trong chng ny chỳng ta s i nghiờn cu mt s dng toỏn m chỳng ta thng hay gp (nh xỏc nh tham s phng trỡnh cú nghim, cú k nghim, nghim ỳng vi mi x thuc tp D no ú ) v phng phỏp gii cỏc dng toỏn ú... tc trờn D v cú nghim , thỡ Vớ d 1: Tỡm m cỏc phng trỡnh sau cú nghim Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840 18 GV Nguyễn Bá C Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng Gii: 1)Xột hm s cú tp xỏc nh l D=R Ta cú: thay vo (1) ta thy khụng tha món Vy phng trỡnh vụ nghim khụng i du trờn R, m ng bin Mt khỏc: v Da vo bng bin thiờn ta thy phng trỡnh ó cho cú nghim 2) K: Xột hm s vi Ta cú:... nghim Vớ d 5: Tỡm m h phng trỡnh sau cú nghim: Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840 20 GV Nguyễn Bá C Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng Gii: Ta thy (2) l phng trỡnh khụng cha tham s nờn ta s gii quyt (2) trc Ta cú: H cú nghim Thay vo (1) ta c: (3) Xột hm s f(y) vi cú nghim ng bin trờn cỏc khong v Suy ra h cú nghim Chỳ ý : Khi bi toỏn yờu cu xỏc nh s nghim ca phng trỡnh... trỡnh Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840 21 GV Nguyễn Bá C Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng Xột hm s : vi Ta cú: M: vi nghch bin v Vy phng trỡnh cú ỳng mt nghim Vớ d 9: Tỡm m h phng trỡnh : Gii: cú ba cp nghim phõn bit Ta cú : trỡnh ) (do x=0 khụng l nghim phng Thay vo phng trỡnh th nht ta c: H cú ba cp nghim (a) cú ba nghim phõn bit tha món Xột hm s (a) vi Da vo... Nguyễn Bá C Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng S DNG NH NGHA O HM TèM GII HN Vớ d 1: Tớnh cỏc gii hn sau: 1) 2) 3) Gii: 4) 1) t v f(0)=1 2) t v f(1)=0 3) t 4) t Vớ d 2: Tỡm cỏc gii hn sau 1) 2) 3) Gii: 1) t v Khi ú: Mọi thắc mắc xin liên hệ: 0946.242.840 25 GV Nguyễn Bá C Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng 2) t Khi ú: 3) t v Khi ú: Ngoi... hệ: 0946.242.840 30 GV Nguyễn Bá C Trên bớc đờng thành công không có dấu chân của kẻ lời biếng Xột hm s , ta cú suy ra f(x) l hm ng bin Mt khỏc: Do vy Bpt Kt hp iu kin ta cú nghim ca Bpt l Vớ d 5: Gii h phng trỡnh: Gii: T (2) ta suy ra c |x|,|y| . dấu chân của kẻ lời biếng Một số vấn đề hay toán học Trong một lần tình cờ tôi đọc đợc bài viết này trên máy tính của một ngời bạn. Tôi thấy đây là một bài. GTNN của biểu thức : 2. Cho a,b là các số dương thỏa mãn : Tìm GTNN của biểu thức : 3. Tìm GLNN của hàm số : 4. Tìm GTNN của hàm số : với 5. Tìm GTLN của