chuỗi số
Chương 1: Chuỗi Số Chương 1: Chuỗi Số Trường đại học công nghiệp Trường đại học công nghiệp thực phẩm tp.hcm thực phẩm tp.hcm Khoa: Khoa Học Cơ Bản Khoa: Khoa Học Cơ Bản Chương 1: Chuỗi Số Chương 1: Chuỗi Số ; 21 1 ++++= ∑ ∞ = n n n uuuu R ∈ n u Chương 4: để chỉ một chuỗi số. ∗ u n được gọi là số hạng tổng quát thứ n của chuỗi số Cho dãy số thực {u n }. Ta ký hiệu CHUỖI SỐ 1.ĐỊNH NGHĨA CHUỖI SỐ: Ở đây: ∗ S n = u 1 + u 2 + … +u n được gọi là tổng riêng phần thứ n của chuỗi số. Chương 1: Chuỗi Số Chương 1: Chuỗi Số 1.ĐỊNH NGHĨA CHUỖI SỐ (tiếp theo): SS n n = ∞→ lim ∑ ∞ = = 1n n uS ∞= ∞→ n n Slim n n S ∞→ lim ∗ Nếu hội tụ và S được gọi là tổng của chuỗi. hoặc không tồn tại thì (hữu hạn) thì chuỗi được gọi là Ta ghi ∗ Nếu chuỗi được gọi là phân kỳ Chương 1: Chuỗi Số Chương 1: Chuỗi Số 2.MỘT SỐ VÍ DỤ: a)VD1: Xét sự hội tụ của chuỗi cấp số nhân ∑ ∞ = 0n n q Ta có: 1 < q q n S − → 1 1 ∗ Nếu thì q n → 0 nên Vậy chuỗi hội tụ và q n n q − = ∑ ∞ = 1 1 0 ≠ − − = =+++= − 1; 1 1 1; .1 1 q q q qn qqS n n n Chương 1: Chuỗi Số Chương 1: Chuỗi Số 1>q ∗ Nếu thì q n → ∝ nên chuỗi phân kỳ. ∗ Nếu q=1 thì S n = n → ∝ nên chuỗi phân kỳ Vậy S n không có giới hạn nên chuỗi phân kỳ. hội tụ nếu phân kỳ nếu 1 < q 1 ≥ q ∑ ∞ = 0n n q 2.MỘT SỐ VÍ DỤ (tiếp theo): ∗ Nếu q=-1 thì S 2n = 0 và S 2n+1 = 1 Tóm lại: Chuỗi cấp số nhân Chương 1: Chuỗi Số Chương 1: Chuỗi Số b)VD2: Xét sự hội tụ của chuỗi ∑ ∞ = + 1 )1( 1 n nn 1 11 )1( 1 + −= + = nnnn n u 1 1 1 . 21 + −=+++= n nn uuuS 1lim = ∞→ n n S 1 1 )1( 1 = ∑ ∞ = + n nn Ta có: Nên: Vậy: Do đó chuỗi hội tụ và 2.MỘT SỐ VÍ DỤ (tiếp theo): Chương 1: Chuỗi Số Chương 1: Chuỗi Số c)VD3: Xét sự hội tụ của chuỗi ∑ ∞ = + 1 )1(ln 1 n n nn n u n ln)1(ln) 1 1(ln −+=+= )1(ln . 1 +=++= nuuS nn ∞= ∞→ n n Slim ) 1 1ln( 1 ∑ ∞ = + n n Ta có: Nên: Vậy: Do đó chuỗi phân kỳ 2.MỘT SỐ VÍ DỤ (tiếp theo): Chương 1: Chuỗi Số Chương 1: Chuỗi Số Ta thường dùng mệnh đề tương đương với mệnh đề trên. ∑ ∞ =1n n u 0lim = ∞→ n n u 3. ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA SỰ HỘI TỤ: hội tụ thì Nếu chuỗi 0lim ≠ ∞→ n n u n n u ∞→ lim ∑ ∞ =1n n u hoặc không tồn tại thì chuỗi phân kỳ. Nếu Chương 1: Chuỗi Số Chương 1: Chuỗi Số ∑ ∞ = + + 1 53 32 n n n 0 3 2 53 32 ≠→ + + = n n u n a)VD1: Xét sự hội tụ của chuỗi Ta có: Do điều kiện cần của sự hội tụ vậy chuỗi phân kỳ . ∑ ∞ = 1 sin n n nu n n n sinlimlim ∞→∞→ = b)VD2: Xét sự hội tụ của chuỗi Ta có: Do điều kiện cần của sự hội tụ vậy chuỗi phân kỳ . không tồn tại Chương 1: Chuỗi Số Chương 1: Chuỗi Số ∑ ∞ =2 2 ln n n n ∞== ∞→∞→ n n u n n n 2 ln limlim VD3: Xét sự hội tụ của chuỗi số: Ta có: Do điều kiện cần của sự hội tụ vậy chuỗi phân kỳ .