Chuyên đề toán ôn thi tuyển sinh quốc gia (19)

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 BÀI TỐN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Chun đề 15 DẠNG TỐN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 102 2018) Ông A dự định sử dụng hết kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A B C Lời giải D Chọn C Gọi chiều rộng, ta có chiều dài Do diện tích đáy mặt bên ta có nên nên có chiều cao Thể tích bể cá Bảng biến thiên Bể cá có dung tích lớn Câu , (Mã 104 2018) Ông A dự định sử dụng hết kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, chiều dài gấp đơi chiều rộng (các mối ghép có kích thước khơng đáng kể) Bể cá có dung tích lớn (kết làm tròn đến hàng phần trăm)?: A B C Lời giải D Chọn D Gọi chiều rộng, dài, cao bể cá Ta có ( Điều kiện Thể tích bể cá Lập BBT suy ) Trang Câu (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Người ta cần xây dựng bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật tích Đáy bể bơi hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Tính chiều rộng đáy bể bơi để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu (kết làm tròn đến hai chữ số thập phân)? A B C Lời giải D Chọn B Gọi chiều rộng hình hộp suy chiều dài , chiều cao Diện tích thi cơng Áp dụng BĐT Cosi ta có Diện tích thi cơng nhỏ Ghi chú: Chúng ta dung Phương pháp hàm số để tìm tốn Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Người ta muốn thiết kế bể cá kính khơng có nắp với thể tích , chiều cao Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với kích thước (đơn vị ) hình vẽ Tính để bể cá tốn nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày kính khơng ảnh hưởng đến thể tích bể A ; B ; C ; D Lời giải ; Thể tích bế cá: Diện tích kính để làm bể cá hình vẽ: , với Vậy để bể cá tốn ngun liệu Trang ; TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Mã 110 2017) Xét khối tứ diện để thể tích khối tứ diện A có cạnh cạnh cịn lại Tìm đạt giá trị lớn B C Lời giải D Chọn B Gọi trung điểm Ta có Tam giác cân nên Dấu Câu xảy (Sở Vĩnh Phúc 2019) Xét khối chóp có đáy tam giác vuông cân với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ đến mặt phẳng phẳng thể tích khối chóp A , giá trị B C Lời giải Gọi , vng góc góc hai mặt nhỏ D Trang Đặt Ta có Thể tích nhỏ Câu (Chuyên Lê Thánh Tơng 2019) Cho hình hộp chữ nhật Biết góc đường thẳng mặt phẳng thể tích khối hộp A Trang B C Lời giải có , Tìm giá trị lớn D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có hình chiếu vng góc góc đường thẳng nhọn vng mặt phẳng ) Vậy Ta có mặt phẳng góc (vì  ; Câu Dấu xảy Vậy (vì ) (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Nhân ngày quốc tế Phụ nữ – năm 2019 Ông A mua tặng vợ quà đặt hộp chữ nhật tích 32 (đvtt) có đáy hình vng khơng nắp Để q trở nên đặc biệt xứng tầm với giá trị nó, ông định mạ vàng hộp, biết độ dày lớp mạ điểm hộp không đổi Gọi chiều cao cạnh đáy hộp nhỏ giá trị A , và Để lượng vàng hộp là? B , Ta tích hộp: C Lời giải (đvtt), với , D Suy Phần mạ vàng hộp: Cách Xét hàm số Ta có Đẳng thức xảy Cách , (BĐT AM-GM) hay với Ta có BBT , , ; 0 Trang Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN Vậy phương án A Câu , (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Xét tứ diện , có cạnh thay đổi Giá trị lớn thể tích khối tứ diện A B C Lời giải D Chọn A Gọi trung điểm , Đặt Ta có , Ta có , , Dấu đẳng thức xảy Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện Câu 10 Thể tích khối chóp Chọn C Trang (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp A đạt giá trị lớn tổng B C Lời giải có D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi trung điểm đặt Dấu xảy Câu 11 (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật tích tất mặt 36, độ dài đường chéo nhiêu? A B có tổng diện Hỏi thể tích khối hộp lớn bao C Lời giải D Chọn A +) Gọi độ dài Ta có tổng diện tích tất mặt 36 nên Do độ dài đường chéo nên +) Thể tích khối hộp Ta có Từ Nên Trang Ta có Lập bảng biến thiên ta Câu 12 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp có Biết thể tích khối chóp Mệnh đề sau đúng? A B , cạnh lại lớn C Lời giải D S x a a a I A D a O B  Gọi trung điểm , a C Ta có Mà Khi đó, hình thoi nên   vuông   Ta có Dấu “=” xảy Vậy, thể tích khối chóp Trang lớn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 13 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho tứ diện Khi thể tích tứ diện A Gọi có lớn tính B , tất cạnh cịn lại C Lời giải trung điểm Tam giác , D hai tam giác cân cạnh đáy nên Suy Tam giác nên Dấu xảy Vậy thể tích Câu 14 đạt giá trị lớn (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hình chóp bình hành tích Điểm và thuộc khoảng sau đây? trung điểm Gọi có đáy , mặt phẳng qua thể tích khối chóp hình cắt hai cạnh Giá trị lớn Trang A Gọi Gọi B , , suy mặt phẳng qua , D trọng tâm tam giác cắt hai cạnh Dễ thấy: Đặt: C Lời giải , đồng quy hay , , thẳng hàng Từ tỷ lệ: Lại có: Từ suy ra: Câu 15 hay Vậy lớn (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong thi làm đồ dùng học tập trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác cách lấy mảnh tơn hình vng Trang 10 có cạnh (tham khảo hình vẽ) Chọn B Do qua , , , nên bốn điểm đồng phẳng Áp dụng công thức với , , , thỏa mãn Theo đề ta có: , Khi đó: đặt , với Vậy ta có: Theo bất đẳng thức bản: Câu 20 suy Dấu “=” xảy Vậy có giá trị nhỏ (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng cân , A Chọn A B Mặt phẳng C Lời giải có đáy góc tạo hai mặt phẳng lượt trung điểm tích phần nhỏ Trang 16 tam giác vuông Gọi lần chia khối lăng trụ thành hai phần Thể D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi trung điểm suy Tam giác , suy nên góc vng nên , kéo dài cắt đường trung bình , Thể tích khối chóp Do Vậy phần thể tích nhỏ Thể tích khối chóp Câu 21 , Thể tích khối lăng trụ Suy góc Diện tích tam giác Trong (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho nhơm hình vng cạnh cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh (cm), gập nhơm lại để hộp khơng nắp( tham khảo hình vẽ bên) Tìm để hộp nhận tích lớn (giả thiết bề dày tôn không đáng kể) Trang 17 A B C D Lời giải Chọn A Hình hộp có đáy hình vng cạnh , chiều cao Điều kiện x 12 –2x Thể tích khối hộp Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương (hằng số) Dấu xảy Vây thể tích khối hộp lớn Câu 22 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S.ABC tích Mặt phẳng (Q) thay đổi song song với mặt phẳng (ABC) cắt cạnh SA, SB, SC M, N, P Qua M, N, P kẻ đường thẳng song song với cắt mặt phẳng (ABC) M’, N’, P’ Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M’N’P’ A Chọn A Trang 18 B C Lời giải D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 H' H Gọi Gọi chiều cao hình chóp , chiều cao lăng trụ = Xét hàm số: với Bảng biến thiên: x f'(x) + - f(x) Vậy: Trang 19 Câu 23 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình vng tại tại A lấy điểm , cạnh di động không trùng với Trên đường thẳng vng góc với Hình chiếu vng góc Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện B C Lời giải D Chọn C Cách 1: Ta có Lại có Gọi Ta có Lại có Chứng minh tương tự ta có Vì Xét tam giác vng tại , đặt và có , Trang 20 lên