Chuyên đề toán ôn thi tuyển sinh quốc gia (19)

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Chuyên đề 12 MỘT SỐ BÀI TỐN KHĨ THỂ TÍCH KHỐI CHĨP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB CC , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC   trung điểm M BC AM  A 2 Thể tích khối lăng trụ cho B C D 3 Lời giải Chọn A Cắt lăng trụ mặt phẳng qua A vng góc với AA ta thiết diện tam giác AB1C1 có cạnh AB1  ; AC1  ; B1C1  Suy tam giác AB1C1 vuông A trung tuyến AH tam giác Gọi giao điểm AM AH T ; AH   MH  Suy MAH  30 3 AM  Do MAA  60  AA  cos MAA Thể tích khối lăng trụ ABC ABC thể tích khối lăng trụ AB1C1 AB2C2 Ta có: AM  V  AA.S AB1C1  Câu   (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' CC ' Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 , hình chiếu vng Trang góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') trung điểm M B ' C ' A ' M  Thể tích khối lăng trụ cho A 3 B C D Lời giải Chọn D Gọi A1 , A2 hình chiếu A BB ' , CC ' Theo đề AA1  1; AA2  3; A1 A2  Do AA12  AA2  A1 A2 nên tam giác AA1 A2 vuông A Gọi H trung điểm A1 A2 AH  A1 A2  Lại có MH BB '  MH  ( AA1 A2 )  MH  AH suy MH  AM  AH  nên cos(( ABC ), ( AA1 A2 ))  cos( MH , AM )  cos HMA  Suy S ABC  S AA1 A2 cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) MH  AM  Thể tích lăng trụ V  AM  S ABC  Nhận xét Ý tưởng câu dùng diện tích hình chiếu S '  S cos  Câu (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' , khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1; Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' trung điểm M B ' C ' , A ' M  A B 15 Thể tích khối lăng trụ cho 15 Lời giải C D 15 Chọn C Trang Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2022 Kẻ AI  BB ' , AK  CC ' ( hình vẽ ) Khoảng cách từ A đến BB ' CC ' 1;  AI  , AK  Gọi F trung điểm BC A ' M  Ta có 15 15  AF  3 AI  BB '    BB '   AIK   BB '  IK BB '  AK  Vì CC ' BB '  d (C, BB ')  d ( K , BB ')  IK   AIK vuông A Gọi E trung điểm IK  EF BB '  EF   AIK   EF  AE Lại có AM   ABC  Do góc hai mặt phẳng  ABC   AIK  góc EF AM AE    FAE  30 góc AME  FAE Ta có cos FAE  AF 15 Hình chiếu vng góc tam giác ABC lên mặt phẳng S AIK  S ABC cos EAF   S ABC  AIK  AIK nên ta có:   S ABC 15 AF  AM   AM  Xét AMF vuông A : tan AMF  AM 3 Vậy VABC A ' B 'C '  Câu 2 15  3 (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến đường thẳng BB CC , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  ABC   trung điểm M BC AM  Thể tích khối lăng trụ cho A B 15 Lời giải C Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 D 15 Trang Chọn D Gọi J , K hình chiếu vng góc A lên BB CC , H hình chiếu vng góc C lên BB Ta có AJ  BB 1  2 BB   AJK   BB  JK  JK //CH AK  CC   AK  BB Từ 1   suy  JK  CH  Xét AJK có JK  AJ  AK  suy AJK vuông A Gọi N trung điểm BC , xét tam giác vuông ANF ta có: Gọi F trung điểm JK ta có AF  JF  FK  AF cos NAF     NAF  60 ( AN  AM  AN //AM AN  AM ) AN S 1 Vậy ta có SAJK  AJ AK  1.2   SAJK  SABC cos 60  SABC  AJK   2 cos 60 Xét tam giác AMA vuông M ta có MAA  AMF  30 hay AM  AM tan 30  Vậy thể tích khối lăng trụ V  AM SABC  Câu 15 15 15  3 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy tam giác vng A , AB  , AC  Góc CAA  90 , BAA  120 Gọi M trung điểm cạnh BB (tham khảo hình vẽ) Biết CM vng góc với AB , tính thể tích khối lăng trụ cho A V    33  B V   33 C V    33  D V   33 Lời giải Chọn C Trang Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2022 Do AC  AB , AC  AA nên AC   ABBA  Mà AB   ABBA  nên AC  AB Có AB  AC , AB  CM nên AB   AMC   AB  AM Đặt AA  x  x   Ta có AB  AB  AA AM  AB  BM  AB   AA  1   Suy AB AM  AB  AA  AB  AA   AB  AA2  AB AA 2   1 1 1  AB  AA2  AB AA.cos BAA  22  x  2.x.cos120   x  x  2 2 2 1  33 Do AB  AM nên AB AM    x  x    x  2 Lại có S ABB A  AB AA.sin BAA       33  33 (đvdt) .sin120  2  33  33 1 Do AC   ABBA  nên VC ABB A  AC.S ABB A  (đvtt)  3 2 Mà VC AB C   VABC AB C   VC ABB A  VABC AB C   VC AB C   VABC AB C  3   3  33  33  Vậy VABC AB C   VC ABB A  (đvtt) 2 Câu (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vng cân C , AB  2a góc tạo hai mặt phẳng  ABC    ABC  60 Gọi M , N trung điểm AC BC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ A 3a 24 B 6a 6a 24 Lời giải C D 3a Chọn A Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang Gọi I trung điểm AB , suy AB   CIC   nên góc  C AB   ABC  góc  CI , C I  , suy CIC  60 Tam giác CIC vuông C nên C C  CI  tan C IC  AB  tan 60  a Diện tích tam giác ABC S ABC   AB  CI  a Thể tích khối lăng trụ V  CC   S ABC  a  a  a 3 Trong  ACC A  , kéo dài AM cắt CC O Suy CM đường trung bình OAC , OC  2CC   2a 1 1 Thể tích khối chóp VO ACN   S ACN  OC    S ABC  2CC   V 3 1 1 Thể tích khối chóp VO.C ME   SC ME  OC    S ABC   OC   V 3 24 1 7 3a Do VC EM CAN  VO ACN  VO.C ME  V  V  V   a 3  24 24 24 24 Vậy phần thể tích nhỏ VC EM CAN  Câu 7 3a 24 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA  Gọi D , E trung điểm cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD  AE A 21 B 21 21 Lời giải C D 21 27 Chọn D Trang Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Gọi O tâm tam giác ABC Do S ABC hình chóp nên ta có SO   ABC  Ta có AE  SE  SA  1 SC  SA ; BD  SD  SB  SA  SB 2 Đật ASC  BSC  ASB   1   BD  AE  BD AE    SA  SB  SC  SA   2   1  SASC  SA  SB.SC  SA.SB  2  cos    cos   cos    cos   Áp dụng định lý hàm số côsin tam giác SAC , ta có: AC  SA2  SC  2SA.SC.cos   Diện tích tam giác ABC S ABC   AC  3 2 2 AO   ; SO  SA2  AO  3 3 1 21  Thể tích khối chóp S ABC V  SO.S ABC  3 3 27 Câu (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC tam giác vng A , cạnh BC  2a ABC  600 Biết tứ giác BCCB hình thoi có BBC nhọn Mặt phẳng  BCCB vng góc với  ABC  mặt phẳng  ABBA  tạo với  ABC  góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 7a3 B 7a3 7a3 Lời giải C D 7a3 21 Chọn B Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang B' C' A' B H C K A  BCC B    ABC  Có  Do  BCC B  kẻ BH vng góc với BC H  BCC B    ABC   BC BH   ABC  hay BH chiều cao hình lăng trụ Trong  ABC  kẻ HK vng góc với AB K Khi AB   BHK   ABBA    ABC   AB  Ta có  BHK   AB   BHK    ABBA   BK ,  BHK    ABC   KH  Góc  ABBA   ABC  góc BK KH BHK vng H nên BKH góc nhọn Do BKH  45 BHK vng H có BKH  45  BHK vng cân H  BH  KH Xét hai tam giác vng BBH BKH , ta có tan BBH   BH 1 21    sin BBH   cos BBH     1   BB  tan BBH   1 21 2a 21 (vì BCCB hình thoi có cạnh BC  2a )  7  BH  BB Ta có S ABC   1 AB AC  BC.cos 600 2 Vậy VABC ABC  Câu BH KH   sin ABC  sin 60  BH BH  BH S ABC   BC.sin 60   12 2a 12 2a 23  a 2a 21 a 3 a3  7 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác Mặt phẳng  ABC  tạo với đáy góc 300 tam giác ABC có diện tích Tính thể tích V khối lăng trụ cho A 64 B C 16 Lời giải D Chọn D Trang Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Gọi I trung điểm cạnh BC Vì ABC ABC lăng trụ đứng có đáy tam giác nên ABC ABC khối lăng trụ Do ta có: AB  AC Suy tam giác ABC cân A  AI  BC Mặt khác: tam giác ABC  AI  BC Suy BC   AIA  Vậy góc mặt phẳng  ABC  mặt đáy góc AIA  300 Ta có: tam giác ABC hình chiếu tam giác ABC mặt đáy nên S ABC  S ABC cos   8.cos 300  Đặt AB  x  S ABC  Ta có: AI  x2   x  4 x   AA  AI tan AIA  Suy ra: VABC ABC   AA.S ABC  2.4  Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng A, AB  a, BC  2a Hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh H cạnh AC Góc hai mặt phẳng  BCB ' C '  ABC  600 Thể tích khối lăng trụ cho bằng: 3a A B 3a 3a C Lời giải a3 D 16 Chọn C Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang Ta có BC  a Từ H kẻ HI vng góc với BC HI HC AB.HC a   HI   AB BC BC Gọi K trung điểm A’C’ từ K kẻ KM vng góc với B’C’ Ta có HIC BAC nên Tứ giác KMIH hình bình hành nên KM  IH  a Gọi N điểm B’C’ cho M trung điểm C’N  A ' N  KM  a Do A ' H   ABC  nên  A ' NIH    ABC  Mà A ' N  HI nên HIN góc tù Suy HIN  1200  A ' NI  600 Gọi H’ hình chiếu I lên A’N suy H’ trung điểm A’N 3a  A ' H  IH '  NH '.tan 600   V  A ' H S ABC  Câu 11 3a a 3 3a  (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  a Góc hai mặt phẳng  SBC   SCD   , với cos  A a3 Thể tích khối chóp cho B a3 2a Lời giải C D 2a Chọn A Trang 10 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 + Gọi M trung điểm BC , H trọng tâm tam giác ABC  A ' H   ABC  + AM  BC AH  BC  BC   AA ' M  + Trong tam giác AA ' M , kẻ MN  AA ' N A MN  BC M BC   AA ' M  c a  MN đoạn vng góc chung AA ' BC  MN  + Tam giác AA ' M có SAA ' M b a B 1  A ' H AM  MN AA ' 2 M C  A ' H AM  MN AA '  A ' H AM  MN A ' H  AH MN A ' H  AH  A' H   AM 2a 3 a A' H    3  a 2 a 3 A' H      2  a 3 a  A ' H  A ' H     A ' H    2 a a a3  12 Vậy thể tích khối lăng trụ VABC A ' B 'C '  A ' H SABC  Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực BC góc 300 450 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Thể tích khối chóp S ABC bằng: A VS ABC  a3 B VS ABC  a3 C VS ABC  a3 D VS ABC  a Lời giải Chọn C Trang 14 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 + Lấy M trung điểm BC , tam giác ABC cân A  AM  BC SA  BC  BC   SAM  trung điểm M   SAM  mặt phẳng trung trực cạnh BC Góc SB mặt phẳng  SAM  = góc SB SM = BSM  450 Góc SB mặt phẳng  ABC  = góc SB AB = SBA  300 BC   SAM   BC  SM  khoảng cách từ S đến cạnh BC SM  a + Tam giác vng cân SBM có BM  a, SB  a  BC  2BM  2a Tam giác vng SAB có sin 300  SA a a ; AB   SA  a  SB 2 2 a 6 a 2 Tam giác vng ABM có AM  AB  BM      a    Vậy thể tích khối chóp S ABC VS ABC Câu 16 (Chu Văn An - Hà 1 a a a3  SA.SABC  2a  3 2 Nội - BC  BD  AC  AD  1,  ACD    BCD  2019) Cho  ABD    ABC  tứ diện ABCD có Thể tích tứ diện ABCD A B 27 27 Lời giải C D 2 27 Chọn B Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang 15 Gọi H , K trung điểm cạnh CD, AB Đặt AH  x,  x   ACD BCD cân A D nên AH BH hai đường cao tương ứng  ACD    BCD    ACD    BCD   CD  AH   BCD    ACD   AH  CD Do AH  BH 1 ACD  BCD  c.c.c  AH  BH (2 đường cao tương ứng) (2) Từ (1), (2) suy AHB vuông cân H  AB  AH  x (3) Chứng minh tương tự ta CKD vuông cân K CD 2.HD  CK    AD  AH   x 2 Mặt khác, ACD cân A có CK đường cao nên: AB  AK  AC  CK   1  x  (4) Từ (3), (4) ta có: x   1  x   x   x  1  x2  x 3  x  0 CD  2.HD   AH  VABCD  Trang 16 3 1 6 3 AH SBCD   3 3 27 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Câu 17 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA  a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng (SBC ) (SCD) Thể tích khối chóp S.ABCD 10 A 3a3 B 9a3 C 4a3 Lời giải D 12a3 Chọn C Gọi H tâm hình vng ABCD nên SH  ( ABCD) Đặt m  HA , n  SH Do tam giác SAH vuông H nên m2  n2  11a Xây dựng hệ trục tọa độ sau: H (0;0;0) , B(m ;0;0) , D(m ;0;0) , C(0; m ;0) , S (0;0; n) Khi phương trình mặt phẳng (SBC ) là: x y z    hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng m m n (SBC ) n1  (n; n; m) Khi phương trình mặt phẳng (SCD) là: x y z    hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng m m n (SBC ) n2  (n; n; m) Do cosin góc hợp hai mặt phẳng (SBC ) (SCD) | n n |  hay nên 10 10 | n1 | | n2 | m2 mà n2  11a2  m2  2 2n  m 10 Vậy m2 m2     m2  2a  m  a  SH  3a 2 2 2n  m 10 22a  m 10 m  HA  a nên AB  2a , Chiều cao hình chóp SH  3a Diện tích hình vng S ABCD  4a 1 Thể tích khối chóp S.ABCD là: V  S ABCD SH  4a 3a  4a 3 Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh , biết khoảng cách từ A đến  SBC  15 , từ B đến  SCA  , từ C đến  SAB  10 30 hình chiếu vng góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối 20 chóp VS ABC Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang 17 A 36 B 48 C 12 D 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P hình chiếu H lên cạnh AC, BC, AB h  Đặt SH  h  VS ABC  h 12 Ta có AP  2S SAB 6VS ABC h 30  2S SAB   :  h 10 AB 20 d  C;  SAB   Tương tự, tính HM  2h, HN  h  PH  SP  SH  3h Ta có S ABC  S HAB  S HAC  S HBC  Vậy VS ABC  Câu 19 3  HP  HM  HN   3h   h  12 3  12 12 48 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a SAB  SCB  900 Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  MBC  6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  3a 12 B V  3a C V  3a 3 D V  3a 12 Lời giải Chọn B Trang 18 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2022 Vì SAB  SCB  900  S , A, B, C thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có OI   ABC  Gọi H điểm đối xứng với B qua O  SH   ABC  (vì OI đường trung bình SHB ) Gọi BM  AI  J , ta có J trọng tâm SAB Trong AID , kẻ JN / / IO Khi đó, BC   JND  nên  JND    MBC  Kẻ NE  JD , ta có NE   MBC  Do d  N ;  MBC    NE d  A,  MBC   AD AD AD AD     d  N ,  MBC   ND AD  AN AD  AO AD  AD 10a Suy ra, d  N ,  MBC    d  A,  MBC    21 10a 1 Xét JND có nên NJ   OI  NJ  5a  SH  10a   2 2 NE ND NJ Ta có  1 a 3a Vậy VSABC  SH S ABC  10a  3 Câu 20 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh SA  BC  ; SB  AC  ; SC  AB  Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 12 B 390 C 390 D 390 Lời giải Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang 19 + Dựng hình chóp S.A ' B ' C ' cho A trung điểm B ' C ' , B trung điểm A ' C ' , C trung điểm A ' B ' + Khi SB  AC  BA '  BC '  nên SA ' C ' vuông S SA '2  SC '2   2.SB   64 (1)  SA '2  SB '2  80 (2) + Tương tự SB ' C ' , SA ' B ' vuông S   SB '  SC '  36 (3) + Từ 1 ;   ;  3 ta suy SC '  10 ; SB '  26 ; SA '  54 1 390 + Ta tính VS A ' B 'C '  SC ' .SA '.SB '  390 VS ABC  VS A ' B 'C '  (đvtt) 4 Câu 21 Cho hình chóp S ABC có ASB  CSB  60 , ASC  90 , SA  SB  a , SC  3a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 A a3 B 18 a3 C 12 Lời giải a3 D Chọn A Cách 1: Gọi M điểm nằm SC cho SM  SC  a Ta có: Tam giác SAM vng S  AM  SA2  SM  a Tam giác SBM tam giác có độ dài cạnh SM  SB  BM  a Tam giác SAB tam giác có độ dài cạnh SA  SB  AB  a Vậy AB2  BM  AM  Tam giác ABM tam giác vuông B Trang 20 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022  ABM  ASM  SI  IB  a  IB2  SI  SB2  Tam giác SIB vuông I  SI  IB   SI   ABM   SI đường cao khối chóp SABM  SI  AM 1 a3 Thể tích khối chóp S ABM VS ABM  SABM SI  AB.BM SI  ( đvtt ) 12 Mà VS ABM SM a3    VS ABC  3.VS ABM  VS ABC SC Cách 2: Ta có VS ABC  abc  cos   cos   cos   cos  cos  cos  Trong a  SA ; b  SB ; c  SC ;   ASB ;   ASC ;   BSC  VS ABC  a.a.3a a3 ( đvtt )  cos 60  cos 60  cos 90  cos 60 cos 60 cos 90  Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a Gọi M trung điểm cạnh SA , 6a Thể tích khối chóp SAB  SCB  90 , biết khoảng cách từ A đến  MBC  21 S ABC A 10a 3 Chọn B 8a 39 4a 13 Lời giải D 2a 3 C A S M H J E A N I C O D B Vì SAB  SCB  90  S , A, B, C thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D trung điểm BC , I trung điểm SB O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC , ta có OI   ABC  Gọi H điểm đối xứng với B qua O  SH   ABC  (vì OI đường trung bình SHB ) Gọi BM  AI  J , ta có J trọng tâm SAB Trong AID , kẻ JN // IO Khi đó, BC   JND  nên  JND    MBC  Kẻ NE  JD , ta có NE   MBC  Do d  N ;  MBC    NE Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang 21 d  A,  MBC   AD AD AD AD     d  N ,  MBC   ND AD  AN AD  AO AD  AD 10a Suy ra, d  N ,  MBC    d  A,  MBC    21 1 10a 5a 10a Xét JND có nên NJ     OI  NJ   SH  2 NE ND NJ 3 Ta có  1 10a  2a  10 3a3  SH S ABC   3 Vậy VSABC Câu 23 (Cụm liên trường Hải Phịng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a SCB 90 Gọi M trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (MBC ) 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC SAB A V 3a 12 B V 3a C V 3a D V 3a 12 Lời giải Chọn B Gọi I trung điểm SB Do SAB SCB 90 nên I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Gọi O tâm đáy ABC OI ( ABC ) Gọi H hình chiếu S lên mặt phẳng ABC Ta có AB (SAH ) AB AH Tương tự, BC CH Suy H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, có tâm O nên O trung điểm BH Do đó, SH 2OI BC AIN (*) Gọi N trung điểm BC IN // SC nên BC IN Gọi G trọng tâm tam giác SAB K hình chiếu G lên mặt phẳng AO AN KN AN ABC K AO GK // OI AK 9 10a d K , MBC d A, MBC 21 (*) 10a MBC d K , MBC KE Kẻ KE GN KE BC KE 21 Trang 22 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Tam giác GKN vng K có KE Vậy thể tích khối chóp S ABC V Câu 24 GK KN a2 10a GK 10a SH 2OI 3GK 10a 5a 3 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD  BC  , AC  BD  , AB  CD  Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2740 12 B 2474 12 C 2047 12 D 2470 12 Lời giải Chọn D Dựng tứ diện D.ABC cho A , B , C trung điểm BC , AC , AB Theo cách dựng theo có: AC  BC  BD Xét tam giác DAC có: BD đường trung tuyến AB  BC  BD  DAC vuông D Chứng minh tương tự ta có: DBC , DAB vng D Khi tứ diện D.ABC có cạnh DA , DB , DC đơi vng góc với 1 Ta có: VABCD  VD ABC   DA.DB.DC  24  DA  38  DA2  DB2  48  DA2  38    Theo ta có:  DA2  DC 2  64   DB2  10   DB  10  DB2  DC 2  36  DC 2  26     DC   26 Vậy VABCD  1 2470 DA.DB.DC   38 10 26  24 24 12 Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DAB  CBD  90; AB  a; AC  a 5; ABC  135 Biết góc hai mặt phẳng  ABD  ,  BCD  30 Thể tích tứ diện ABCD a3 A a3 B a3 C a3 D Lời giải Chọn C Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang 23 Gọi H thuộc mặt phẳng  ABC  DH   ABC   BA  DA Ta có   BA  AH Tương tự  BA  DH  BC  BD  BC  BH   BC  DH Tam giác ABH có AB  a; ABC  135; CBH  90  ABH  45 suy ABH vuông cân A  AH  AB  a Áp dụng định lý cơsin ta có BC  a 1 a2 Diện tích tam giác ABC : S ABC  BA.BC.sin ABC  a.a  2 2 Kẻ HE , HF vng góc với DA , DB Suy HE   ABD  , HF   BCD  nên góc hai mặt phẳng  ABD  ,  BCD  góc EHF Tam giác EHF vng E , ta có HE  Mặt khác: cos EHF  a.DH a  DH , HF  DH a 2a  DH HE DH  2a    DH  a HF 2.DH  2a a3 Thể tích tứ diện ABCD VABCD  DH SABC  Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC A B C Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC a , góc hai mặt phẳng ABC BCC B  với cos  Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C A V 3a B V 3a C V a3 D V 3a Lời giải Chọn B Trang 24 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 A' C' B' E K y α a A C M x B Gọi M , N trung điểm AB BC Do AB AB CC CM AB MCC MCC ABC Kẻ CK vng góc với CM K ta CK Đặt BC CM x, CC CC Kẻ CE Lại có y, x CK 0, y 3x , ta được: CM y2 BC E , ta KEC x2 y2 CE ABC , CK d C ; ABC a x 1 a2  , EC KC sin  a 1 12 a 12 11 11 12a a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là: Giải , ta x V Câu 27 y x2 2a , y a 4a 2a (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD ABCD có AB vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Góc AA với mặt phẳng  ABCD  450 Khoảng cách từ A đến đường thẳng BB ' DD ' Góc mặt phẳng  CC DD  A  BBC C  mặt phẳng 600 , Tính thể tích khối hộp cho B C Lời giải D 3 Chọn A Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang 25 Ta có AB   ABCD    AA, ABCD   AAB  BBA  450 Vì d  A, BB   d  A, BB   AH  ( H hình chiếu A lên BB ) Suy ta có A' B '  A' H  A ' B  A ' B '.tan  BB ' A '   sin  BB ' A Gán hệ trục tọa độ gốc A với điểm B  Oz, B  Oy mặt phẳng  ABC D    Oxy  Ta có tọa     Ta có D   Oxy  , giả sử D  a, b,  ;a   C   a, b  độ điểm A  0, 0,  , B 0, 0, , B 0, 2,  2, Chọn n  BB ' C ' C    b, a, a  n  DD' C ' C   1, 0,  Vì góc mặt phẳng  BBC C  mặt phẳng  CC DD  600 Ta có cos  600   b b  2a 2 b a  xa  Mặt khác ta có đường thằng DD có phương trình  y  b  t Vì khoảng cách từ A đến đường  z t  thẳng DD Ta có:  AD, u DD '  b  2a   d  A, DD0   d  A, DD      b  2a   b   2 u DD '  Trường hợp D  Trường hợp 1: D Câu 28  3, 2,  VABCD A ' B 'C ' D '  A ' B.S A ' B 'C ' D '   A ' B ', A ' D '   3,  2,  VABCD A ' B 'C ' D '  A ' B.S A ' B 'C ' D '   A ' B ', A ' D '  (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  6, AD  , AC  mặt phẳng  AAC C  vng góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng  AAC C  ,  AABB  tạo với góc  thỏa mãn tan   ABCD ABCD bằng? A V  B V  12 Trang 26 C V  10 Lời giải Thể tích khối lăng trụ D V  Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2022 Gọi H hình chiếu B lên  ACCA  , BH   ACCA  AC  AB  BC  ; BH  AB.BC = AC  ; HC  BC  BH  ; AH  AC  HC  Kẻ HK  AA,  K  AA  , AA  BH BH   ACCA  nên AA  BK  ABBA ; ACCA  BKH ; BKH vuông H 2 BH  KH  ; AK  AH  AK    KH KH Gọi M trung điểm AA Tam giác ACA cân C ' ,  AC  AC  AC  3 tan BKH   CM  AA  KH / / CM ACM ∽ AHK  AM  AC.KH AK AC 2   AA  ; CM  AH AH SACC ' A '  CM AA  d  A; AC  AC   d  A; AC   VABCD ABCD  d  A;AC  SABCD = Câu 29  (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC  a Góc mặt phẳng  ABC  mặt phẳng  BCC B  60 Tính thể tích V khối đa diện ABCAC A a3 B 3a 3 C a3 D a3 Lời giải Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang 27 Khối đa diện ABCAC hình chóp B ACCA có AB   ACC A  Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC  a ta suy AB  AC  a Gọi M trung điểm BC , suy AM  BC AM  a  AM  BC Ta có   AM   BCC B   AM  BC (1)  AM  BB Gọi H hình chiếu vng góc M lên BC , suy MH  BC (2) Từ (1) (2) ta suy BC   AMH  Từ suy góc mặt phẳng  ABC  mặt phẳng  BCC B góc AH MH Mà tam giác AMH vuông H nên  AHM  60  MH  AM cot 60  a a  2 a MH   Tam giác BBC đồng dạng với tam giác MHC nên suy sin HCM  MC a   tan MCH  1  sin MCH  BB  BC.tan MCH  a  1   tan MCH  2 a 1  VABCAC  VB ACCA  BA AC AA  a 3.a 3.a  a 3 3 Trang 28 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999