Chuyên đề toán ôn thi tuyển sinh quốc gia (21)

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2022 TỈ SỐ THỂ TÍCH Chuyên đề 13 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcò  Vmíi B Cắt đáy Vcị Giao cị IA   Vmíi Giao míi IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao khơng đổi) S Vcị  đÊy Vmíi SđÊy míi - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cơng thức tính diện tích, ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Cơng thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Công thức áp dụng cho hình chóp tam giác, nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt Nếu  A1 B1C1 D1   ABCD  VS A1B1C1D1 SA1 SB1 SC1 SD1  k3     k SA SB SC SD VS ABCD Kết trường hợp đáy n − giác Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V thể tích khối lăng trụ, V  thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 5  V V   Ví dụ: V A ' B ' BC  V 2V ; VA ' B ' ABC  3 B Mặt phẳng cắt cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 V thể tích phần trên, phần lăng trụ Giả sử AM CN BP  m,  n, p AA ' CC ' BB ' mn p V Khi đó: V2  Khi M  A ', N  C AM CN  1, 0 AA ' CC ' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V thể tích khối hộp, V  thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V  (hai đường chéo hai mặt phẳng song song)  V  (trường hợp lại)  V V V V , V A'C ' D' D  B Mặt phẳng cắt cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM   x xy  DD ' V   V2  BP  y  BB ' Ví dụ: VA ' C ' BD  Dạng Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P trung điểm SA, SB, SC Tỉ số thể tích Trang VS ABC VS MNP Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 A 12 Ta có Câu C Lời giải B D VS ABC SA SB SC   2.2.2  , suy đáp án C VS MNP SM SN SP (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K trung điểm cạnh MN ; MP ; MQ Tỉ số thể tích A B VMIJK VMNPQ Lời giải C D Chọn D Ta có: Câu VM IJK VM NPQ MI MJ MK MN MP MQ 1 2 (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A , B , C  , D theo thứ tự trung điểm SA , SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.ABCD S.ABCD A 16 B C D Lời giải Chọn C Ta có Và VS.BDC  SB SD SC  V    S BDC   VS.BDC VS ABCD 16 SB SD SC Suy Câu VS ABD SA SB SD V  S ABD    VS ABD VS ABCD 16 SA SB SD VS ABD VS BDC  V 1 1      S ABC D  VS ABCD VS ABCD 16 16 VS ABCD Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm SA , SB , SC Tính tỉ số thể tích khối chóp S.MNP S ABC A B C 16 D Lời giải Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang Chọn B Ta có Câu VS MNP SM SN SP     VS ABC SA SB SC (SGD Hưng Yên 2019) Cho khối chóp S ABC tích V Gọi B, C trung điểm AB, AC Tính theo V thể tích khối chóp S ABC A V V 12 Lời giải V B C D V Chọn D Ta có tỷ số thể tích Câu (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S.ABCD , gọi I , J , K , H trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết thể tích khối chóp S.IJKH A 16 B C D Lời giải Chọn B Ta có: VS ABC VS IJK VS ACD VS IKH SA SB SC SI SJ SK SA SC SD SI SK SH Do đó: VS ABCD Câu VA.SBC  AB AC  1 1    Do VA.SBC   VA.SBC hay VS ABC   V VA.SBC AB AC 2 4 8VS IJKH VS ACD VS ABC 8VS IJK 8VS IKH Cho hình chóp S ABC , tia SA , SB , SC lấy điểm A ' , B ' , C ' Gọi V1 , V2 thể tích khối chóp S ABC S A ' B ' C ' Khẳng định sau đúng? A V1 V SA SB ' SC SB SC B   V2 SA ' SB SC ' V2 SB ' SC ' C V1 SA SB  V2 SA ' SB ' D V1 SA SB SC  V2 SA ' SB ' SC ' Lời giải Chọn D Trang Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2022 Theo cơng thức tỉ số thể tích ta có Câu V1 SA SB SC  V2 SA ' SB ' SC ' (Gia Lai 2019) Cho khối chóp SABC tích 5a3 Trên cạnh SB , SC lấy điểm M N cho SM 3MB , SN NC (tham khảo hình vẽ) Tính thể tích V khối chóp AMNCB 3 3 a a A V B V C V a3 D V 2a3 Lời giải Chọn D Gọi V1 thể tích khối chóp SAMN Vo thể tích khối chóp SABC Theo cơng thức tỷ lệ thể tích ta có: V1 Vo V thể tích khối chóp AMNCB ta có V Vậy V Câu V0 5a SM SN SB SC V1 V0 2a Nếu hình chóp tứ giác có chiều cao cạnh đáy tăng lên lần thể tích tăng lên lần? A lần B lần C lần D lần Lời giải Chọn D h a Gọi h , a chiều cao cạnh đáy hình chóp tứ giác Thể tích khối chóp tứ giác V  a h Khi tăng chiều cao cạnh đáy lên lần ta khối chóp tứ giác tích 1 V    2a   2h    a h  8V 3 Vậy thể tích khối chóp tăng lên lần Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang Câu 10 Trên ba cạnh OA, OB, OC khối chóp O ABC lấy điểm A, B, C  cho 2OA  OA, 4OB  OB 3OC  OC Tỉ số thể tích hai khối chóp O ABC  O ABC A 12 B 24 C 32 D 16 Lời giải Chọn B VO A ' BC  OA OB OC  1 1    VO ABC OA OB OC 24 Câu 11 Cho khối chóp SAB.C , M trung điểm SA Tỉ số thể tích A B C VM ABC VS ABC D Lời giải Chọn B Ta có Câu 12 VS MBC SM VM ABC     VS ABC SA VS ABC (THPT Hoa Lư A - 2018) Cho khối tứ diện ABCD tích V điểm E cạnh AB cho AE  3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V V V V V A B C D Lời giải A E B D C VB ECD BE AC AD 1    VB.ECD  VE BCD  V VA.BCD BA AC AD 4 Câu 13 Trang (Chuyên Vinh - 2018) Cho khối chóp S ABCD tích V Các điểm A , B , C  tương ứng trung điểm cạnh SA , SB , SC Thể tích khối chóp S ABC V V V V A B C D 16 Lời giải Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 V SA SB SC  V     VS ABC   Ta có S ABC   VS ABC SA SB SC 8 Câu 14 (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Trên cạnh AB , AC lần a 2a lượt lấy điểm B ', C ' cho AB '  , AC '  Tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D khối tứ diện ABCD 1 1 A B C D Lời giải Ta có: VAB 'C ' D AB ' AC '   VABCD AB AC A B' C' B C D Dạng Tỉ số khối lăng trụ Câu (Sở Nam Định - 2019) Cho khối lăng trụ ABC.ABC tích V Tính thể tích khối đa diện BAACC V V 3V 2V A B C D 4 Lời giải Chọn B Mặt phẳng  BAC   chia khối lăng trụ ABC.ABC thành hai khối: B.AACC B.ABC  VB AACC  VABC ABC  VB ABC Khối chóp B.ABC khối lăng trụ có chung đáy chung chiều cao  VB ABC   V 2V  VBAAC C  V  V  3 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang Câu (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho lăng trụ ABC ABC , M trung điểm CC Mặt phẳng  ABM  chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V1 thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C V2 thể tích khối đa diện cịn lại Tính tỉ số A B V1 V2 Lời giải C D V1 thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C tức V1  VM ABC  S ABC MC V2 thể tích khối đa diện cịn lại  V2  VABC ABC  V1  S ABC CC   S ABC CC   S ABC CC  6 Khi ta có tỉ số 1 S ABC MC S ABC CC  V1  6  5 V2 S ABC CC  S ABC CC  6 Câu Khối lăng trụ ABC ABC tích Mặt phẳng  ABC   chia khối lăng trụ thành khối chóp tam giác khối chóp tứ giác tích A B C D Lời giải Chọn A +) Thể tích khôi lăng trụ là: VABC ABC   d  B,  ABC    S ABC   +) Thể tích khối chóp tam giác B.ABC là: 1 VB ABC   d  B,  ABC    S ABC  VABC ABC   3 Vậy thể tích khối chóp tứ giác B ACCA là: VB ACCA  VABC ABC  VB ABC    Trang Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Câu Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC  tích V Gọi M trung điểm cạnh CC  Mặt phẳng  MAB  chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số k  Tìm k ? A B Lời giải C D Chọn C Ta có V  d  C ,  ABC    S ABC 1 Khi VM ABC  d  M ,  ABC   S ABC  d  C ,  ABC    S ABC  V  VABM ABC   V 6 V Vậy k  M ABC  VABM ABC  Câu (THPT Thăng Long 2019) Một khối lăng trụ tứ giác tích Nếu gấp đôi cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao khối lăng trụ hai lần khối lăng trụ tích là: A B C 16 D Lời giải Chọn A Giả sử khối lăng trụ tứ giác có độ dài cạnh đáy a chiều cao h Khi thể tích khối B.h a2 h Nếu gấp đơi cạnh đáy diện tích đáy B ' 4a Giảm chiều cao hai lần nên chiều cao h h 2a h h ' Vì thể tích khối lăng trụ là: V B '.h ' 4a 2 lăng trụ tứ giác tính cơng thức V Câu Biết khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' tích V Nếu tăng cạnh hình hộp lên gấp hai lần thể tích khối hộp là: A 8V B 4V C 2V D 16V Lời giải Chọn A Ta có tăng cạnh khối hộp lên hai lần ta khối hộp đồng dạng với khối hộp cũ theo tỉ số Do thể tích khối hộp V  8V Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có M trung điểm AA Tỉ số thể tích A B C 12 Lời giải Chọn A Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 D A' VM ABC VABC ABC C' B' Trang Ta có: VABC ABC   AA.S ABC 1 1 AM S ABC  AA.S ABC  VABC ABC  3 V  M ABC  VABC ABC  VM ABC  Câu (HKI-NK HCM-2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC tích V Gọi M trung điểm cạnh AA Khi thể tích khối chóp M BCCB V 2V V V A B C D 3 Lời giải Chọn B Vì AA //  BBC C  nên d  M ,  BBC C    d  A,  BBC C   suy VM BBCC  VA.BBCC Mà VA.BBC C  VABC ABC  VAABC  V  V  V 3 Vậy VM BBC C  V Câu (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho lăng trụ ABC ABC Biết diện tích mặt bên  ABBA 15, khoảng cách từ điểm C đến  ABBA Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC A 30 B 45 C 60 Lời giải D 90 Chọn B 1 Ta có VC ABBA  d  C ;  ABBA   S ABBA  6.15  30 3 Mà VC ABBA  VABC ABC   VABC ABC   VC ABBA  45 Câu 10 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho khối lăng trụ ABC ABC tích V Tính thể tích khối đa diện ABCBC Trang 10 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 A V B V 3V Lời giải C D 2V Chọn D Gọi chiều cao lăng trụ h , S ABC  S ABC  S Khi V  S.h 1 Ta có VA ABC   S h  V  VABCBC   V 3 Câu 11 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có I giao điểm AC BD Gọi V1 V2 thể tích khối ABCD A ' B ' C ' D ' I A ' B ' C ' Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 C V1 V2 V1  V2 D V1  V2 Lời giải Chọn A C B I A D B' C' A' D' Ta có: V1  AA '.S A ' B 'C ' D ' V 1 1 V2  d  I ;  A ' B ' C '  S A ' B 'C '  d  A;  A ' B ' C '   S A ' B 'C 'D'  AA '.S A ' B 'C ' D '  V1   3 6 V2 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa 247 Thầy DungMath 0973500999 Trang 11