Chương 3 động học lưu chất (3)

Microsoft Word CO LUU CHAT doc TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG TRÌNH Giáo trình môn Cơ Lưu Chất GVC MSc Đặng Quý CHƯƠNG III ĐỘNG HỌC LƯU CHẤT 3 1 Khái quát chung Động học và động lực học lư[.]

KHOA KỸ THUẬT CƠNG TRÌNH TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG CHƯƠNG III ĐỘNG HỌC LƯU CHẤT 3.1 Khái quát chung Động học động lực học lưu chất nghiên cứu quy luật chuyển động lưu chất, lực tác dụng môi trường lưu chất quy luật tương tác lực môi trường lưu chất chuyển động với vật rắn Lưu chất môi trường liên tục vô số phần tử lưu chất tạo nên, đại lượng đặc trưng cho phần tử yếu tố chuyển động vận tốc u, áp suất thủy động p, khối lượng riêng ρ…đều hàm liên tục tọa độ không gian thời gian: u = u(x,y,z,t) p = p(x,y,z,t) ρ = ρ(x,y,z,t) Trong lưu chất lý tưởng áp suất thủy động hướng vào mặt tác dụng theo phương pháp tuyến; lưu chất thực áp suất thủy động hướng vào mặt tác dụng không hướng theo pháp tuyến, tổng hợp thành phần ứng suất pháp tuyến thành phần ứng suất tiếp tuyến lực nhớt gây Vận tốc phần tử lưu chất đo vị trí định dòng lưu chất thời điểm định gọi vận tốc điểm tức thời, ký hiệu u Trong dòng chảy rối vận tốc điểm tức thời thay đổi hướng giá trị, người ta thường thay giá trị trung bình thời gian định, gọi vận tốc điểm trung bình thời gian ký hiệu u (hoặc ký hiệu u) Trong kỹ thuật người ta hay dùng khái niệm vận tốc trung bình tồn dịng chảy qua mặt cắt ngang gọi vận tốc trung bình ký hiệu v Có hai phương pháp nghiên cứu chuyển động lưu chất phương pháp Euler phương pháp Lagrange Phương pháp Lagarange khảo sát chuyển động phần tử lưu chất riêng biệt phương pháp Euler nghiên cứu vận tốc phần tử lưu chất nhiều điểm dòng chảy thời điểm khác Trong thực tế phương pháp Euler tiện phương pháp Lagrange nên dùng nhiều 3.2 Một số khái niệm đặc trưng thủy lực dòng lưu chất 3.2.1 Phân loại dịng chảy Giáo trình mơn: Cơ Lưu Chất GVC.MSc Đặng Quý TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CƠNG TRÌNH Dịng chảy mà đặc trưng (vận tốc, áp suất…) phụ thuộc vào thời  gian dịng chảy khơng dừng (khơng ổn định) tức ≠ Dòng chảy mà t đặc trưng khơng phụ thuộc vào thời gian dòng chảy dừng (ổn định) tức  = t Thường gặp cơng nghiệp dịng chảy thay đổi theo thời gian giá trị trung bình thời gian đủ dài thông số đặc trưng cho dịng chảy lại coi khơng đổi, dịng gọi dịng dừng trung bình thời gian Hình 3-1 Ở dịng chảy dừng, phân bố vận tốc mặt cắt ngang không đổi dọc theo dịng chảy ta có dịng chảy (hình 3-1a) Ngược lại ta có dịng chảy khơng Dịng chảy khơng đổi dần (hình 3-1b) đổi đột ngột (hình 3-1c) Dịng chảy khơng có mặt thống dịng chảy có áp (hình 3-2a) Dịng chảy có mặt thống dịng chảy khơng áp (hình 3-2b, 3-2c) Hình 3-2  Nếu chuyển động lưu chất mà vectơ vận tốc u biểu diễn   dạng u = grad, tức : ux =  x uy =  y uz =  z (3-1) chuyển động gọi chuyển động có thế, φ gọi hàm vận tốc Giáo trình mơn: Cơ Lưu Chất GVC.MSc Đặng Q KHOA KỸ THUẬT CƠNG TRÌNH TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG Nếu phần tử lưu chất vừa chuyển động tịnh tiến, vừa quay quanh trục tức thời qua thân chuyển động xốy, :   Rot u = ≠ (3-2) Trong ω véc tơ quay Còn chuyển động lưu chất mà  Rot = 0, chuyển động chuyển động khơng xốy     Người ta chứng minh Rot u = 0, suy u = gradφ, ngược lại, tức chuyển động khơng xốy chuyển động Trong tốn học giải tích người ta đưa vào toán tử Rot, u véc tơ vận tốc với hình chiếu ux, uy, uz :  i    Rot u =   dx u x  u = z  y –  j  k  dy uy  dz uz u y z            u u z i + x – x  z        u y u x j + –  x y       k (3-3) Từ (3-2) (3-3), ta có thành phần véc tơ quay: u y  u ωx =  z –  y z ωy =  u x u z  –  z x      ωz =      (3-4)  u y u x  –  x y      có : ω = x   y   z (3-5) Theo đặc tính hình học tổ chức dịng có dịng chiều, dòng hai chiều (dòng phẳng), dòng ba chiều (dòng khơng gian) Trong tốn dịng ba chiều phức tạp : ta phải khảo sát điều kiện vật lý động học chất điểm tiết diện chảy dòng Còn dòng chiều đơn giản hơn, điều kiện qua tiết diện dòng coi Về mặt tốn học Giáo trình mơn: Cơ Lưu Chất GVC.MSc Đặng Q KHOA KỸ THUẬT CƠNG TRÌNH TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG túy giải dịng chiều dễ dàng cho ta kết xác Do đó, thực tế người ta ln cố gắng đưa tốn mơ hình chiều Dịng chảy mà phần tử lưu chất chuyển động thành tầng, lớp song song chảy tầng, phần tử lưu chất chuyển động hỗn loạn dòng chảy rối Chỉ tiêu để phân biệt dòng chảy tầng hay rối nghiên cứu kỹ chương sau 3.2.2 Một số khái niệm a Đường dòng đường mà tiếp tuyến điểm trùng với véc tơ vận  tốc phần tử lưu chất điểm Từ phương trình u ds = u.ds.sin0 = 0, tức : j k    i  u ds =  ux uy uz  dx dy dz  =0   phương trình vi phân đường dịng có dạng sau : dx dy dz = = ux uy uz (3-6) b Quỹ đạo đường biểu diễn vị trí liên tiếp phần tử lưu chất chuyển động Trong chuyển động dừng đường dòng quỹ đạo trùng c Ống dịng: tồn đường dịng tựa lên vịng kín vơ nhỏ tạo nên ống dòng d Dòng nguyên tố dòng chất lỏng chảy đầy ống dòng Dòng chất lỏng tập hợp vơ số dịng ngun tố 3.2.3 Một số đặc trưng thủy lực dòng chảy a Mặt cắt ướt (dS, S) mặt cắt thẳng góc với tất đường dịng (hình 3-3) Hình 3-3 b Chu vi ướt (χ) đường tiếp xúc mặt cắt ướt thành rắn giới hạn dòng chảy Giáo trình mơn: Cơ Lưu Chất GVC.MSc Đặng Q TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CƠNG TRÌNH c Bán kính thủy lực (Rh) tỷ số diện tích mặt cắt ướt với chu vi ướt: Rh = S/χ d Lưu lượng lượng chất lỏng chảy qua mặt cắt ướt đơn vị thời gian Lưu lượng thể tích (m3/s) : dQ, Q Lưu lượng trọng lượng (N/s) : dG, G (G = γQ) Lưu lượng khối lượng (kg/s) : dM, M (M = ρQ) Lưu lượng thể tích tính theo cơng thức sau : dQ = udS Q =  dQ   udS S S e Vận tốc trung bình mặt cắt ướt v vận tốc giả định không đổi mà phần tử lưu chất mặt cắt ướt phải chuyển động cho lưu lượng tính theo vận tốc trung bình lưu lượng tính theo phân bố vận tốc thực dịng chảy (hình 3-4) Q =  dQ   udS   vdS  vS S S S Do : v= Q S (3-7) Hình 3-4 3.2.4 Các dạng chuyển động phần tử chất lỏng Sự chuyển động phần tử chất rắn biết phân tích thành chuyển động tịnh tiến chuyển động quay Đối với phần tử lưu chất, chuyển động phức tạp chỗ phần tử lưu chất biến dạng Vì vậy, chuyển động phần tử lưu chất phân tích thành ba dạng : chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay chuyển động biến dạng (gồm biến dạng dài biến dạng góc), nội dung định luật Helmholtz Đối với lưu chất khơng nén q trình chuyển động biến dạng phân tố giữ nguyên thể tích Ngược lại lưu chất nén trình chuyển động biến dạng phân tố khơng giữ ngun thể tích 3.3 Phương trình liên tục môi trường lưu chất chuyển động Giả sử mơi trường lưu chất chuyển động khơng có điểm nguồn điểm hút, lưu chất không bị chuyển hóa sang dạng khác bốc hơi, cháy, phản ứng hóa học… từ định luật tổng quát bảo toàn khối lượng vật chất ta suy dạng phương trình liên tục Giáo trình môn: Cơ Lưu Chất GVC.MSc Đặng Quý KHOA KỸ THUẬT CƠNG TRÌNH TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG 3.3.1 Phương trình vi phân liên tục dạng tổng quát Trước tiên ta viết phương trình vi phân liên tục dạng tổng quát cho lưu chất nén với chuyển động không dừng không gian ba chiều Trong môi trường lưu chất chuyển động ta xét phân tố hình hộp vơ nhỏ (hình 3-5) viết điều kiện bảo tồn khối lượng theo thời gian dịng lưu chất chảy qua hình hộp dm d(ρΔV) = =0 dt dt (3-8) Trong : ΔV = dxdydz : thể tích ρ : khối lượng riêng chất lỏng ρ = ρ(x,y,z,t) uz + z u z dz z uy ux + ux u x dx x dz dy dx x y uy + u y y dy uz Hình 3-5 Lấy vi phân biểu thức (3-8) với ý ρ ΔV biến số ta có : dρ dΔV + =0 (3-9) ρ dt ΔV dt Theo hướng x: Sau thời gian dt thể tích lưu chất vào hình hộp uzdydzdt, cịn thể   u x tích lưu chất  ux + dx  dydzdt  x  Vậy sau thời gian dt thể tích lưu chất thay đổi theo hướng x lượng tuyệt đối : Giáo trình mơn: Cơ Lưu Chất GVC.MSc Đặng Q KHOA KỸ THUẬT CƠNG TRÌNH TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG  dΔVx =  ux +   u x u x dx  dydzdt – ux dydzdt = dxdydzdt x x  Tương tự theo hướng y z : dΔVy = u y dxdydzdt y u z dΔVz = dxdydzdt z Sự thay đổi tồn phần thể tích lưu chất sau thời gian dt :  u x dΔV =  + u y + u z   dxdydzdt z   x y Do : u y u x u dΔV = + + z ΔV dt x z y Thay vào phương trình (3-9) ta có : u y u x u dρ + + + z =0 ρ dt x y z (3-10) Đạo hàm toàn phần khối lượng riêng : p dz p dρ p dx p dy = + + + dt x dt y dt dt z t Mặt khác ta có : dx dy dz = ux ; =uy ; = uz dt dt dt Thay vào (3-10) ta có phương trình liên tục dạng vi phân :  ( u y )   ( u x )  ( u z ) + + + =0 t x z y Viết gọn lại theo ký hiệu toán học :   + div (ρ u ) = t Giáo trình mơn: Cơ Lưu Chất (3-11) GVC.MSc Đặng Q KHOA KỸ THUẬT CƠNG TRÌNH TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG   Đối với chuyển động dừng   t  =0  chất lỏng không nén (ρ = const),  phương trình có dạng đơn giản :  u y u x u z div u = + + =0 x y z (3-12) 3.3.2 Phương trình liên tục dịng ngun tố chuyển động dừng ρ2, dS2 u2 ρ1, dS2 u1 Hình 3-6 Đối với chất khí : Từ  u dS dt  1u1 dS1dt dm =0= 2 ,ta có : dt dt 1u1dS1 =  2u dS  dM = const (3-13) γ1u1dS1 = γ2u2dS2  dG = const (3-14) Đối với chất lỏng ρ = const nên ta có : u1dS1 = u2dS2dQ = const (3-15) 3.3.3 Phương trình liên tục tồn dịng chuyển động dừng Đối với chất khí :   u dS 1 S1    2u2 dS2 S2 M1 = M2 = const ρ1v1S1 = ρ2v2S2 = const (3-16) G1 = G2 = const γ1v1S1 = γ2v2S2 = const Đối với chất lỏng : (3-17)  u dS   u dS S1 2 S2 Q1 = Q2 = const Giáo trình môn: Cơ Lưu Chất GVC.MSc Đặng Quý TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG KHOA KỸ THUẬT CƠNG TRÌNH v1S1 = v2S2 = const (3-18) Từ (3-18) ta thấy dòng chất lỏng dừng, lưu lượng qua mặt cắt ướt vận tốc trung bình mặt cắt ướt tỉ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ướt BÀI TẬP Hai dịng lưu chất khơng nén được, chuyển động dừng có vận tốc ux uy biểu thị phương trình : - Dịng thứ ux = 4xy + y2 + 2x uy = 6xy + 3x - Dòng thứ hai : ux = 2x2 + y2 uy = - 4xy Dịng thực được, dịng khơng ? Cho dịng lưu chất chuyển động dừng, khơng nén được, có vận tốc ux uy biểu thị phương trình : ux = ax + bt uy = - ay + bt Chứng minh tồn chuyển động Tìm phương trình họ đường dịng Mỗi phần tử lưu chất chuyển động dừng có vận tốc xác định thành phần : ux = 2xy uy = 2yz uz = 2zx Chuyển động có xốy hay khơng xốy ? Giáo trình mơn: Cơ Lưu Chất GVC.MSc Đặng Quý