Chương 7 động lực học cơ hệ

Slide 1 Ch­¬ng 7 §éng lùc häc c¬ hÖ C¸C KH¸I NIÖM 1 1 Di chuyÓn kh¶ dÜ vµ sè bËc tù do cña c¬ hÖ ChuyÓn ®éng cña c¬ hÖ th­êng bÞ r»ng buéc bëi nh÷ng ®iÒu kiÖn h×nh häc vµ ®éng häc nhÊt ®Þnh tËp hîp c¸[.]

Chương 7: Động lực học hệ 1.CáC KHáI NIệM 1.1 Di chuyển số bậc tự hệ - Chuyển động hệ thường bị buộc điều kiện hình học động học định tập hợp điều kiện gọi liên kết Tập hợp di chuyển vô bé bảo toàn liên kết hệ gọi di chun kh¶ dÜ cđa hƯ  VÝ dơ: Sè di chuyển điểm M r1 kr2    ri k1r1  k 2r2 Di chuyển độc lập r1 k r2    ri k1 r1  k 2 r2 Sè bËc tù cđa c¬ hƯ b»ng sè di chuyển độc lập 1.2 Toạ độ suy rộng hệ - Tập hợp thông số đủ để xác định vị trí hệ hệ quy chiếu xác định gọi toạ độ suy réng cđa c¬ hƯ ký hiƯu: q1, q2, q3, qm - Toạ độ đề chất điểm biểu diễn qua toạ độ suy rộng - Nếu toạ độ suy rộng độc lập toạ độ suy rộng đủ (q1, q2, qn) - Nếu không ta có toạ độ suy rộng dư (qn+1, qn+2, qm), m>n - Số toạ độ suy rộng dưbằng số phương trình liên kết Ví dụ: - Khảo sát hai liên kết lề loại với với giá nhưhình vẽ: {, } - Số toạ độ suy rộng đủ {xA, yA, xB, yB} m-n = Phương trình liên kết: x A2 y A2 OA2 xB  x A   y B  y A   AB 2 Trong trường hợp phương trình liên kết không chứa vận tốc suy rộng liên kết hình học Nếu không chứa thời gian liên kết dừng Trong phạm vi giáo trình ta khảo sát hệ chịu liên kết hình học dừng 1.3 Các đặc trưng hình học khối vật rắn 1.3.1 Khối tâm vật rắn - Vị trí khối tâm vật rắn xác định nhưsau: lim N    mk rk  rc   r dm N M v lim N    mk k - Chiếu phương trình lên trục toạ độ toạ độ (xc, yc, zc) khối tâm 1.3.2 Mô men quán tính vật rắn - Mô men quán tính vật rắn trục z ký hiệu Iz, đại lượng vô hướng xác định theo công N thức: 2 I z lim N    mk  k  dm k1 v - Trong trườngmR hợp2vật thể hình trụ,2 tròn vành khăn: I z z I mR 1.4 Các lực tác dụng lên hệ - Lực tác dụng lên chất điểm hệ thay đổi theo thời gian, phụ thuộc vào vị trí vận tốc chất điểm chịu lực mà phụ thuộc vào vị trí vận tốc tất chất điểm thuộc hệ Fk lên chất điểm Mk - Gọi lựctác dụng Fk Fk t , r1 , r2 , , rn , v1 , v2 , , Lực tác dụng lên hệ gồm: từ bên tác dụng lên chất điểm - Ngoại lực: Lực F Mk hệ ckký hiƯu  - Néi lùc: Lùc c¸c chất điểm thuộc hệ tác dụng Fik lẫn ký hiệu Rk , lực liên kết tác dụng lên - Lực liên kết: Ký hiệu chất điểm thuộc hệ - Lực hoạt động lực không phụ thuộc vào loại lực liên kết 1.5 Lực suy réng   Fkxtrong  Fk cña rk  xk  Fkydi ykchun  Fkzz k  kh¶ dÜ  Ak c«ng 1.5.1 BiĨu thøc lùc    Ak  Fkrk  Fkxxk  Fkyyk  Fkzzk  - Giả sử số toạ độ suy rộng đủ hệ là:q1, q2, q3, qn Vì x hàm số cđa q nªn: nk ni n xk xk  qi k 1 qi yk yk  qi k 1 qi - Thay vµo biĨu thøc cđa  Ak ta cã: n  n  xk yk z k  Fky  Fkz    Fkx  Ak  qi qi qi i 1  k 1  z k z k  qi k 1 qi n   qi   Qiqi   i 1  1.5.2 Lùc suy réng n n    xk yk z k rk   Q  F  F F F - Đại lượng: i ky kz  kx q   k q  q  q k 1  k 1 i i i  i - Thø nguyªn cđa lùc suy réng phơ thuộc vào thứ nguyên toạ độ suy rộng (lực mômen) 1.6 Liên kết lý tưởng Là liên kết mà tổng công lực liên kết di chuyển 0, thực tế bỏ qua ma sát tính đàn hồi liên kết sau đây: - Hai vật rắn tựa vào (bỏ qua ma sát); Dây mềm không dÃn vắt qua ròng rọc (ma sát trục, trượt); Hai vật lăn không trượt với r Dễ dàng thấy: QiR  Rk k 0 qi Nguyªn lý di chun 2.1 Nguyên lý di chuyển - Đối với hệ chịu liên kết hình học, dừng, lý tư ởng điều kiện cần đủ để hệ cân vị trí xét tổng công nguyên tố lực hoạt động di chuyển hệ từ vị trí xét triệt tiêu Ak Fkrk - lực hoạt động (hợp lực) tác dụng lên chất điểm Mk F - k di chuyển điểm Mk rk Điều kiện cân hệ toạ độ suy rộng 2.2 đủ Từ nguyên lý di chuyển khả dÜ ta cã: n    Ak  Fkrk Qiqi i - Do toạ độ suy rộng đủ độc lập với nên qi cịng ®éc lËp ®èi víi VËy: Qi = (i = 1, 2, n) Định lý: Điều kiện cần đủ để hệ chịu liên kết hình học, dừng lý tưởng cân vị trí lực suy rộng lực hoạt động ứng với toạ độ suy rộng đủ phải đồng thời rk * triệt tiêu Vk * di chuyển khả - Nếu đặt: dt nguyên lý k k dÜ cã thĨ viÕt d­íi d¹ng:   F v - Phương trình gọi phương trình công suất DCKD 2.3 Ví dụ Nguyên lý Đa lăm be 3.1 Nguyên lý Đa lăm be chất điểm - Các lực thực đặt vào chất điểm lực quán tính chất điểm tạo thành hệ lực cân - Theo đinh luật ĐLH (Niu tơn 2): - Biến đổi ta cã: qt   F  m a     F   ma  F  F 3.2 Nguyên lý Đa lăm be hệ - Khảo sát chất điểm thứ k thuộc c¬ e i hƯ: k k k k k qt      F   ma  F  F  F 0 e1 ®Õn  n (hƯ lùc ph¼ng) ta cã: - LÊy tỉng hai vÕ tõ n F k 1 k  Rqt 0 e  mo Fk  M o qt 0 n   3.3 Thu gän hƯ lùc qu¸n tÝnh 3.3.1 VËt rắn chuyển động tịnh tiến n Rqt   mk ak  Mac k 1 - Hỵp lực quán tính đặt khối tâm C vật 3.3.2 Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định - Thu gän hƯ lùc qu¸n tÝnh vỊ O ta ®­ỵc n    Rqt   mk ak  Mac M o qt k 1 n n  n   mo Fkqt   mo Fkqt  mo  mk ak  I z  n k 1   k 1   k 1  3.3.3 Vật rắn chuyển động song phẳng - Thu gọn hệ lực quán tính khối tâm C ta ®­ỵc   RCqt  Mac 3.4 VÝ dơ M Cqt  I Cz  c 4.§éng lùc häc vËt rắn 4.1 Phương trình vi phân chuyển động vật rắn 4.1.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến - Theo nguyên lý Đa lăm be: N d rc M Mrc  Fk dt k 1 N    Fk  Rqt 0 N k 1 N MyC  Fky MxC  Fkx k 1 4.1.2 Vật rắnk chuyển động quay quanh trục cố ®Þnh   mo Fk  M o qt 0 N    I z  mo Fk N k 1phản lực liên kết - Trongk 1đó lực kể Fk động song phẳng phẳng 4.1.3 Chuyển - Trong hệ toạ ®é ®Ị c¸c: N MxC  Fkx N MyC  Fky  I Cz  mo Fk k 1 - Trong đó: k 1xC yC toạ độ khối tâm C N k 4.2 Phương trình vi phân chuyển động hệ Phư ơng trình Lagrange loại - Khảo sát hệ chịu liên kết hình học lý tưởng có vị trí xác định nhờ n toạ độ suy rộng đủ: q1, q2, q3qn - Theo nguyên lý Đa lăm be:      qt qt qt F1 , F2 FN , R1 , R2 RN , F1 , F2 FN 0 - Do liªn kÕt lý t­ëng nªn lực liên kết triệt tiêu nên điều kiện cân là: F qt Q Q Trong ®ã: i = i 1, 2…n i 0 -Tõ biÓu thức động T hệ theo toạ ®é suy réng vµ vËn tèc suy réng cã thĨ chøng minh:  d T T  Q      dt q i qi  qt i T T q1 , q2 , qn , q , q , q n  QiF Lµ lùc suy rộng lực hoạt động - Thay vào phương trình điều kiện cân d T T  F   Q i    dt q q i i - Đây phương trình Lagrange II mô tả chuyển động hệ - Nếu lực hoạt động gồm lực với hàm lực hoạt động khác không có lực suy rộng Q*i phương trình Lagrange loại II viết dnh­ Tsau: T     dt q i VÝ dô  *    Q i  qi  qi i = 1, 2,…n