Chương 3 động học

CHƯƠNG III: ĐỘNG HỌC I./ Hai phương pháp mô tả chuyển động lưu chất II./ Các khái niệm III./ Phân loại chuyển động IV./ Gia tốc toàn phần phần tử lưu chất V./ Phương trình liên tục VI./ Phân tích chuyển động lưu chất I./ Hai phương pháp mô tả chuyển động lưu chất: 1./ Phương pháp Lagrange: - Chuyển động thể tích lưu chất mô tả vị trí phần tử theo thời gian thể tích: du x  dx  x x x , y , z , t  a  u   x  x dt dt     du y dy     y  y x , y , z , t  u   a    y  y 0 dt dt      dz  du z u  a  z zx , y , z , t   z dt  z dt   - Ưu điểm: mô tả chuyển động cách chi tiết - Khuyết điểm: số lượng phương trình phải giải lớn (3n); mô tả lúc quỹ đạo nhiều phần tử - Khả áp dụng: phòng thí nghiệm I./ Hai phương pháp mô tả chuyển động lưu chất (tt): 2./ Phương pháp Euler: - Chuyển động thể tích lưu chất quan niệm trường vận tốc mô tả hàm vận tốc liên tục theo không gian Trung quốc thời gian: 25 23 21 19 17 15 m na  Gia toác   Quỹ đạo  t ệ Vi u x u x x, y, z , t   u y u y x, y, z , t   u z u z x, y, z , t  T háng V ận tốc trê n bề mặt 13 11 S c ale Ưu điểm: có phương trình 0.5m /s 0.1m /s 0.05m /s 0.01m /s -1 -3 99 Khuyết điểm: không cho thấy rõ cấu trúc chuyển động Khả áp dụng: tính toán 101 103 105 107 109 111 113 115 117 119 121 II./ Các khái niệm: 1./ Đường dòng: • Đường dòng: Là đường cong vạch lchất chuyển động cho vector vận tốc phần tử lưu chất chuyển động tiếp u tuyến với s Có thể thay đổi theo thời gian dx dy dz u   Phương trình u x u y u z 2./ Ống dòng, dòng chảy ° ng dòng bề mặt dạng ống tạo vô số đường dòng qua chu vi khép kín ° Dòng chảy khối lượng lưu chất chuyển động bên ống dòng Ví dụ: mặt đường ống; bề mặt lòng sông với mặt thoáng… ống dòng II./ Các khái niệm (tt): 3./ Mặt cắt ướt, chu vi ướt, bán kính thủy lực - Mặt cắt ướt (A) mặt cắt ngang dòng chảy cho trực giao với đường dòng nằm bên ống dòng - Chu vi ướt (P) phần chu vi mặt cắt nơi dòng chảy tiếp xúc với thành rắn (0) - Bán kính thủy lực (R) R A P A P 4./ Lưu lượng, vận tốc trung bình mặt cắt - Lưu lượng (Q) thể tích lưu chất chuyển động ngang qua mặt cắt ướt đơn vị thời gian - Vận tốc trung bình mặt cắt (V): V Q A dA A u III./ Phân lọai chuyển động: 1./Theo ảnh hưởng độ nhớt: ° Chuyển động lưu chất lý tưởng ( = 0) ° Chuyển động lưu chất thực (  0) 2./Theo ảnh hưởng khối lượng riêng: ° Chuyển động lưu chất không nén ( = const) ° Chuyển động lưu chất nén ( = var) 3./Theo ảnh hưởng thời gian: ° Chuyển động lưu chất ổn định ( ° Chuyển động lưu chất không ổn định (  t 0 ) 4./Theo không gian chuyển động: )  t 0 ° Chuyển động lưu chất chiều (u  0; v = w = 0) ° Chuyển động lưu chất chiều (u  0; v  0; w= 0) ° Chuyển động lưu chất chieàu (u  0; v  0; w  0) III./ Phân lọai chuyển động (tt): 5./Theo trạng thái chảy: ° Chuyển động tầng: trạng thái chảy mà phần tử lưu chất chuyển động trượt thành từ tầng, lớp, không xáo trộn lẫn ° Chuyển động rối: trạng thái chảy mà phần tử lưu chất chuyển động hỗn loạn, lớp lưu chất xáo trộn vào ° Thí nghiệm Mực Reynolds màu Tia mực IV Gia tốc toàn phần phần tử lưu chất  u - Xét phần tử lưu chất chuyển động  quỹ đạo (dùng u0 biến t t  t  x  x  x Lagrange), gia toác ptử :  0     du u  u0 a   lim dt t  t t0 , x0 , y0 , z0    y  y0  y  z  z0  z s Quỹ đạo Trong biến Euler, vận tốc hàm theo không gian thời gian -> vận tốc u tính theo        u  u  u  u u0 chuỗi Taylor: u u  t  x  y  z t x y z        u  u  x  u  y  u z  Thay vào biểu   a  lim  thức  giới  hạn: t  t x t y t z t       thực  u phép u u tính u giới hạn: a t  ux x  uy y  uz z V Phương trình liên tục 1./ Phương trình liên tục - Định luật bảo toàn khối lượng: tốc độ gia tăng khối lượng hệ vật chất khối lượng chuyển động vào hệ đơn vị thời gian  - p dụng cho lưu chất thể tích dV  V Klượng lưu chất thể tích: u dS  n u u n kiểm soát: un.dS n Klượng lchất cđộng khỏiS thể tích: V   - TheoĐLdV bảo toàn:   u dS    0     u   n t V t S - Đối với lưu chất không nén được, =const:  u x u y u z  divu  0    0   x y z  S V Phương trình liên tục 2./Ptrình liên tục cho dòng chảy ổn định lc không nén - Xét thể tích kiểm soát đoạn dòng chảy hai mcắt 1-1 2-2 Trong trường hợp lưu chất không nén được, chuyển  động ổn un dSđịnh 0 ptrình liên tục dạngSn tích2 phân n  u rút gọn còn: S un=0   n A2  u A1 Chia diện tích bao boïc S = A1 + A2 + Sn un dA  un dA  u n dS 0  A1 A2 Sn Tách tích phân thành tổng tích phân: Hai tích phân đầu lưu Qngang const qua mcaét 1Q1  Q2   cho Q1  Q2 lượng  2-2, tích phân thứ không: VI Phân tích chuyển động lưu chất ° ° ° Xét ptử lưu chất Điểm M0 chọn z làm cực ptử  Giả sử vận u0 tốc u tốc hỏi vận M0 biết, câu z điểmM? y Sử dụng chuỗi Taylor, bỏ qua số hạng vô nhỏ bậc cao, tphần vận tốc ux: u u u ux u0 x  x x  x y  x z x y z ° M0 x  u y u z    y  z  Cộng trừ số2 hạng x  x  vào vế phải biểu thức trên, sau xếp lại thu biểu thức: ux u0 x  M ux  u u   u u  x   x  y  y   x  z  z x  y x   z x   u u   u u    x  y  y   x  z  z  y x   z x  y x ° ° °  u u   u u   k   j  i ; k   j  i   xi xj   xi xj  Thành phần vận tốc ux tính công thức: Đặt: i  ui ; xi z Tương tự: ux u0 x   xx   zy   yz  zy   yz uy u0 y   yy   xz  zx   xz  zx z uz u0 z   zz   yx   xy   yx   xy M0 x Ý nghóa số hạng: + x: Giả sử mặt trái mặt phải ptử chuyển động theo trục x với vận tốc u0x ux tương ứng điểm M0 M Do có chênh lệch vận tốc, sau đơn vị thời gian, ptử dài đoạn là: ux-u0x u  u x x ° M 0x  Do tốc độ giãn dài tương đối ptử là: ux-u0x x ° u u u Khi x 0, ta coù: x x  x  x x x y ux-u0x u x M  i - tốc độ giãn dài tương đối ptử theo 1 trục xi y u0x + z z : ° M0 Giả sử mặt mặt ptử chỉx chuyển động theo trục x với vận tốc u0x ux tương ứng điểm M0 M Do có chênh lệch vận tốc, y sau đơn vị tgian, ptử bị đổ nghiêng với góc: M 1  ° ux  u0 x u  x y y y u0y 2 uy Tương tự, có chênh lệch thành phần vận tốc phương y mặt trái mặt phải mà M ptử bị đổ nghiêng với góc: x 2  uy  u0 y y  uy x x uy-u0y x ° ° Nếu chuyển động đồng thời xuất hiện, ptử bị thay đổi hình: Trong đơn vị thời gian ptử bị biến dạng góc:  u  y 2  1    y  ux   z 2  x M’ y  M  k - tốc độ bdạng góc ptử quanh trục1 xk ° y Trong đơn vị thời gian ptử quay góc:  u  2  1    y  u x   z 2  x y  M0  k - tốc độ quay ptử quanh trục xk ° ° (2- 1)/2 2 x Định lý Hemholm: Cđộng ptử lưu chất bao gồm cđộng vật rắn (theo cực quay quanh cực) cđộng biến dạng (bdạng dài bdạng góc)  :1 tốc quay   Vector vận  i   j   k  u  rotu x y z 2 x Ví dụ 1: Cho vector vận tốc gồm thành phần: ux = x2 + y2 + z2 uy = xy + yz + z2 ux = -3xz + z2/2 + Tìm vector vận tốc quay? Giải   u z u y    0  y  z    x    y z     u  1  u   y   x  z   2 z  3z   z x     u y u x   z     y  y     x y         ( y /  z )i  (5 z / 2) j  ( y / 2)k Ví dụ 2: Chuyển động có vector vận tốc: ux = ay + by2 uy = uz =0 Với a, b số a./ Chuyển động có quay không? b./ Xác định a, b để biến dạng góc Giải:  u y u x    z     a  2by  0   x y  chuyển động quay a, b ≠  zy  u y u x    a  2by  0     x y  cặp a, b để biến dạng góc Ví dụ 3: Chất lỏng lý tưởng quay quanh trục thẳng đứng (Oz) Giả sử vận tốc quay phân tố chất lỏng tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ trục quay phương bán kính (u =a/r; a>0 số) a./ Chứng minh chuyển động a  y  ay  ay u  u.cos(u, ox)    x b./ Tìm phương trình u r rcácr 2đường x  ydòng r Giải:u u.cos(u, oy) a  x   ax  ax y y r  r  r x2  y2 u y Suy   ax  a ( x  y )  xax a ( y  x     x x  x  y  (x2  y2 ) ( x  y )2 ra: u x    ay   a( x  y )  yay a( y  x     y y  x  y  (x2  y2 ) ( x  y )2 Ox u y u x  0  rot(u) z 0 x y Vaäy: dx quay dy  ay phẳng ax Chuyển động không mặt  (thế) u x dy utrên dx  dy  dx y 2 2 u u x  y x  y x y xOy  ( x  y ) C Phương trình đường doøng: