Phương trình đường tròn
I. Lý thuyết cơ sở: 1. Phương trình tổng quát: 2 2 2 ( ) ( )x a y b R- + - = trong đó tâm ( ; )a b , bán kính R. 2. Phương trình khai triển: 2 2 2 2 2 2 0 ( 0)x y ax by c a b c+ - - + = + - > Þ tâm ( ; )I a b , 2 2 R a b c= + - . Chú ý: Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kinh R ( ; )d I RÛ D = (∆ tiếp xúc (C)) Û D vuông góc với bán kính tại 1 điểm. II. Các dạng bài tập Dạng 1 : Viết phương trình đường tròn VD1: Viết phương trình đường tròn, biết: a) Tâm (2; 3)I - và qua ( 1;1)A - b) Đường kính AB với (7; 3), (1;7)A B- (cách 2: sử dụng . 0AM B M = uuuur uuur c) Tâm (3;4)I và tiếp xúc với đường thẳng : 4 3 15 0x yD - + = . d) Tâm ( 3;2)I - và tiếp xúc trục hoành. VD2: Viết phương trình đường tròn, biết: (2 cách làm: Gs& trung trực) a) qua 2 điểm (2;3), ( 1;1)A B - và có tâm I nằm trên đường thẳng : 3 11 0x yD - - = . b) ngoại tiếp tam giác ABC với (1;3), (5;6), (7;0)A B C . c) qua điểm ( 2;1)A - và tiếp xúc với đường thẳng : 3 2 6x yD - = tại điểm (4;3)B . d) qua 2 điểm (1;2), (3;4)A B và tiếp xúc với đường thẳng : 3 3 0x yD + - = . VD3: Viết phương trình đường tròn, biết: a) qua (2;3)A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 : 3 4 1 0, : 4 3 7 0x y x yD - + = D + - = b) tiếp xúc với 2 đt 1 2 : 3 2 3 0, : 2 3 15 0x y x yD + + = D - + = và có tâm nằm trên : 0d x y- = . c) đường tròn nội tiếp tam giác ABC với : 3 4 6 0AB x y+ - = , : 4 3 1 0AC x y+ - = , : 0BC y = . d) đường tròn nội tiếp tam giác AB C với (2;6), ( 3; 4), (5;0)A B C- - . Bài 1: B-2005 (2;0), (6;4)A B . Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với Ox tại A và khoảng cách từ tâm của (C) tới B bằng 5. Bài 1 : : 7 10 0, : 2 0, (4;2)d x y x y A- + = D + = . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên ∆ và tiếp xúc với d tại A. Bài 2 : 1 2 : 4 0, : 7 4 0, : 4 3 2 0d x y d x y x y+ + = - + = D + - = . Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên ∆ và tiếp xúc với d 1 , d 2 . PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN Bài 3 (B-2009) (C) : 2 2 1 2 4 ( ) , : 0, : 7 0. 5 x y y x y x y- + = D - = D - = Tìm tâm K và bán kính của đường tròn (C 1 ) biết (C 1 ) tiếp xúc với ∆ 1 ; ∆ 2 và ( )K CÎ . Bài 4 : Viết phương trình đường tròn (C) đi qua 2 điểm (1;1), (2;4)M N và tiếp xúc với đường thẳng : 2 9 0.x yD - - = Bài 5 : Cho đường tròn (C) : 2 2 ( 1) ( 2) 4, : 1 0.x y d x y- + - = - - = Viết phương trình đường tròn (T) đối xứng với (C) qua d. Bài 6 : Cho ∆ABC, đường thẳng : 2 5 0, : 2 2 0; :2 9 0AB x y BC x y AC x y+ - = + + = - + = . Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Bài 7 (A-2007) Cho ∆ABC có (0;2), ( 2; 2); (4; 2)A B C- - - . H là chân đường cao kẻ từ B ; M, N là trung điểm AB, AC. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm H, M, N. Dạng 2 : Sự tương giao giữa đường thẳng với đường tròn, đường tròn với đường tròn. A. Lí thuyết 1) Cho đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có tâm I, bán kính R. - ∆ cắt (C) ( ; )d I RÛ D < - ∆ tiếp xúc (C) ( ; )d I RÛ D = - ∆ ∩ (C) ( ; )d I R= ÆÛ D > 2) Cho 2 đường tròn : (C 1 ) tâm I 1 , bán kính R 1 , đường tròn (C 2 ) tâm I 2 , bán kính R 2 . - (C 1 ), (C 2 ) tiếp xúc ngoài 1 2 1 2 I I R RÛ = + - (C 1 ), (C 2 ) tiếp xúc trong 1 2 1 2 | |I I R RÛ = - - (C 1 ), (C 2 ) cắt nhau 1 2 1 2 1 2 | |R R I I R RÛ - < < + B. Bài tập VD1: Biện luận theo m vị trí tương đối của đường thẳng : 2 3 0x my mD - + + = và đường tròn: 2 2 ( ) : 2 2 2 0C x y x y+ + - - = . VD2: Chứng minh đường thẳng d đi qua ( 1;5)M - , có hsg 1 3 k = - và đường tròn 2 2 ( ) : 6 4 8 0C x y x y+ - - + = cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm. VD3: Cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 6 6 0C x y x y+ - - + = và điểm (4;2)M . Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm AB. VD4: Viết phương trình đường thẳng qua (2;3)A và cắt đường tròn 2 2 ( ) :( 1) 9C x y+ + = tại 2 điểm phân biệt ,M N sao cho 6.MN = (dùng khoảng cách từ tâm). VD5: Cho đường tròn 2 2 ( ) :( 1) ( 2) 4C x y- + + = và đường thẳng : 3 4 5 0x yD - + = . Viết phương trình đường thẳng d song song với D và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài lớn nhất. VD6: Cho đường tròn 2 2 ( ) : 4 6 5 0C x y x y+ - - + = . Viết phương trình đường thẳng d đi qua (3;2)A và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài lớn nhất; nhỏ nhất. VD1: Cho hai đường tròn 2 2 2 2 1 2 ( ) : 7 7 0,( ) : 7 18 0C x y x C x y x y+ - - = + - - - = Chứng tỏ 1 2 ( ),( )C C cắt nhau tại hai điểm ,A B . Viết phương trình đường thẳng , .A B VD2: 2 2 2 ( ) : 2 4 5 1 0 m C x y mx my m+ - + + - = a) Tìm m để ( ) m C cắt đường tròn 2 2 1 ( ) : 1C x y+ = tại hai điểm phân biệt A, B. b) Tìm m để ( ) m C và đường tròn 2 2 2 ( ) : 2 4 1 0C x y x y+ - + + = tiếp xúc trong với nhau. BÀI TẬP Bài 1 (D-2012) Cho đường thẳng : 2 3 0d x y- + = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao cho 2.AB CD= = Bài 2 (CĐ-2012) Cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 4 1 0C x y x y+ - - + = và đường thẳng : 4 3 0d x y m- + = . Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho · 0 120AIB = . Bài 1 (A-2009) Cho đường tròn (C) : 2 2 4 4 6 0x y x y+ + + + = , I là tâm của (C). Đường thẳng : 2 3 0.x my mD + - + = Tìm m để ∆ cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Bài 2: Cho đường tròn (C): 2 2 8 6 0x y x y+ + - = . Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với d: 3 4 20 0x y- + = và cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 6. Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm 1 ;0 2 I æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø , 2 , : 2 2 0AB AD AB x y= - + = . Tìm tọa độ A, B, C, D biết 0. A x < Bài 4: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2, đường thẳng : 0AB x y- = , điểm (2;1)I là trung điểm BC. Tìm tọa độ K là trung điểm của AC. Bài 5 (D-2010) Cho tam giác ABC có (3; 7), (3; 1)A H- - là trực tâm tam giác ABC, ( 2;0)I - là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C biết 0 C x > . Bài 6 (A-2011) Cho đường thẳng : 2 0x yD + + = , đường tròn 2 2 ( ) : 4 2 0C x y x y+ - - = . I là tâm của (C), M thuộc đường thẳng ∆, qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ M biết tứ giác MAIB có diện tích bằng 10. Bài 7 (D-2007) Cho đường tròn 2 2 ( ) :( 1) ( 2) 9C x y- + + = , đường thẳng : 3 4 0d x y m- + = . Tìm m để trên d có duy nhất điểm P mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác ABP đều. Bài 8 (D-2006) Cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 2 1 0C x y x y+ - - + = , đường thẳng : 3 0d x y- + = . Tìm M thuộc d sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C) và tiếp xúc ngoài đường tròn (C). Bài 9: Cho đường tròn (C): 2 2 12 4 36 0x y x y+ - - + = . Viết phương trình đường tròn (T) tiếp xúc với ,Ox Oy đồng thời tiếp xúc ngoài (C) biết tâm của (T) có hoành độ và tung độ đều dương. Bài 10 (B-2012) Cho đường tròn 2 2 2 2 1 2 ( ): 4,( ) : 12 18 0C x y C x y x+ = + - + = và đường thẳng : 4 0d x y- - = . Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C 2 ), tiếp xúc với d và cắt (C 1 ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d. Bài 11 (D-2011) Cho điểm (1;0)A và đường tròn 2 2 ( ) : 2 4 5 0.C x y x y+ - + - = Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (C) tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A. Dạng 3: Tiếp tuyến của đường tròn Bài 1: Cho đường tròn (C): 2 2 4 4 17 0x y x y+ + + - = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại (2;1).M Bài 2 (B-2006) Cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 6 6 0C x y x y+ - - + = , ( 3;1).M - Gọi T 1 , T 2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới (C). Viết phương trình đường thẳng T 1 T 2 . Bài 3: Cho đường tròn 2 2 ( ) :( 3) ( 1) 4C x y- + - = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua (6;3).M Bài 4: Cho đường tròn 2 2 ( ) : 12 6 44 0C x y x y+ - - + = . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó: a) Vuông góc với đường thẳng :12 5 2013 0d x y+ - = . b) Song song với đường thẳng 3 4 2013.x y- + Bài 5: Cho hai đường tròn: 2 2 2 2 1 2 ( ) : 2 4 4 0,( ) : 4 4 56 0C x y x y C x y x y+ - + - = + + - - = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của 1 2 ( ),( ).C C Bài 6 (D-2009) Cho đường tròn 2 2 ( ) :( 1) 1C x y- + = , có tâm là I. Tìm M thuộc (C) sao cho · 0 30IMO = . . = . VD3: Viết phương trình đường tròn, biết: a) qua (2 ;3) A và tiếp xúc với hai đường thẳng 1 2 : 3 4 1 0, : 4 3 7 0x y x yD - + = D + - = b) tiếp xúc với 2 đt 1 2 : 3 2 3 0, : 2 3 15 0x. với (1 ;3) , (5;6), (7;0)A B C . c) qua điểm ( 2;1)A - và tiếp xúc với đường thẳng : 3 2 6x yD - = tại điểm (4 ;3) B . d) qua 2 điểm (1;2), (3; 4)A B và tiếp xúc với đường thẳng : 3 3 0x yD. biết: a) Tâm (2; 3) I - và qua ( 1;1)A - b) Đường kính AB với (7; 3) , (1;7)A B- (cách 2: sử dụng . 0AM B M = uuuur uuur c) Tâm (3; 4)I và tiếp xúc với đường thẳng : 4 3 15 0x yD - +