Phương trình đường thẳng 2014
1. Viết phương trình có các yếu tố vuông góc, song song VD1. Lập phương trình đường thẳng d biết a) d đi qua ( 2;5)C - và song song với đường thẳng ' : 3 2 5 0d x y- + = b) d đi qua ( 5;3)D - và vuông góc với đường thẳng { ': 1 2, 4 9d x t y t= - = + c) d đi qua (2;5)M và song song với đường thẳng { ': 1 3 , 4 5d x t y t= - = + d) d đi qua (3;4)N và vuông góc với đường thẳng ' : 4 7 3 0d x y- + = VD 2. Cho tam giác ABC có ( 2;1), (2;3)A B- và (1; 5)C - a) Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác. b) Lập phương trình đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác. c) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM. d) Lập phương trình đường thẳng chứa đường trung trực của cạnh BC. VD3. Cho hai đường thẳng { : 2, 1x t y tD = - = + , { ': 2 , 'x t y tD = - - = . Viết phương trình đường thẳng đối xứng với 'D qua D . VD 3. Cho hình vuông ABCD có tọa độ đỉnh ( 4;5)A - và một đường chéo nằm trên đường thẳng có phương trình 7 8 0x y- + = . a) Xác định tọa độ tâm của hình vuông. b) Tìm tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của hình vuông đó. Bài 1. Cho tam giác ABC biết (1;4), (3; 1), (6; 2)A B C- - a) Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh của tam giác b) Lập phương trình đường cao AH và trung tuyến AM. Bài 2. Cho tam giác ABC có ( 4;5), (6; 1), ( 1;1)A B C- - - a) Viết phương trình các đường cao của tam giác. b) Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác. c) Viết phương trình các đường trung trực của tam giác. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài 3. Biết 2 cạnh của một hình bình hành có phương trình 3 0x y+ = và 2 5 6 0x y- + = , một đỉnh của hình bình hành là (4;1)C . Viết phuwong trình các cạnh còn lại của hình bình hành. Bài 4. Cho hình vuông ABCD có tọa độ điểm (2;1)A , tâm (1;3)I . Tìm tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của hình vuông đó. Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình một cạnh là 2 0x y+ + = , tâm (1;1)I và diện tích của hình chữ nhật bằng 12. Viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật. 2. Viết phương trình có các yếu tố tạo góc và khoảng cách. 1. Khoảng cách từ 0 0 ( ; )M x y đến đường thẳng : 0ax by cD + + = là: 0 0 2 2 ( ; ) ax by c d M a b + + D = + 2. Góc (không tù) tạo bởi 1 1 1 1 : 0d a x b y c+ + = và 2 2 2 2 : 0d a x by c+ + = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 | | cos( , ) . aa bb d d a b a b + = + + 1 2 1 2 1 2 0d d a a bb^ Û + = VD 1. Viết phương trình đường thẳng a) Qua ( 2;0)A - và tạo với đường thẳng : 3 3 0d x y+ - = một góc 45 0 . b) Qua ( 1;2)B - và tạo với đường thẳng { : 2 3, 2d x t y t= + = - một góc 60 0 . c) Qua ( 3; 1)C - - và tạo với trục Ox một góc 0 45 . VD 2. a) Cho (1;1)A và (3;6)B . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng 2. b) Viết phương trình đường thẳng D song song với : 8 6 5 0d x y- - = và cách d một khoảng bằng 5. Ví dụ 3. Cho ba điểm (1;1), (2;0), (3;4)A B C . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách đều hai điểm , .B C Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng song song : 3 4 10 0d x y- + - = và ' : 3 4 1 0d x y- + + = . Lập phương trình đường thẳng D song song và cách đều , '.d d Ví dụ 5. Lập phương trình đường thẳng d đi qua (1;2)M và cắt trục ,Ox Oy tại ,A B sao cho: a) 2OA OB= ĐS: 5 5; 2 a b= = hoặc 3 3; 2 a b= - = b) 2 2 1 2 1 OA OB + = ĐS: 3 ; 3 2 2 b a b a b = Þ = = - - c) 1 2 OAB S = . ĐS: 1, 1b a= = - hoặc 1 2, 2 b a= - = Bài 1. Lập phương trình đường thẳng d biết a) qua (2; 3)A - và tạo với : 2 3 0x yD - + = góc j với 1 cos 10 j = b) qua (1; 3)A - và tạo với : 3 2 0x yD + + = góc 45 0 . c) qua (3; 2)A - và tạo với : 2 3 0x yD + - = góc j với 4 cos 5 j = d) qua (2;0)A và tạo với Ox góc với 3 cos 10 j = . Bài 2. Lập phương trình đường thẳng d biết a) qua (2; 3)M - và khoảng cách từ (1;1)A đến d băng 3 2 . b) qua (1; 3)M và khoảng cách từ (1;0)A đến d băng 3 2 . c) qua (0;0)O và cách đều hai điểm (2;2), (4;0)A B . d) qua (4;2)M và cách đều hai điểm (3;0), ( 5;4)A B - Bài 3. Lập phương trình đường thẳng d đi qua (2;3)M và cắt tia ,Ox Oy tại ,A B sao cho a) 2 3 OA OB= ĐS: 0, 6b b= = j b) 2 2 4 100OA OB+ = ĐS: 6, 4b a= = c) OAB S đạt giá trị nhỏ nhất. ĐS: 4 6 min 12a b S= = Þ = d) 2 2 3 2 35 144 OA OB + = . ĐS: 5b= . Bài 4. Lập phương trình đường thẳng d vuông góc với : 2 1 0x yD - + = và cắt trục O ,x Oy tại ,A B sao cho a) 5AB = ĐS: 1c = ± b) 4. OAB S = ĐS: 2c = ± c) 2 2 2 1 1 OA OB + = . ĐS: 3 1 2 2 x y c c c + = Þ = ± Bài 5. a) Viết phương trình đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng song song : 3 1 0d x y- - = và ': 3 7 0d x y- + = . b) Viết phương trình đường thẳng D song song với : 3 2 1 0d x y+ - = và cách d một khoảng là 13 và nằm trong nửa mp bờ d và chứa gốc tọa độ O . 3. Viết phương trình phân giác. 1. ,M N nằm cùng phía đối với : 0ax by cD + + = ( )( ) 0 M M N N ax by c ax by cÛ + + + + > ,M N nằm khác phía đối với : 0ax by cD + + = ( )( ) 0 M M N N ax by c ax by cÛ + + + + < 2. Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng 1 1 1 0a x by c+ + = và 2 2 2 0a x by c+ + = là: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a x by c a x by c a b a b + + + + = ± + + Bài 1: Cho tam giác ABC với : 3 4 6 0AB x y- + = , : 5 12 25 0, : 0AC x y BC y+ - = = a) Viết phương trình các phân giác của góc B . b) Viết phương trình phân giác trong của góc A . Bài 2: Cho : 3 4 5 0d x y- + = và ': 5 12 1 0d x y+ - = a) Viết phương trình các phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng. b) Viết phương trình đường thẳng D qua gốc O và tọa với , 'd d một tam giác cân có cạnh đáy là .D 1. Bài toán tìm điểm thuộc đường thẳng VD1: Cho đường thẳng : 2 3 0.d x y+ + = Tìm điểm M trên d sao cho: a) 2 5MA = với (3; 1)A - . b) 2 19 MA MB = với (0;1)A và (3; 1)B - c) 2 2 2 3 M M x y+ = VD2: Cho đường thẳng : 3 1 0d x y- + = . Tìm điểm M trên d sao cho a) ( ; ) 3 2d M D = với : 3 0x yD + + = b) 1 2 ( ; ) ( ; )d M d MD = D với 1 2 : 2 1 0, :2 4 0x y x yD + - = D + + = VD3: Cho 2 điểm ( 1;0), (2;3)A B- và đường thẳng { : 1 2, 3d x t y t= + = - - . Tìm tọa độ điểm C trên d sao cho tam giác ABC vuông tại .A VD4: Cho 2 điểm ( 1;4), (5; 4)M N- - và đường thẳng { : 1 , 2 3d x t y t= - = - . Tìm tọa độ điểm A trên d sao cho tam giác AMN vuông tại .A VD5: Cho đường thẳng { : 1 2 ; 1 3 , (3; 1), ( 1; 3)d x t y t B C= - = - + - - - . Tìm tọa độ điểm A dÎ sao cho , ,A B C thẳng hàng. VD6: Cho đường thẳng 2 2 : 1 2 x t y t ì ï = - - ï D í ï = + ï î và (3;1)M . Tìm điểm B Î D sao cho MB ngắn nhất. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM – GÓC – KHOẢNG CÁCH VD7: Cho tam giác ABC với ( 1;0), (2;3), (3; 6)A B C- - và đường thẳng : 2 3 0d x y- - = . Tìm điểm M dÎ sao cho MA MB MC+ + uuur uuur uuur nhỏ nhất. 2. Một số bài về góc, khoảng cách, diện tích VD1 (B-2003): Cho tam giác ABC vuông cân tại A . Biết (1; 1)M - là trung điểm cạnh BC và 2 ( ;0) 3 G là trọng tâm tam giác .ABC Tìm tọa độ các đỉnh , , .A B C VD2 (B-2007): Cho (2;2)A và các đường thẳng 1 2 : 2 0, : 8 0d x y d x y+ - = + - = . Tìm điểm ,B C lần lượt thuộc 1 2 ;d d sao cho tam giác ABC vuông cân tại A . VD3: Cho hình bình hành ABCD tâm I có diện tích 2S = . Biết (1;0), (2;0)A B , tâm I thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Xác định tọa độ đỉnh ,C D . VD4: Cho ABCD với (2; 1), (1; 2)A B- - , trọng tâm G thuộc đường thẳng : 2 0d x y+ - = . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 3 2 . VD5: Cho ABCD vuông tại C , biết ( 2;0), (2;0)A B- , khoảng cách từ trọng tâm G đến trục hoành bằng 1 3 . Tìm tọa độ đỉnh C. Bài tập Bài 1. Cho 2 đường thẳng { { : 2 , 3 , ' : 2 , 4 5d x t y t d x u y t= + = + = + = + , (2;0), (1; 4)A B - . Tìm trên d điểm G , trên 'd điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác .ABC Bài 2. Cho 1 2 : 2 3 1 0, 4 5 0d x y d x y- + = = + - = . 1 2 A d d= Ç . Tìm 1 2 ,B d C dÎ Î sao cho tam giác ABC có trọng tâm (3;5).G Bài 3. Cho (3;2), (3; 6),A B - đường thẳng 5 : 1 2 , 2 d x t y t ì ï ï = - - = - + í ï ï î . Tìm tọa độ điểm M dÎ sao cho tam giác ABM cân tại .M Bài 4. Cho hai điểm (2;1), ( 1; 3)A B - - và hai đường thẳng 1 2 : 3 0, : 5 16 0d x y d x y+ + = - - = . Tìm tọa độ các điểm ,C D lần lượt thuộc 1 2 ,d d sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 5. Cho đường thẳng : 3 0d x y+ - = và 2 điểm (1;1), ( 3;4)A B - . Tìm tọa độ điểm M dÎ sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng AB bằng 1. Bài 6. Cho 4 điểm (1;0), ( 2;4), ( 1;4), (3;5)A B C D- - . Tìm điểm M thuộc đường thẳng 3 5 0x y- - = sao cho hai tam giác ,MAB MCD có diện tích bằng nhau. Bài 7. Cho ABCD với (2; 1), (1; 2)A B- - , trọng tâm G thuộc đường thẳng : 2 0d x y+ - = . Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 27 2 . Bài 8. Cho tam giác ABC, với (1;1)A , ( 2;5)B - , đỉnh C nằm trên đường thẳng 4x = , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 2 3 6 0x y- + = . Tính diện tích tam giác ABC. Bài 9. Cho tam giác ABC . Phương trình cạnh AB, AC lần lượt là 2y x= , 4 9 0x y+ - = , trọng tâm 8 7 ( ; ) 3 3 G . Tính diện tích tam giác ABC. Bài 10. Cho 2 điểm (1;0), (3; 1)A B - và đường thẳng : 1 0d x y- - = . Tìm tọa độ điểm C dÎ sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6. 1. Xử lí đường cao, đường trung trực trong tam giác. VD 1. Cho tam giác ABC có (2;5)B , các đường cao kẻ từ đỉnh A và C lần lượt là 1 2 : 2 3 7 0; : 11 3 0d x y d x y+ + = - + = . Viết phương trình các cạnh của tam giác. VD 2. Phương trình hai cạnh của tam giác là 5 2 6 0,4 7 21 0x y x y- + = + - = . Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm trùng với gốc tọa độ. VD3. Cho tam giác ABC có ( 2;1)A - và các đường cao có phương trình 2 1 0,x y- + = 3 2 0x y+ + = . Viết phương trình đường trung tuyến qua đỉnh A của tam giác. Bài 1. Tam giác ABC có ( 4; 5)C - - , các đường cao 1 2 : 5 3 4 0, : 3 8 13 0d x y d x y+ - = + + = . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Bài 2. Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;2). Lập phương trình các cạnh của tam giác biết các đường cao kẻ từ B và C lần lượt có phương trình 9 3 4 0, 2 0.x y x y- - = + - = 2. Xử lí đường trung tuyến trong tam giác. VD 1. Cho tam giác ABC có (2; 7)B - , phương trình đường cao qua A là 3 11 0x y+ + = , phương trình trung tuyến kẻ từ C là 2 7 0x y+ + = . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. VD 2. Cho tam giác ABC với (2; 1)B - , đường cao : 2 3 0AH x y- + = , trung tuyến :AM 1 0x - = . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. VD 3. Cho tam giác ABC với (3;5)B , đường cao : 2 5 3 0AH x y- + = , trung tuyến :CM 5 0x y+ - = . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. VD 4. Cho tam giác ABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Bài 3. Cho tam giác ABC với ( 2;2)M - là trung điểm của BC, cạnh AB có phương trình 2 2 0x y- - = , cạnh AC có phương trình 2 5 3 0x y+ + = . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC Bài 4. Cho tam giác ABC có trọng tâm ( 2; 1)G - - và phương trình cạnh AB, AC tương ứng là 4 15 0x y+ + = , 2 5 3 0x y+ + = . Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC. Bài 5. Cho tam giác ABC với (3;5)C , đường cao : 5 4 1 0AH x y+ - = , trung tuyến :AM 8 7 0x y+ - = . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Bài 6. Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(3;5), đường cao và trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình là { 1 2 : 5 4 1 0, : , 7 8d x y d x t y t+ - = = = - . Bài 7. Cho tam giác ABC có trung điểm cạnh AB là ( 1;2)M - , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là (2; 1)I - . Đường cao tam giác kẻ từ A có phương trình 2 1 0.x y+ + = Tìm tọa độ đỉnh C. Bài . Tam giác ABC có (4;6)A , phương trình đường cao và đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình 2 13 0,6 13 29 0x y x y- + = - + = . Viết phương trình cạnh BC. 3. Xử lí đường phân giác trong tam giác VD 1. Cho tam giác ABC biết (2; 1)B - , đường cao qua A có phương trình 3 4 27 0x y- + = , phân giác trong góc C có phương trình 2 5 0x y+ - = . Tìm tọa độ điểm A. VD 2. Cho tam giác ABC có (2; 1)A - và các đường phân giác trong góc ,B C lần lượt có phương trình 2 1 0, 3 0x y x y- + = + + = . Lập phương trình đường thẳng BC. VD 3. Cho tam giác ABC có đỉnh (4;3)C . Biết đường phân giác trong AD có phương trình 2 5 0x y+ - = , đường trung tuyến AM có phương trình 4 13 10 0x y+ - = . Tìm tọa độ đỉnh B. Bài 8. Cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân giác trong BD. Biết ( 4;1)H - , 17 ( ;12) 5 M và BD có phương trình 5 0x y+ - = . Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC. Bài 9. Cho tam giác ABC có ( 1;3)A - , đường cao BH có phương trình y x= , phân giác trong góc C nằm trên đường thẳng 3 2 0x y+ + = . Viết phương trình đường thẳng BC. Bài 10 (D-2011). Cho tam giác ABC có ( 4;1)B - , trọng tâm (1;1)G và đường phân giác trong góc A là 1 0x y- - = . Tìm tọa độ các đỉnh A và C . Bài 11 (B-2010). Cho tam giác ABC vuông tại A có ( 4;1)C - , phân giác trong góc A có phương trình 5 0x y+ - = . Viết phương trình BC biết diện tích tam giác là 24 và đỉnh A có hoành độ dương. Bài 12. Cho tam giác ABC có (1; 2)M - là trung điểm AB, trục Ox là phân giác góc A, đỉnh B, C thuộc đường thẳng đi qua ( 3;0)N - và (0;2)P . Tìm tọa độ , ,A B C và diện tích tam giác ABC. Bài 13. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD và đường cao CH lần lượt có phương trình 2 0, 2 5 0x y x y+ - = - + = . Điểm (3;0)M thuộc đoạn AC thỏa mãn 2AB AM= . Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác. . b + + D = + 2. Góc (không tù) tạo bởi 1 1 1 1 : 0d a x b y c+ + = và 2 2 2 2 : 0d a x by c+ + = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 | | cos( , ) . aa bb d d a b a b + = + + 1 2 1 2 1 2 0d d a a bb^. c ax by cÛ + + + + < 2. Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi hai đường thẳng 1 1 1 0a x by c+ + = và 2 2 2 0a x by c+ + = là: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 a x by c a x by c a b. đi qua (1 ;2) M và cắt trục ,Ox Oy tại ,A B sao cho: a) 2OA OB= ĐS: 5 5; 2 a b= = hoặc 3 3; 2 a b= - = b) 2 2 1 2 1 OA OB + = ĐS: 3 ; 3 2 2 b a b a b = Þ = = - - c) 1 2 OAB S = .