thảo luận xác suất thống kê

16 7.9K 32
thảo luận xác suất thống kê

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

BÀI THẢO LUẬNLÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁNĐề bài: 1. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sv ngoại tỉnh trường ĐHTM. 2. Có thông tin cho rằng hiện nay tỉ lệ sinh viên ngoại tỉnh trường Đại học Thương Mại có mức chi tiêu hàng tháng từ 2,0 triệu đồng trở lên chiếm khoảng 60%. Với mức ý nghĩa 5% hãy kiểm định lại khẳng định trên.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA THƯƠNG MẠI ĐIỆN TỬ  BÀI THẢO LUẬN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG TOÁN Đề bài: 1. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sv ngoại tỉnh trường ĐHTM. 2. Có thông tin cho rằng hiện nay tỉ lệ sinh viên ngoại tỉnh trường Đại học Thương Mại có mức chi tiêu hàng tháng từ 2,0 triệu đồng trở lên chiếm khoảng 60%. Với mức ý nghĩa 5% hãy kiểm định lại khẳng định trên. Nhóm : 7 Lớp : 1363AMAT0111 GVHD : Hà Nội, 2013 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống toán Nhóm 7 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết ước lượng, lý thuyết kiểm định các giả thuyết thống là những bộ phận quan trọng của thống toán. Nó là phương tiện giúp ta giải quyết những bài toán nhìn từ góc độ khác liên quan đến dấu hiệu cần nghiên cứu trong tổng thể. Để ước lượng kì vọng toán của ĐLNN X, người ta giả sử trên một đám đông có E(X)= µ và Var(X) . Trong đó µ chưa biết, cần ước lượng . Từ đám đông ta lấy ra kích thước mẫu n: . Từ mẫu này ta tìm được trung bình mẫu X và phương sai mẫu điều chỉnh 2 S ′ . Dựa vào những đặc trưng mẫu này ta sẽ xây dựng thống G thích hợp.Với đề tài thảo luận “ước lượng mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên ngoại tỉnh trường ĐH Thương Mại”, nhóm chúng tôi đã xác định dùng phương pháp ước lượng µ khi chưa biết quy luật phân phối của ĐLNN , kích thước mẫu n đủ lớn. Kiểm định giả thuyết thống về tỉ lệ của đám đông, thông thường ta thường giả sử dấu hiệu X cần nghiên cứu trên đám đông có E(X) µ, Var(X) , trong đó µ chưa biết. từ một cơ sở nào đó người ta tìm được p=po , nhưng nghi ngờ về điều này. Với mức ý nghĩa cho trước ta cần kiểm định giả thuyết : p=po . Từ đám đông lấy ra mẫu: và tính được các đặc trưng mẫu: , . Lấy một mẫu cụ thể . Từ mẫu này ta tính được , rồi so sánh với để bác bỏ hay không bác bỏ , chấp nhận hay không chấp nhận .Đó là phương pháp làm của nhóm tôi trong phần 2 của vấn đề thảo luận: “Có thông tin cho rằng hiện nay tỉ lệ sinh viên ngoại tỉnh trường Đại học Thương Mại có mức Lớp 1028AMAT0111 Trang 2 / 16 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống toán Nhóm 7 chi tiêu hàng tháng từ 2,0 triệu đồng trở lên chiếm khoảng 60%. Với mức ý nghĩa 5% hãy kiểm định lại khẳng định trên.” Bài thảo luận này được xây dựng dựa trên cơ sở của: giáo trình Lý thuyết xác suấtthống toán của trường Đại học Thương Mại, giáo trình Lý thuyết xác suấtthống toán của trường Đại học Kinh Tế Quốc Dân cùng với các kiến thức đã tiếp thu được từ các bài giảng của giảng viên bộ môn trường Đại học Thương Mại. Do thời gian, điều kiện và khả năng có hạn, bài thảo luận nhóm chúng tôi không tránh khỏi những khiếm khuyết. Chúng tôi rất mong nhận được sự cảm thông, chia sẻ và góp ý từ phía các giảng viên, các bạn sinh viên và những ai quan tâm để bài thảo luận nhóm được hoàn thiện hơn! Tập thể nhóm 7! Phần I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN Giả sử một đám đông ĐLNN có µ =)(XE và . Trong đó µ chưa biết, cần ước lượng. Từ đám đông ta lấy ra mẫu kích thước n: . Từ đám đông ta lấy mẫu này ta tìm được trung bình mẫu và phương sai mẫu điều chỉnh . Dựa vào những đặc trưng mẫu này ta sẽ xây dựng thống G thích hợp. Có 3 trường hợp cần xét là: Trường hợp 1: ĐLNN X phân phối theo quy luật chuẩn, đã biết. Trường hợp 2: ĐLNN gốc X phân phối theo quy luật chuẩn, phương sai chưa biết. Trường hợp 3: Chưa biết quy luật phân phối xác suất của X trên đám đông, nhưng kích thước mẫu n>30. Lớp 1028AMAT0111 Trang 3 / 16 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống toán Nhóm 7 Theo yêu cầu thảo luận sau đây chúng ta sẽ đi xét trường hợp 3. Vì là ngẫu nhiên và n khá lớn, theo định lý giới hạn trung tâm thì có phân phối xấp xỉ chuẩn: nên: U = n X σ µ − ≅ N(0,1) (1) (U có phân phối chuẩn xấp xỉ chuẩn hóa) Khi đó ta có thể tìm được phân vị sao cho: (2) Thay biểu thức U ở (1) vào (2)và biến đổi ta được: α σ µ α −≈<− 1)( 2 u n XP (3) ⇔ (4) Trong đó: (5) Từ (4) ta có độ tin cậy của ước lượng là α − 1 Khoảng tin cậy đối xứng của là: (6) Độ dài của khoảng tin cậy là 2 . Sai số của ước lượng là , được tính bằng công thức (5). Lớp 1028AMAT0111 Trang 4 / 16 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống toán Nhóm 7 Từ đó ta có sai số của ước lượng bằng một nửa độ dài của khoảng tin cậy. Vì vậy nếu biết khoảng tin cậy đối xứng (a, b) thì sai số được tính theo công thức: 2 ab − = ε (7) Ở đây ta có 3 bài toán cần giải quyết: Bài toán 1: Biết kích thước mẫu n, biết độ tin cậy α − 1 , cần tìm sai số hoặc khoảng tin cậy. Nếu biết độ tin cậy α − 1 ta tìm được 2 α , tra bảng ta tìm được 2 α u từ đó ta tính được theo công thức (5) và cuối cùng nếu cần, ta có thể tìm được khoảng tin cậy (6) của μ • Chú ý : Khoảng tin cậy (6) là khoảng tin cậy ngẫu nhiên, trong khi là một số xác định. Đối với mẫu ngẫu nhiên W=(X 1 ,X 2 ,…,X n ), vì độ tin cậy α − 1 khá gần 1 nên theo nguyên lý xác suất lớn có thể coi biến cố ( ) εµε +<<− XX sẽ xảy ra trong một lần thực hiện phép thử. Nói một cách chính xác, với xác suất α − 1 khoảng tin cậy ngẫu nhiên (6) sẽ chụp đúng ( ) µ = XE . Trong một lần lấy mẫu ta được mẫu cụ thể w=(x 1 ,x 2 ,…,x n ). Từ mẫu cụ thể này ta tìm được một giá trị cụ thể x của ĐLNN trung bình mẫu. Khi đó với độ tin cậy α − 1 , ta tìm được một khoảng tin cậy cụ thể của là Bài toán 2: Biết kích thước mẫu n và sai số cần tìm độ tin cậy (nếu biết khoảng tin cậy đối xứng (a, b) thì ta có thể tính được sai số theo công thức (7)). Từ (5) ta tìm được σ ε α n u = 2 , tra bảng tìm được 2 α từ đó tìm được độ tin cậy α − 1 Lớp 1028AMAT0111 Trang 5 / 16 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống toán Nhóm 7 Bài toán 3: Biết độ tin cậy α − 1 , biết sai số cần tìm kích thước mẫu n. Do ta chưa biết quy luật phân phối xác suất của X, kích thước mẫu cũng chưa biết(đang cần tìm) nên ta phải giả thiết X có phân phối chuẩn.(nếu σ chưa biết, vì n> 30 nên ta có thể lấy σ s ′ ≈ ) 2 2 2 2 ε σ ε u n = hoặc ε ε 2 2 2 us n ′ = Đó chính là kích thước mẫu tối thiểu cần tìm. • Chú ý: Từ biểu thức trên ta thấy: Nếu giữ nguyên kích thước mẫu n và giảm sai số thì u 2 α cũng giảm, có nghĩa là giảm độ tin cậy. Ngược lại nếu giữ kích thước mẫu n không đổi và tăng độ tin cậy α − 1 thì sẽ làm tăng u 2 α dẫn đến sai số cũng tăng theo. Tương tự như vậy nếu giữ nguyên sai số đồng thời giảm kích thước mẫu n thì u 2 α cũng giảm, tức là độ tin cậy giảm. Nếu giữ nguyên độ tin cậy α − 1 và tăng kích thước mẫu n thì sai số giảm. Ví dụ: Theo dõi 36 công nhân cùng sản xuất ra một loại sản phẩm và thu được bảng số liệu thống về thời gian cần thiết (đơn vị là phút)sản xuất ra sản phẩm như sau: Thời gian sản xuất một sản phẩm 9 10 11 12 Số công nhân 3 9 20 4 Với độ tin cậy 99% hãy ước lượng thời gian trung bình cần thiết để sản xuất ra một loại sản phẩm. Giải Gọi X là thời gian sản xuất ra 1 loại sản phẩm là thời gian trunh bình sản xuất ra 1 loại sản phẩm trên mẫu Lớp 1028AMAT0111 Trang 6 / 16 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống toán Nhóm 7 là thời gian trung bình sản xuất ra 1 loại sản phẩm trên đám đông Ta có n=36>30 nên có phân phối xấp xỉ chuẩn Do đó )1,0(N n X U ≅ − = σ µ Vì σ chưa biết, n=100 khá lớn nên ta lấy s ′ ≈ σ được: U= Tìm được thõa mãn (1) Ta có : 36 3851 1 == ∑ = n i ii xn n X ( ) 786,0618,0 1 1 1 2 2' =⇒=− − = ∑ = SXXn n S n i ii Thay tìm được khoảng tin cậy: ( ) αεµε −≈+<<− 1XXP Ta có Kết luận: Với độ tin cậy là 99% thì thời gian trung bình cần thiết để sản xuất ra một loại sản phẩm là (10,3564; 11,0324). II.Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ đám đông Lớp 1028AMAT0111 Trang 7 / 16 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống toán Nhóm 7 Xét một đám đông kích thước N, trong đó có M phần tử mang dấu hiệu A. Khi đó là tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên đám đông. Từ một cơ sở nào đó người ta tìm được p = p 0 nhưng nghi ngờ về điều này. Với mức ý nghĩa α ta cần kiểm định giả thuyết Ho: p= p 0 . Để kiểm định giả thuyết trên, từ đám đông ta lấy ra một mẫu kích thước n. Gọi f là tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên mẫu. Theo quy luật phân phối xác suất của tần suất mẫu, khi n khá lớn thì ),( n pq pNf ≅ . Ta xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: n pf U qp 00 0 − = , trong đó 00 1 pq −= . Nếu Ho đúng thì )1,0(NU ≅ Vì α khá bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ và tùy thuộc vào từng đối thuyết H1 ta có miền bác bỏ Wα như sau: Loại giả thuyết H 0 H 1 Xác suất W α 2 phía α α => )( 2/ uUP }:{ 2 αα UUUW tntn >= Phải α α => )( uUP }:{ ααα UUUW tn >= Trái α α =−< )( uUP }:{ ααα UUUW n t −<= • Các bước giải bài toán: Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: U= n pq pf − ( q 0 = 1-p 0 ) Nếu H 0 đúng thì U N(0;1)  Bài toán 1 Với mức ý nghĩa α, xác định u α/2 P( U| u α/2 ) = α Lớp 1028AMAT0111 Trang 8 / 16 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống toán Nhóm 7 Vì α khá bé nên theo nguyên tắc xác suất nhỏ biến cố (|U| u α/2 ) nhất định không xảy ra trong một lần lấy mẫu. Nếu trong một lần thực hiện phép thử u tn : |u tn u α/2 thì H 0 tỏ ra không đúng. Vậy miền bác bỏ là: W α ={u tn : |u tn | u α/2 } Tính u tn : Trong đó : u tn = n pq pf − So sánh u tn với W α đưa ra kết luận.  Ví dụ: Bài toán: tỉ lệ sản phẩm loại 2 của một nhà máy theo quy định là 10%. Kiểm tra mẫu ngẫu nhiên 100 sản phẩm của nhà máy thấy có 18 sản phẩm loại 2. Với mức ý nghĩa 0,05 hãy cho kết luận xem tỉ lệ quy định trên có phù hợp không?  Tóm tắt bài toán: A: “sản phẩm loại 2 của một nhà máy”. n=100 ;n A =18; α=0,05; p 0 =10%=0.1    ≠ = 01 00 : : ppH ppH  Lời giải Gọi p là tỉ lệ sản phẩm loại 2 của một nhà máy trên đám đông. f là tỉ lệ sản phẩm loại 2 của một nhà máy trên mẫu. Chọn tiêu chuẩn kiểm định: U= n pq pf − H 0 đúng U N(0,1) Với mức ý nghĩa α=0,05 u α/2 =1,96 P (|U| u α/2 )= P (|U| 1,96) = 0,05 Với mức ý nghĩa α khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ thì biến cố (|U| 1,96) nhất định không thể xảy ra trong một lần chọn mẫu. Nếu trong một lần ,thực hiện phép thử u tn 1,96 thì H 0 tỏ ra không đúng. Vậy ta có miền bác bỏ: W α u tn :| u tn | 1,96} Trên mẫu ta có: n=100, n A =18 Lớp 1028AMAT0111 Trang 9 / 16 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống toán Nhóm 7 f= 100 18 =0,18 Tính u tn: u tn = 100 )1,01(1,0 1,018,0 − − = 6667,2 3 8 ≈ u tn W α ⇔ H 0 tỏ ra không đúng. ⇔ Bác bỏ H 0 Vậy với mức ý nghĩa α=0,05 thì tỉ lệ sản phẩm loại 2 theo quy định của nhà máy không còn phù hợp.  Bài toán 2 Với mức ý nghĩa α, xác định u α P (U u α )= α Với mức ý nghĩa α khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ thì biến cố (U u ) nhất định không xảy ra trong một lần chọn mẫu. Nếu trong một lần thực hiện phép thử: u tn : u tn u α thì H 0 tỏ ra không đúng. Ta có miền bác bỏ: W α = { u tn : u tn u α } Trong đó: u tn = n pq pf − Trên mẫu ta tính u tn , so sánh u tn với W α rồi đưa ra kết luận.  Ví dụ: Theo công bố gần đây thì tỷ lệ cử nhân đại học ra trường không có việc làm là 26%.Người ta cho rằng tỷ lệ đó có khả năng cao hơn.để kiểm tra lại người ta điều tra từ 1000 cử nhân vừa ra trường có 410 người không tìm được việc làm. Với mức ý nghĩa 5% hãy cho kết luận về ý kiến trên.  Tóm tắt bài toán : A : “cử nhân đại học ra trường chưa có việc làm”. n =1000 ; n A =360 ;α =0,05 ; p =26%=0,26    > == 01 00 : 26,0: ppH ppH  Lời giải : f là tỉ lệ cử nhân đại học ra trường không có việc làm trên mẫu p là tỉ lệ cử nhân đại học không có việc làm trên đám đông. Vì n =1000 khá lớn nên f ≈ (p; ). Với mức ý nghĩa α = 0,05 cần kiểm định:    > == 01 00 : 26,0: ppH ppH Lớp 1028AMAT0111 Trang 10 / 16 [...].. .Thảo luận Lý thuyết xác suất thống toán Nhóm 7 f −p 0 XDTCKĐ: U = p q n Nếu H0 đúng thì U ≈ N(0,1) Ta tìm được phân vị 0 0 chuẩn Uα/2 sao cho P(U>uα ) =α Vì α khá bé nên theo nguyên lí xác xuất nhỏ ta có miền bác bỏ Wα = , trong đó: Utn = f − p0 p0 q0 n Ta có uα = u0,05 = 1,65 0,36 − 0,26 Theo bài ra ta có f=360/1000 = 0,41→Utn = 0,26.0,74 Wα =7,2 →Utn ∈ → Bác bỏ H0 thừa nhận H1 Kết luận. .. −p 0 Chọn tiêu chuẩn kiểm định: U = p q n 0 0 Nếu H 0 đúng thì P ≈ N ( 0;1) α = 0,05 ⇒ u α = u 0, 025 = 1,96 2 Ta có: Lớp 1028AMAT0111 Trang 14 / 16 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống toán Nhóm 7 P( U > 1,96) = α Vì 0,05 khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ biến cố ( U > 1,96) nhất định không xảy ra trong 1 lần lấy mẫu Nếu trong 1 lần thực hiện phép thử mà U tn thỏa mãn U tn > 1,96 thì giả thuyết... n =100 khá lớn nên f ≃  p; Lớp 1028AMAT0111 pq   n  Trang 11 / 16 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống toán Nhóm 7  H 0 : p = p 0 = 0,4 H 1 : p < p0 Với mức ý nghĩa α = 0,01 cần kiểm định:  XDTCKĐ: U = f − p0 p0 q0 n Nếu H0 đúng thì U ≃ N(0,1) ta tìm được phân vị chuẩn Uα sao cho P(U . 2013 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê toán Nhóm 7 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết ước lượng, lý thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê là những bộ phận quan trọng của thống kê toán. Nó là phương tiện. xây dựng dựa trên cơ sở của: giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán của trường Đại học Thương Mại, giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán của trường Đại học Kinh Tế Quốc Dân cùng. 1 Với mức ý nghĩa α, xác định u α/2 P( U| u α/2 ) = α Lớp 1028AMAT0111 Trang 8 / 16 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê toán Nhóm 7 Vì α khá bé nên theo nguyên tắc xác suất nhỏ biến cố (|U|

Ngày đăng: 19/04/2014, 22:00

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan